Интерполяция и экстраполяция. Интерполяция и экстраполяция функции
 Скачать 440.5 Kb.
|
|
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ Карташян Марсел Вардгесович (ananimar@mail.ru) Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей №6 г. Шахты Ростовской области (МБОУ г. Шахты «Гимназия им. А. С. Пушкина») Аннотация На занятиях по естественнонаучным предметам часто возникает необходимость перехода от табличного способа задания функции к аналитическому. Задача учителей математики – предоставить простой и эффективный алгоритм (прежде всего для вычислительных систем) для решения подставленной задачи. Основная задача работы – краткое описание некоторых методов интерполяции функций. В начале приводятся основные сведения об алгебраической интерполяции. Излагаются методы линейной и квадратичной интерполяции, а также метод Эйткена. Далее описывается метод тригонометрической интерполяции. Работа завершается понятием «экстраполяция функции». Алгебраическая интерполяция. На практике часто возникает необходимость перехода от табличного способа задания функции к аналитическому. Задание функции формулой имеет следующие преимущества: во-первых, формулы занимают мало места, во-вторых, как правило, с помощью формул легче выполнить вычисления. А самое главное, с помощью таблицы невозможно найти значения функции в тех точках, которые отсутствуют в таблице. Общая задача интерполяции функции заключается в том, чтобы найти определенную на отрезке  функцию  такую, что  где  =1, 2, …, n и  < <...< Естественно требовать найти простейшую функцию с вычислительной точки зрения. Если простейшей назовём функцию, значения которой вычисляются арифметическими действиями сложения, вычитания и умножения, то такой является целая рациональная функция, то есть многочлены.Таким образом, одна из наиболее важных проблем состоит в том, чтобы уметь записать многочлен  степени не выше n-1, обладающий тем свойствам, что  =1, 2, …, n. Очевидно, что если такой многочлен существует, то он единственный. Действительно, предположим, что существуют два таких многочлена и  Тогда уравнение  степени не выше n-1 имеет n корней  ( =1, 2, …, n), что невозможно. Возьмём    (3)Многочлены  =1, 2, …, n называются коэффициентами Лагранжа. Эти многочлены обладают следующими свойствами: они имеют степень n-1,    при  Многочлен (3) обладает следующим свойствам: имеет степень не выше n-1, удовлетворяет условиям  =1, 2, …, n. Формула (3) называется интерполяционной формулой Лагранжа, - узлами интерполяции, а ( ,  ) – узловыми точками.В том случае, когда функция  на промежутке интерполяции монотонна, в формуле (3) заменяя x на y, а y на x, получим формулу, с помощью которой можно выполнить обратную интерполяцию, то есть с помощью значений функции вычислить соответствующие значения аргумента.На практике широко применяются линейная и квадратичная интерполяции. При n=2 интерполяционная формула Лагранжа примет вид:  (4)В результате получается уравнение прямой, проходящей через точки  и  При n=3 из формулы (3) получим формулу  которая является уравнением параболы, проходящей через точки   и  Если требуется найти значение функции в точке, не являющей узловой, то с помощью линейной интерполяцией можно «уплотнить» таблицу не построив интерполяционный многочлен. Пусть   и  где  Для любого  по формуле (4) получим    а для любого    Тогда    Такой метод интерполяции называется методом Эйткена.Тригонометрическая интерполяция. Рассмотрим интерполирование периодических функций. Пусть функция задана на отрезке   таблицей значений  в равноотстоящих узлах  =0,1, 2, … , n-1 или  =0, 1, …, n-1. Тригонометрическим многочленом степени m называется многочлен  Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена, удовлетворяющего условиям  ( )= , i=0,1, 2, …, n-1. Можно показать, что решением этой задачи является многочлен (x)=  +  , где коэффициенты  и  вычисляются по следующим формулам:  =  , =  , =  , k=1, 2, …, m.Экстраполяция функции. Экстраполяция – приближённое определение значений функции в точках, лежащих вне отрезка  (см. алгебраическая интерполяция). Методы экстраполяции в основном совпадают с методами интерполяции. Например, значения функции можно вычислить с помощью того же интерполяционного многочлена.По описанным выше алгоритмам можно составить компьютерные программы нахождения приближённых значений функции, заданной таблицей. Автором строк составлены программы, применяемые алгебраической (метод выбирается пользователем) и тригонометрической интерполяцией. Программы можно найти в использованных источниках или спросить по электронному адресу. Использованные источники 1.Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. – М.: «Высшая школа», 1998 г. 2.Ханова А. А. Интерполяция функций. – Астрахань: Институт информационных технологий и коммуникаций, 2001 г. 3.Ващенко Г. В. Вычислительная математика: основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. – Красноярск: СибГТУ, 2008 г. |