ФЛЕКС В 30 СТРАНИЦАХ. Частная производная

• Название: Частная производная
• Дата: 18.09.2022
• Размер: 6.12 Mb.
• Имя файла: ФЛЕКС В 30 СТРАНИЦАХ.docx
• Тип: Документы; #682899

1. 
   Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
   

В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным

Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных. ... В левой части получим частное приращение функции по переменной x.

2. 
   Cначала берется производная внутренней функции, далее от внешней.
   

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

3. 
   Производная неявной функции
   

4. 
   В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, как быстро значение функции изменяется при движении в данном направлении.
   

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению

Градиент скалярной величины – векторная величина, численно равная производной от этой функции по направлению нормалей к поверхности уровня.

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

5. 
   Касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку
   

Нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

6. 
   Экстремумы функции
   

7.



Двойной интеграл



Свойства двойного интеграла



Двойной интеграл в полярных и параметрических кордах





Приложения двойного интеграла

8.



Теорема о существовании криволинейного интеграла 1 рода



Вычисление криволинейного интеграла 1 рода



Приложения криволинейного интеграла 1 рода

9.





Свойства криволинейного интеграла 2 рода



Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

10.



Интеграл по замкнутому контуру и формула Грина

11.



Поверхностный интеграл 1 рода



Поверхностный интеграл 2 рода



Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода



Сведение к двойному интегралу.

12. Ве́кторное по́ле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке.

Скалярное поле (скалярная функция) на некотором конечномерном пространстве {\displaystyle V} — функция, ставящая в соответствие каждой точке из некоторой области этого пространства (область определения) скаляр, то есть действительное или комплексное число



дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля.



Ротор {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {a} } векторного поля {\displaystyle \mathbf {a} }— есть вектор, проекция которого {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} } на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку^[4]:

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к





Поток поля





Циркуляция векторного поля



Формула Стокса

13.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

К простейшим замкнутым поверхностям можно отнести сферу и треугольную пирамиду.

Поток векторного поля вычислим с помощью того же поверхностного интеграла 2-го рода, и так как поверхность замкнута, то к его обозначению обычно добавляют символический кружочек

И, очевидно, что здесь придётся представить его в виде суммы четырёх поверхностных интегралов по ориентированным граням пирамиды



http://mathprofi.ru/potok_vektornogo_polya.html

Формула остроградского – гаусса

Поток векторного поля, через замкнутую поверхность направлени внешней нормали равен тройному интегралу div по объему V

(Фо́рмула Гаусса — Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.) см где a*ds=divadV



14.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию{\displaystyle \ F(s)} изображение с функцией {\displaystyle \ f(x)} оригинала. С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

f(t) -> F(p)

Решение задачи Коши для линейных ДУ

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие

состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

15) Классическое определение вероятности события

( https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par12 )

( https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par14 )

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами или элементарными событиями. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого исхода влечет за собой появление события А.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и 1

Теоремы сложения, умножения вероятностей

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B).

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B).

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).

16.

Формулы полной вероятности, формула Байеса переоценки гипотез

(https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par16 )

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых  . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности



Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез



Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез   называются апостериорными вероятностями, тогда как   - априорными вероятностями.

(формула байеса)



17) Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

• 
  бросание монеты или игрального кубика (вероятности выпадения герба/решки или определенной цифры одинаковы в каждом броске);
  
• 
  извлечение из урны шара при условии, что вынутый шар после записи его цвета кладется обратно в урну (то есть состав шаров в урне не меняется и не меняется вероятность вынуть шар нужного цвета);
  
• 
  включение приборов (ламп, станков и т.п.) с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждого;
  
• 
  повторение стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой и т.д.
  

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем nn испытаний Бернулли. Это означает, что все nn испытаний независимы; вероятность появления события АА в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события АА в единичном испытании буквой рр, т.е. p=P(A)p=P(A), а вероятность противоположного события (событие АА не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯¯)=1−pq=P(A¯)=1−p.

Тогда вероятность того, что событие АА появится в этих nn испытаниях ровно kk раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Теорема лапласа ваще хз че тут

18.

Случайная величина — это математическое понятие, служащее для представления случайных явлений, когда для них может быть определена их вероятность, то есть мера возможности наступления

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

Самыми важными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание, имеющее смысл среднего значения, и дисперсия, характеризующая разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. (мат ожидание, Дисперсия, Среднеквадратическое отклонение, Мода, Медиана, Срединное (вероятное) отклонение, Корреляционный момент, Коэффициент корреляции)



Функция распределения



19.

Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

 – равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция была найдена как производная, то  – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки)

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что .

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

.

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. , .

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Непрерывная СВ – величина, бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой



Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, при котором она может принимать любое значение в заданных пределах с одинаковой вероятностью.

Показательным или экспоненциальным, называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью f(x)={0,приx<0λe−λx,приx⩾0,λ−const

и имеет один параметр λ

. В этом его преимущество перед другими распределениями.

20.



Коэффициент корреляции (или линейный коэффициент корреляции) обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ») и характеризует линейную корреляцию (то есть взаимосвязь, которая задается некоторым значением и направлением) двух или более переменных. Значение коэффициента лежит между -1 и +1, то есть корреляция бывает как положительной, так и отрицательной. Если коэффициент корреляции равен -1, имеет место идеальная отрицательная корреляция; если коэффициент корреляции равен +1, имеет место идеальная положительная корреляция. В остальных случаях между двумя переменными наблюдается положительная корреляция, отрицательная корреляция или отсутствие корреляции



Линейная регрессия (Linear regression) — модель зависимости переменной x от одной или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) с линейной функцией зависимостиМатематическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

Y=a+bx.

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• 
  a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
  
• 
  b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
  
• 
  a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.
  

21.

Статистическое наблюдение (Выборка). ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ – вид статистического наблюдения, организованный на основе выборки, при котором отбирается часть единиц изучаемой совокупности, по определённым правилам, из общей совокупности единиц. Совокупность единиц, из которых осуществляется отбор, называется ген. совокупностью.

Выборочное среднее



Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их выборочного среднего:

.

Модой М_о вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту (или относительную частоту).

Медианой М_е вариационного ряда называется число, являющееся его серединой. Для дискретного ряда с нечетным числом вариант медиана равна его серединному варианту. Если же число вариант четно, то Медина равна среднему (т.е. полусумме) двух серединных вариант.

Гистогра́мма — способ представления табличных данных в графическом виде — в виде столбчатой диаграммы. Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны.

22.

Статистическая гипотеза - это некоторое предположение о свойствах генеральной совокупности, которое необходимо проверить. Статистические гипотезы выдвигаются, когда необходимо проверить, является ли наблюдаемое явление элементом случайности или результатом воздействия некоторых мероприятий.

Статистический критерий - статистическая характеристика выборки, вычисляемая по некоторому математическому соотношению (формуле) на основе данных, имеющихся в выборке.

По значению этой характеристики принимается решение, принимать основную гипотезу или нет. Статистические критерии бывают двух видов:

• 
  односторонний критерий - критерий, значения которого принадлежат области (0; +∞);
  
• 
  двусторонний критерий - критерий, значения которого принадлежат области (-∞; +∞).
  

Свойства статистического критерия:

• 
  статистический критерий является случайной величиной, закон распределения которой известен. Зачастую в названии статистического критерия упоминается его закон распределения. Например, критерий хи-квадрат-Пирсона подчиняется закону распределения хи-квадрат;
  
• 
  чем ближе значение статистического критерия к нулю, тем более вероятно, что основная гипотеза является верной.
  

Шаги проверки статистических гипотез следующие:

• 
  формулируется основная гипотеза H0 и альтернативная гипотеза H1;
  
• 
  выбирается статистический критерий, с помощью которого будет проверяться гипотеза;
  
• 
  задаётся значение уровня значимости α;
  
• 
  находятся границы области принятия гипотезы;
  
• 
  делается вывод о принятии или отвержении основной гипотезы H0.
  

23.

Решение: на уровне значимости  проверим гипотезу  о нормальном распределении генеральной совокупности против конкурирующей гипотезы  о том, что она так НЕ распределена. Используем критерий  согласия Пирсона .

Эмпирические частоты известны из предложенного интервального ряда, и осталось найти теоретические. Для этого нужно вычислить выборочную среднюю  и выборочное стандартное отклонение .

Выберем в качестве вариант  середины частичных интервалов (длина каждого интервала ) и заполним расчётную таблицу:

Вычислим выборочную среднюю:
 литра

Выборочную дисперсию вычислим по формуле:


И выборочное стандартное отклонение:
 литра.
Теоретические частоты рассчитываются по формуле:
, где  – знакомая функция Гаусса, а .

И, наконец, теоретическая частота: