лекция_криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл по плоской кривой (криволинейный интеграл 1 рода)

• Название: Криволинейный интеграл по плоской кривой (криволинейный интеграл 1 рода)
• Дата: 16.05.2023
• Размер: 1.61 Mb.
• Имя файла: лекция_криволинейные интегралы.doc
• Тип: Документы; #1135301

1. Криволинейный интеграл по плоской кривой (криволинейный интеграл 1 рода)

Пусть Г- кривая, лежащая на плоскости хОу. Выясним геометрический смысл криволинейного интеграла , считая интегрируемую функцию положительной.

Построим цилиндрическую поверхность с направляющей линией Г и образующими, параллельными оси OZ. В каждой точке Р Г длину образующей сделаем равной значению функции f(P) (рисунок 30).


Рисунок 30
Цилиндрическая поверхность пересечена сверху поверхностью z=f(x, у). Найдем площадь S построенной части цилиндрической поверхности. Если разбить линию Г на части _{ }L₁,_{ } L₂…,_{ } L_n, то поверхность S разобьется на узкие полосы S₁,…S_n. Площадь узкой полосы приближенно подсчитаем, как площадь прямоугольника с основанием _{ }L_i и высотой f(Р_i), где Р_i произвольно взятая точка _{ }L_i. Имеем:



где -наибольший из диаметров частей _{ }L_i. Последняя формула может быть записана окончательно так:



Таким образом криволинейный интеграл _{ } по плоской кривой Г дает площадь куска цилиндческой поверхности с направляющей Г и образующей, параллельной OZ, срезанной сверху поверхностью z=f(x, y).

1.1 Вычисление криволинейных интегралов

Вычисление криволинейно интеграла сводится к вычислению обычного определенного интеграла, если воспользоваться выведенными в дифференциальном исчислении формулами для дифференциала длины дуги dL. Рассмотрим сперва плоскую кривую Г, по которой требуется вычислить интеграл _{ }. Пусть линия Г задана уравнением:



В криволинейном интеграле та функция, которую мы интегрируем, не имеет ничего общего с уравнениями кривой, по которой ведется интегрирование.

Вспомним формулу:

(34)

и подставим выражение для dL в наш интеграл. Одновременно, воспользуемся уравнением у = _{ }(х) для замены переменного у под знаком функции f(х, у). Наконец, заметим, что х меняется в пределах от a до b, Тогда

(35)

Справа, в формуле (35), стоит самый обычный определенный интеграл. Если бы кривая Г была задана уравнением: x=(у) , где с ≤ у≤ d, то получили бы,

(36)

(37)

Если кривая Г задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), _{ } то, вспоминая, что в этом случае

(38)

получаем равенство

(39)

В правой части стоит обычный определенный интеграл от некоторой функции переменной t.

Точно так же, когда кривая Г пространственная и задана уравнениями





выражение для dL имеет вид

_{ } (40)

и поэтому

_{ } (41)

Наконец, в случае, когда плоская линия Г задана полярным уравнением r=r(_{ }), φ_{1 } φ_{ } φ_2, то вспомнив, что х=rcoSφ, у= r sin φ и

_{ } (42)

Получим

_{ } (43)

С
Рисунок 31
ведение криволинейного интеграла к обычному определенному интегралу по идее очень близко к замене переменной в определенном интеграле. Однако, следует иметь в виду одно отличие. После замены переменной в определенном интеграле, может случиться, что нижний предел интегрирования оказывается больше верхнего. При вычислении же криволинейного интеграла всегда нижний предел должен быть меньше верхнего. Это вызывается тем, что элемент dL, длины дуги всегда должен быть больше нуля. Таким образом, при переходе от криволинейного интеграла к обыкновенному определенному интегралу переменная, выбранная в качестве основной, должна пробегать промежуток своего изменения в сторону возрастания.

Примеры 1. Найти длину дуги Г параболы у=х² на участке от х= 0 до х=а.

 .

2. Найти массу М одной четверти окружности радиуса a, расположенной в первом квадрате, если плотность _{ }у.

Имеем: _{ }. Воспользуемся параметрическими уравнениями окружности х = a cos t, y = a sin t. При этом у нас 0 _{ } t _{ }/2 и поэтому



3. Найти длину первого витка винтовой линии (рисунок 31) х=acos t, y = a sin t, z = bt.



При развертывании цилиндра на плоскость первый виток винтовой линии изобразится диагональю прямоугольника со сторонами 2_{ }а и 2_{ }b. Длина диагонали _{ } как мы и нашли (рисунок 32).




Рисунок 32

Рисунок 33


4. Найти площадь части боковой поверхности цилиндра у= х², лежащей в первом октанте и вырезанной плоскостями z=х и х=1.

Воспользуемся геометрическим смыслом интеграла_{ } (рисунок 33). В качестве функции z = f(х, у), задающей поверхность ограничивающую цилиндр сверху, выступает сейчас функция z=х. Получаем:





5. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = a_{ } (a _{ }0).

2. Криволинейные интегралы второго рода (криволинейные интегралы по координатам)

П
Рисунок 34
усть в пространстве (или на плоскости) задана кривая линия Г (рисунок 34). Установим на ней определенное направление движения (на чертеже это направление показано стрелкой), которое происходит от А к В. Кривую с установленным на ней направлением движения назовем ориентированной кривой. Если задать по Г движение в противоположную сторону, то получится уже другая ориентированная кривая. Таким образом, ориентированная кривая состоит из кривой и направления движения по этой кривой.

Пусть на кривой Г задана функция точки Р в виде f(Р) = f(х, у, z). Разобьем Г на части _{ }L₁, _{ }L₂,…,_{ }L_n (как обычно _{ }L_i обозначает и саму часть и ее длину). Пусть, как обычно,-максимальный из диаметров частей _{ }L_i. Теперь будем интересоваться не длинами этих частей, а величинами их проекций на ось Оу. Возьмем какую-нибудь часть _{ }L_i и будем двигаться по ней в направлении, установленном для движения вдоль Г. Проекция (на оси Оу) двигающейся по _{ }L_i точки будет двигаться вдоль оси Оу. Если направление движения проекции совпадает с направлением движения, установленным на оси Оу (если движение по проекции происходит в сторону увеличения у), то проекцию _{ }у_i части _{ }L_i считаем положительной, в противном случае - отрицательно

Приступим к составлению интегральной суммы для нового типа интеграла, еще не встречавшеrося у нас. Возьмем на каждой части _{ }L_i по точке P_i и вычислим значение функции f(P) в этой точке, равное f(P). Интегральная сумма составляется следующим образом:

_{ }, (44)

(проекции _{ }у_i берутся с учетом их знаков). Напомним, что интегральная сумма для введенного нами ранее криволинейного интеграла имела другой вид:

_{ } (45)

Если существует предел (не зависящий от способа составления интегральных сумм)

_{ } (46)

то этот предел называется криволинейным интегралом пo координате у от функции f(P) =f(х, у, z) по ориентированной кривой Г и обозначается так:

_{ } (47)

Чтобы не спутать этот интеграл с введенным ранее криволинейным интегралом



новый интеграл называют криволинейным интегралом второго рода (криволинейным интегралом по координате) в отличие от криволинейного интеграла первого рода (криволинейного интеграла по длине дуги). Точно так же, как был определен интеграл по координате у, определяются и интегралы по координатам х и z:

_{ } (48)

Если кривая Г- замкнутая то, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда обозначают интеграл по ней так:

_{ }.

Первые три основных свойства определенных интегралов сохраняются и здесь:

1. 
   _{ }
   
2. 
   _{ }
   
3. 
   _{ }
   

если кривая разбита на две части Г₁ и Г₂ и движение по этим частям установлено в том же направлении, как и на всей кривой

4) Предоставляем читателю сообразить, что дает здесь аналог четвертого основного свойства. (для криволинейного интеграла по длине четвертое свойство означало,_{ } длине - г.)

5) Если направление движения по кривой Г изменить на противоположное (двигаться от В к A), то знаки всех проекций _{ }у_i в интегральной сумме (44) сменяются на противоположные и поэтому



Из ранее рассматривавшийся интегралов аналогичным свойством обладает лишь обычный определенный интеграл



Что же касается криволинейного интеграла по длине, то подчеркнем еще раз - он от направления движения по кривой не зависел (длины _{ }L_i в интегральной сумме (45) всегда положительны)

6
Рисунок 35
) Пусть линия Г замкнута и ограничивает некоторую поверхность Q. Интегрируемая функция f(P) = f(x,у, z) предполагается заданной не только на кривой Г, но и на всей поверхности Q. На кривой Г установим направление обхода, например, такое, чтобы поверхность Q оставалась при движении вдоль Г с левой руки (рисунок 35). Разобьем линией АВ поверхность Q на части Q₁ и Q₂ с границами L₁ и L₂, причем движение вдоль L₁ и L₂ установим так, чтобы Q₁ и Q₂ соответственно оставались с левой руки. Тогда криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, ограничивающей поверхность Q, равен сумме интегралов по замкнутым кривым L₁ и L₂, ограничивающим части Q₁ и Q₂, на которые разбита поверхность:

_{ } (49)

Для краткости будем писать только знак интеграла, опуская подынтегральное выражение. Если Г₁ - та часть Г, входит в состав границы Q₁, a Г₂ - та часть Г, что вошла в состав границы Q₂, то



Складывая интегралы по L1 и L2 и применяя свойство, найдем:



Свойство сохраняется и тогда, когда поверхность делится не на две, а на любое число частей. Это свойство дополняет свойство (3).

3. Составной криволинейный интеграл

Наиболее частым является следующее положение. На кривой Г задаются сразу три функции: Х(х, у, z), Y(х, у, z), Z(х,y, z) (обозначаем их буквами X, Y, Z потому, что эти функции часто полезно понимать в качестве проекций переменного вектора (х, у,z). Выражение

_{ },

можно записать короче, с одним знаком интеграла:



оно называется составным криволинейным интегралом.

П
Рисунок 36
усть переменная сила F с проекциями X, Y, Z, являющимися функциями точки (x,y,z ) ее приложения, передвигает материальную точку вдоль кривой Г. Найдем работу этой силы. Выделим бесконечно малый элемент dL кривой Г и заменим его отрезком d_{ }, идущим по касательной (в сторону движения по Г) и имеющим длину dL (рисунок 36). Как известно из дифференциального исчисления проекциями d_{ } будут дифференциалы dх, dy и dz соответствующих координат. Работа dA силы F (X,Y,Z) на бесконечно малом перемещении d_{ }(dх, dy, dz) равна скалярному произведению:



Суммируя все такие элементарные работы, получим полную работу

_{ } (50)

Таким образом, составной криволинейный интеграл дает работу силы с проекциями Х, Y, Z вдоль пути Г. Выражение работы в виде составного криволинейного интеграла часто более удобно, чем полученная ранее формула (25) содержащая криволинейный интеграл по длине дуги.

3.1 Вычисление криволинейных интегралов по координатам

Вычисление криволинейного интеграла по координате сводится к вычислению обычного определенного интеграла.


Рисунок 37

Рисунок 38

Пусть кривая Г (рисунок 37) задана параметрическими уравнениями

_{ }.

Если установленное по кривой Г движение от А к В соответствует изменению t от _{ } до _{ }, то

_{ } (51)

Если же движение от А к В соответствует изменению t от _{ } до _{ } а, то

_{ } (52)

Если кривая Г плоская, у=у(х), a a ≤ х ≤b с направлением движения, показанным на рисунке 38, то

_{ } (53)

Если плоская кривая Г (рисунок 39) задана уравнением х = х(у)

_{ } (54)

Совершенно аналогично вычисляются интегралы и по другим координатам, а также составные.

Если кривая Г распадается на части, заданные различными уравнениями, то надо отдельно вычислить интегралы по этим частям и полученные результаты сложить.


Рисунок 39

Рисунок 40


Таким образом, чтобы вычислить криволинейный интеграл, надо все координаты х, у, z и их дифференциалы dx, dy, dz выразить через переменное, принятое за основное в задании кривой и его дифференциал (в выражении (51) основное переменное t, в (53) - х, в (54) - у). Получившийся обыкновенный определенный интеграл берется в направлении изменения основного переменного, соответствующем обходу контура интегрирования.

