вычмат лаба 2. Интерполяция непрерывной функции кубическими полиномами (кубическим сплайном дефекта 1)

• Название: Интерполяция непрерывной функции кубическими полиномами (кубическим сплайном дефекта 1)
• Анкор: вычмат лаба 2
• Дата: 15.05.2022
• Размер: 1.69 Mb.
• Имя файла: LR2.docx
• Тип: Лабораторная работа; #530577

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технологический университет

«СТАНКИН»

(ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН»)


Лабораторная работа №2 по дисциплине

«Вычислительная математика»

Тема: «Интерполяция непрерывной функции кубическими полиномами (кубическим сплайном дефекта 1)»

Вариант №14

Выполнил: студент группы ИДБ-19-06

Макаров М.А.
Преподаватель:

Красикова Е.М.
Москва, 2021

Постановка задачи:

Пусть на некотором отрезке [𝑎, 𝑏] действительной оси существует некоторая непрерывная функция y(x), значения которой известны лишь в n+1 точке данного отрезка, которые обозначим через 𝑥_𝑖 , 𝑖 = , и 𝑥_𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, , 𝑥₀ = 𝑎, 𝑥_𝑛 = 𝑏. Требуется найти для каждых двух соседних точек (узлах) 𝑥𝑖 , 𝑥_𝑖+1, 𝑖 = данного отрезка кубический полином, аппроксимирующий данную функцию в каждой точке интервала (𝑥_𝑖 , 𝑥_𝑖+1 ), значения которого совпадают со значениями функции на концах интервала.

Необходимо получить кубический сплайн дефекта 1 для функции cos*3(x/3) на отрезке функции [−1;1], построить график сплайна и cos*3(x/3) на одной координатной плоскости для сравнения определить погрешность построенного сплайна

Практическая часть

Для построения данного сплайна необходимо разредить отрезок [−1;1] на несколько равных отрезков. Пусть данный отрезок будет разделен на 5 равных отрезков. Тогда шаг такого разделения будет равен  = 0,4.





Н
азовем кубическим сплайном функции  , [-1;1] на сетке точек, указанных в таблице выше, функцию S(x), удовлетворяющую следующим условиям:

Запишем полиномы S_i(x) и их производные в виде:



Возьмём первую и вторую производную нашего полинома:





Подставим x_i вместо x и получим:







Отсюда следует, что для выполнения третьего условия в узлах интерполяции:

, при i=1,2,3,4,5

Требуя непрерывности сплайна в узлах x_i, i = 1,2,3,4 и выполнения третьего условия при i = 0, получаем:

, при i=1,2,3,4,5

Или

, при i = 1,2,3,4,5

Второе условие относительно непрерывности первой производной сплайна в узлах xi, i = 1,2,3,4 приводит к соотношению:

, i = 2,3,4,5.

Аналогично, для второй производной сплайна:

, i = 2,3,4,5.

Дополнительные граничные условия (четвертое условие) дают последних два уравнения:





В итоге получается система, содержащая в сумме 3*5 = 15 линейных алгебраических уравнений для отыскания 3*5 = 15 неизвестных: b_i, c_i, d_i, i = 1,2,3,4,5.

Реализация метода Гаусса:
#include

#include

#include
using namespace std;
int main()

{

setlocale(LC_ALL, "RUS");

int i, j, n, m, k;

float d;
//создаем массив

cout << "Кол-во уравнений в системе: ";

cin >> n;

cout << "Кол-во переменных: ";

cin >> m;

m += 1;

float** matr = new float* [n];

for (i = 0; i < n; i++)

matr[i] = new float[m];
//вводим элементы матрицы
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < m; j++)

{

cout << " Элемент " << "[" << i + 1 << " , " << j + 1 << "]: ";

cin >> matr[i][j];

}

//выводим матрицу

cout << "Матрица: " << endl;

for (i = 0; i < n; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

cout << matr[i][j] << " ";

cout << endl;

}

cout << endl;
//Метод Гаусса

//Прямой ход, приведение к верхнетреугольной матрице

float* X = new float[m];

for (i = 0; i < n; i++)

{

d = matr[i][i];

for (j = n; j >= i; j--)

matr[i][j] = matr[i][j] / d;

for (j = i + 1; j < n; j++)

{

d = matr[j][i];

for (k = n; k >= i; k--)

matr[j][k] -= d * matr[i][k]; // Диагональная матрица

}

}
//обратный ход

// считаем корни
X[n - 1] = matr[n - 1][n];

for (i = n - 2; i >= 0; i--)

{

X[i] = matr[i][n];

for (j = i + 1; j < n; j++)

X[i] = X[i] - matr[i][j] * X[j];

}

//Вывод решения

for (i = 0; i < n; i++)

cout << "X" << i + 1 << " = " << X[i] << endl;

cout << endl;
delete[] matr;

return 0;

}

Исходная система 15х15:


Упрощение и основная матрица



Решаем данную систему методом Гаусса и получаем следующие корни:
b1 ​= 0.2092105283284274

b2 = 0.0552631527008294

b3 = -0.05526315270082938

b4 = -0.2092105283284274

b5 = -0.3078947512551961
с1 = -0.4934211146338432

с2 = -0.2763157635041469

с3 = -0.2763157635041469

с4 = -0.49342111463384336

с5 = -4.336808689942016e-17 = 0
d1 = -1.2335527865846057

d2 = 0.5427633778242403

d3 = -0.0

d4 = -0.5427633778242417

d5 = 1.2335527865846085
a1 = 2.940199733523725

a2 = 2.993335802103367

a3 = 2.993335802103367

a4 = 2.940199733523725

a5 = 2.834870838944213

Подставив данные коэффициенты в изначальное уравнение сплайна, мы получим пять сплайнов, каждый для своего диапазона











График сплайна



Подсчёт погрешности





Вывод

В данной лабораторной работе мы разобрали интерполяцию кубическим сплайном дефекта 1. Попрактиковались на предложенной функции, построили график сплайна и оценили погрешность данного метода.