Лекция 3_Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных
![]()
|
. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных Если частные производные ![]() ![]() Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема. Теорема Шварца. Если частные производные второго порядка функции z = f (х,у) непрерывны в точке М0(х0,у0), то в этой точке смешанные частные производные равны, то есть ![]() Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции ![]() ![]() Решение. Так как ![]() ![]() Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (х0, у0). Точка (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x, y), если существует такая δ - окрестность точки (х0, у0), что во всех ее точках (х,у), отличных от (х0,у0) , выполнятся неравенство ![]() ![]() На рисунке 7: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z = f(x, y). Максимум и минимум функции называются ее экстремумами. Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0, у0) дифференцируемая функция z = f (x, y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ![]() Геометрически равенства ![]() ![]() З ![]() ![]() Точки, в которой частные производные первого порядка функции z = f (x, y) равны нулю, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х0, у0) функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем ![]() ![]() ![]() Обозначим ![]() Тогда: 1) если Δ(x0, y0) > 0, то функция z = f (x, y) в точке (х0, у0) имеет экстремум: максимум, если A < 0, и минимум, если A > 0 ; 2) если Δ(x0, y0) < 0, то функция z = f (x,y) в точке (х0, у0) экстремума не имеет; 3) если Δ(x0, y0) = 0, то экстремум в точке (х0, у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Пример 2. Найти точки экстремума функции z = 3x2y- x3 - y4. Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка: ![]() не определены отсутствуют. 2) Найдем стационарные точи, решая систему уравнений: ![]() Отсюда получаем две точки: ![]() 3) Находим частные производные второго порядка данной функции: ![]() 4) В точке М1 (6,3) имеем: A = 6 • 3 - 6 • 6 = -18, B = 6 • 6 = 36, C = -12• 32 =-108, отсюда Δ(6,3) = -18• (-108)-362 = 648 > 0, то есть М1 (6,3) - точка экстремума. Так как A = -18 < 0 , то М1 (6,3) - точка максимума. В точке М2(0,0): A = 0, B = 0, C = 0, отсюда Δ(0,0) = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции ![]() М2(0,0) такие, что х = 0, тогда z(х = 0, у) = -y4 < 0, а теперь рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием у = 0 , х < 0 : z(х < 0, у = 0) = -x3 > 0. Таким образом, в любой окрестности точки М2(0,0) функция ![]() 10. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = f(x, y): 1) Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в них; 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) на границах области; 3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее. П ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Здесь ![]() Находим все критические точки: ![]() Решением системы являются точки (0,0), (-1,0), (0,-1), ![]() 2) Исследуем функцию z = x2y + ху2 + ху на границе области, состоящей из участков АВ , ВС , СЕ и ЕА (см. рис. 10). а) На участке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Сравнивая полученные результаты, имеем: ![]() Замечание. Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [7], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль. Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы трапециидальной формы (AB=CD, см. рис. 11). ![]() Пример 2. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы. Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной площади S с наименьшим периметром. Пусть AB=CD=y, ![]() Тогда ![]() ![]() Таким образом, требуется найти такую точку (х0, у0) из области ![]() Найдя частные производные функции Р(х,у) и приравняв их к нулю, получим систему уравнений: ![]() Подставив вместо S в первое уравнение этой системы левую часть второго уравнения, получим ![]() В рассматриваемой области D функция P(x,y) имеет единственную критическую точку ![]() ![]() Исследуем функцию ![]() ![]() При приближении точки (x, y) к прямым x=0 и y=0, а также при удалении в бесконечность по y функции P(x,y) неограниченно возрастает. Поэтому точку ![]() ![]() ![]() Отсюда следует, что ![]() Итак, функция P(x,y) имеет наименьшее значение ![]() Из равенства ![]() ![]() |