Примеры 1. Сила F, зависящая от точки (х, у, z) приложения, имеет проекции X = - y, Y = x, Z = z². Найти работу силы вдоль первого витка винтовой линии Г.

Имеем: x = acost, y = asint, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2_{ };

 .

2. Вычислить _{ } по параболе х = y² от точки (9,-3) до точки (1,1) (рисунок 40)

4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода

Пусть на кривой Г установлено направление движения. Взяв точку Р на этой кривой, проведем в ней касательную к Г и установим на касательной направление, соответствующее направлению движения по кривой. Отложим по касательной в установленном направлении дифференциал длины дуги dL получим вектор d_{ } (рис. 129), проекциями которого служит дифференциалы dx, dy, dz координат х, у, и z соответственно. Обозначим углы, составляемые касательным вектором d_{ } с осями координат х, у и z через _{ }(P), _{ }(P), _{ }(P) соответственно. Эти углы есть функции от точки Р. Известная формула, дающая проекцию вектора на ось, приводит теперь к соотношениям





_{ } (55)

Поэтому, например, составной криволинейный интеграл

_{ },

может быть заменен интегралом по длине дуги:

_{ } (56)

5. Формула Грина

Пусть D - плоская область, ограниченная линией Г. В замкнутой области - D (т.е. в области D с включенной границей Г) заданы функции X(x,y) и Y(х, у). Предположим, что эти функции имеют в D частные производные, причем как сами функции так и их частные производные непрерывны в D. На Г зададим направление движения так, чтобы при этом движении область D оставалась с левой руки (обход Г против часовой стрелки). Имеет место следующая формула

_{ } (57)

которая называется формулой Грина.

Ф
Рисунок 42
ормула Грина и другие формулы, похожие на нее, которые мы рассмотрим в дальнейшем, имеют весьма большое значение. Они позволяют заменять анализ одного явления, происходящего в области (двойной интеграл) анализом другого явления, происходящего только на границе области (криволинейный интеграл). Выведем формулу (57). Эта формула получается сложением двух формул

_{ } (58)

Для простоты предположим, что граница Г состоит из линий Г₁ и Г₂, заданных уравнениями у = у₁ (х), у = y₂(х), и прямых х = а и х = b (рисунок 42). Вычисляем двойной интеграл:





Вычисляем криволинейный интеграл:



(интегралы по вертикальным прямым х = a и х = b исчезли, так как там dх=0)



Сравнивая выражения для двойного и криволинейного интегралов, видим, что различие лишь в знаке. Это и приводит к формуле (58).

6. Формула Стокса

Формула Грина является частным случаем более общей формулы Стокса. Пусть в пространстве задана поверхность Q, ограниченная замкнутой кривой Г. Поверхность предполагаем ориентированной, а на контуре Г установим такое направление обхода, чтобы наблюдатель, идущий по Г, направление от ног к голове которого совпадает с направлением n нормали к Q, видел поверхность Q с левой руки (рисунок 43). Пусть на поверхности Q заданы три функции Х(х, у, z), Y(х,у, z), Z(x, y, z), непрерывные вместе с их частными производными. Формула Стокса утверждает, что


Ч
Рисунок 43
тобы запомнить левую часть этой формулы, можно поступить следующим образом. Изобразим переменные х, у и z в виде круговой диаграммы (рисунок 44). Начинаем с х и, продвинувшись до у берем

ф ункцию Y, дифференцируем ее по х и вычитаем производную Х по у (занятые в этом члене


Рисунок 44

дифференциалы dхdy от тех же переменных). Теперь начинаем от у (вместо х). Продвинувшись до z , берем функцию Z и дифференцируем ее по у. Раз первый член _{ } , то второй будет _{ } со знаком минус (занятые в этом члене дифференциалы dуdz). Затем начинаем от z и т. д.

Формула Стокса складывается из трех формул:

_{ },

_{ },

_{ }