иир. Isbn 9785091012200 (электр изд.)
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
УДК 373.167.1:51+51(075.3) ББК 22.1я72 М52 © Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., 2013 © Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., 2019, с изменениями © АО «Издательство «Просвещение», 2021 © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2021 Все права защищены ISBN 978-5-09-101220-0 (электр. изд.) ISBN 978-5-09-088563-8 (печ. изд.) Мерзляк, Аркадий Григорьевич. М52 Математика. 6 класс : учебник : издание в pdf-формате / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольско- го. — 8-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 334, [2] с. : ил. ISBN 978-5-09-101220-0 (электр. изд.). — Текст : электронный. ISBN 978-5-09-088563-8 (печ. изд.). Учебник предназначен для изучения математики в 6 классе общеобразовательных ор- ганизаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формиро- вать у школьников познавательный интерес к математике. Учебник соответствует Федеральному государст венному образовательному стандар- ту основного общего образования и включён в Федеральный перечень. УДК 373.167.1:51+51(075.3) ББК 22.1я72 Под редакцией профессора кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, доктора физико-математических наук В. Е. Подольского Издание выходит в pdf-формате. 5 Глава 1. Делимость натуральных чисел Изучив материал этой главы, вы узнаете, как, не выполняя деления, определить, делится ли данное натуральное число наце- ло на: 2, 3, 5, 9, 10. Познакомитесь с простыми и составными числами, научи- тесь раскладывать натуральные числа на простые множители. Вы узнаете, что называют наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел. § 1. Делители и кратные Остаток при делении числа 30 на 5 равен 0, так как 30 = 5 · 6. В этом случае говорят, что число 30 делится нацело на 5. Число 5 называют дели- телем числа 30, а число 30 — кратным числа 5. Натуральное число a делится нацело на натуральное число b, если найдётся натуральное число с такое, что справедливо равенство a = b · c. Если натуральное число a делится нацело на натуральное число b, то число a называют кратным числа b, а число b — делителем числа а. Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а чис- ло 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. По- этому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7. Как лучше говорить: «Число a делится нацело на число b», «Число b является делителем числа a», «Число a кратно числу b», «Число a является кратным числа b»? Всё равно, любой выбор будет верным. Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все кратные числа 6? Числа 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3, 6 · 4, 6 · 5 и т. д. кратны числу 6. Получается, что чисел, кратных числу 6, бесконечно мно- го. Поэтому всех их перечислить нельзя. Вообще, для любого натурального числа a каждое из чисел a · 1, a · 2, a · 3, a · 4, … является кратным числа a. Наименьшим делителем любого натурального числа a является число 1, а наибольшим — само число a. Среди чисел, кратных a, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число a. 6 Решаем устно 1. Вычислите: 1) 0,6 + 0,4; 3) 0,6 − 0,4; 5) 0,6 · 4; 7) 6 : 4; 2) 0,6 + 0,04; 4) 0,6 − 0,04; 6) 0,6 · 0,4; 8) 0,6 : 4. 2. Чему равно частное при делении 54 на 9? 3. Чему равен делитель, если делимое равно 98, а частное — 7? 4. Чему равно делимое, если делитель равен 24, а частное — 5? Упражнения 1. Верно ли утверждение: 1) число 6 является делителем числа 24; Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на 3. Вообще, если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то и сумма a + b также делится нацело на число k. Рассмотрим при- мер. Пусть каждое из чисел а и b не делится нацело на число k. Выскажем гипотезу: сумма a + b тоже не делится нацело на число k. Заметим, что каж- дое из чисел 4 и 8 не делится нацело на 3. При этом их сумма, число 12, де- лится нацело на 3. Следовательно, приведённая гипотеза неверна. Пример, с помощью которого мы опровергли гипотезу, называют контрпримером. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на 5. Таким образом, если ни число а, ни число b не делятся нацело на число k, то их сумма a + b может делиться, а может и не делиться нацело на число k. Число 35 делится нацело на число 7, а число 17 на число 7 не делит- ся нацело. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число a делится нацело на число k и число b не де- лится нацело на число k, то сумма a + b не делится нацело на чис- ло k. 1. В каком случае число b: 1) является делителем числа a; 2) кратно числу a? 2. Какое число является делителем любого натурального числа? 