ннн. Криволинейная трапеция

• Название: Криволинейная трапеция
• Дата: 23.09.2019
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: kollokvium.docx
• Тип: Документы; #87456
• страница: 1 из 24

24. Понятие определенного интеграла, геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла.

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная сверху кривой y=f(x), снизу – отрезком [a;b], слева – прямой х = а, справа – прямой х = b.

Определенный интеграл – площадь криволинейной трапеции

Достаточное условие существование определенного интеграла: если функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Обязательная составляющая криволинейной трапеции – нижнее основание в виде [a;b] и верхняя часть в виде кривой y=f(x). Если существует конечный предел интегральной суммы при λ→0, не зависящий ни от способа дробления промежутка [a;b] на части, ни от выбора точки Ę_i, то этот предел – определенный

интеграл функции f(x)по промежутку [a;b]: I=

Свойства определенного интеграла

1) Если переставить пределы интегрирования, то изменится лишь знак:



2) Каковы бы ни были а и b, всегда имеет место равенство:



3) Постоянный множитель А выносится за знак определенного интеграла:



4) Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:



5) Если f(x) – неотрицательная на [a;b], функция и нижний предел меньше верхнего предела (a



Замечание: если f(x) ≤0 на [a;b] и a≤0

Если f(x) ≥0 на [a;b] и a>b имеем ≤0

Если f(x) ≤0 на [a;b], то ≥0

6) Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то:

, т.е. неравенство почленно интегрируется.

7) Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то:

, т.е. абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла абсолютной величины подынтегральной функции.

8) Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то:



9) Теорема о среднем:

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то существует хотя бы одна точка С на этом отрезке, такая, что справедливо равенство:



Замечание: формула справедлива также для a>b, кроме a
Если a>b, то:

, (b=
Геометрический смысл:

Если f(x) >=0 на отрезке [a;b], то интеграл левой части есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), а правая часть – площадь прямоугольника с тем же основанием и h=f(c). Для площади криволинейной трапеции всегда есть равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием и h, равной ординате этой кривой.

10) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен 0.




25. Основные методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Интегрирование четных и нечетных функций.