3. Какое число является наибольшим делителем натурального числа a? 4. Какое число является наименьшим кратным натурального числа a? 5. Сколько существует кратных данного натурального числа a? ? 7 2) число 6 кратно числу 24; 3) число 5 является делителем числа 51; 4) число 9 является делителем числа 99; 5) число 18 кратно числу 3; 6) число 28 кратно числу 8? 2. Какие из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 являются: 1) делителями 24; 3) делителями 20 и 24; 2) кратными 6; 4) делителями 24 и кратными 4? 3. Чему равняется: 1) наибольший делитель числа 19 735; 2) наименьший делитель числа 19 735; 3) наименьшее кратное числа 19 735? 4. Запишите все делители числа: 1) 18; 2) 8; 3) 13; 4) 56. 5. Запишите все делители числа: 1) 30; 2) 12; 3) 23; 4) 72. 6. Запишите пять чисел, кратных числу: 1) 7; 2) 30; 3) 100; 4) 34. 7. Запишите четыре числа, кратных числу: 1) 16; 2) 12; 3) 150; 4) 47. 8. Из чисел 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108, 110 выпишите те, которые: 1) кратны 4; 2) не кратны 6. 9. Известно, что сумма натуральных чисел a и b делится нацело на 5. Верно ли, что: 1) каждое из чисел a и b делится нацело на 5; 2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое — нет? Ответ проиллюстрируйте примерами. 10. Известно, что каждое из чисел a и b не делится нацело на 3. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на 3? 11. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел: 1) 15 и 20; 2) 7 и 21; 3) 24 и 36; 4) 20 и 21. 12. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел: 1) 12 и 18; 2) 60 и 90; 3) 22 и 35; 4) 9 и 27. 13. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел: 1) 3 и 4; 2) 6 и 12; 3) 4 и 6. 14. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел: 1) 5 и 9; 2) 8 и 32; 3) 8 и 12. 15. Запишите: 1) все двузначные числа, кратные 19; 2) все трёхзначные числа, кратные 105. 8 16. Запишите все двузначные числа, кратные 23. 17. Запишите все значения x, кратные числу 4, при которых верно нера- венство 18 H x H 36. 18. Запишите все значения x, кратные числу 6, при которых верно нера- венство 25 H x H 60. 19. Запишите все значения x, являющиеся делителями числа 80, при ко- торых верно неравенство 7 H x H 40. 20. Запишите все значения x, являющиеся делителями числа 98, при ко- торых верно неравенство 14 H x H 50. 21. Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел? 22. Найдите число, кратное числам 9 и 12, которое меньше 100. Сколько существует таких чисел? 23. Верно ли утверждение: 1) если число a кратно 6, то оно кратно 3; 2) если число a кратно 3, то оно кратно 6; 3) если число a кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12; 4) если число a кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24? Ответ проиллюстрируйте примерами. 24. Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет число: 1) 65; 2) 121. Укажите все варианты выбора таких трёх чисел. 25. При делении числа a на 7 получили остаток 4. Какому условию долж- но удовлетворять число b, чтобы сумма a + b была кратна 7? 26. При делении числа a на 9 получили остаток 5. Какому условию долж- но удовлетворять число b, чтобы разность a − b была кратна 9? 27. При каких натуральных значениях n значение выражения 15n кратно числу: 1) 3; 2) 5; 3) 10; 4) 11? 28. При каких натуральных значениях n значение выражения: 1) 3 n + 2 кратно числу 2; 2) 4 n + 3 кратно числу 3? 29. Докажите, что: 1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, крат- но 11; 2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37. 30. К однозначному числу дописали одну цифру, в результате чего оно увеличилось в 41 раз. Какую цифру и к какому числу дописали? 31. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули? 9 Упражнения для повторения 32. Первая на Руси школа, как написано в «По- вести временны х лет», была открыта в Кие- ве в 988 г. при князе Владимире Святосла- виче. В 1701 г. указом императора Петра I была создана первая в России государствен- ная светская школа — Школа математиче- ских и навигацких наук, или, как чаще её на- зывали, Навигацкая школа. Первоначально школу возглавил боярин Фёдор Головин, а затем — выдающийся русский математик- педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739), проработавший в школе 38 лет — со дня её открытия в 1701 г. до по- следних дней своей жизни. Перу Л.Ф. Маг- ницкого принадлежал первый изданный в России в 1703 г. учебник по математике, на долгие годы ставший основным учебником российских школ. В На- вигацкой школе обучали чтению, письму, арифметике, геометрии, тригонометрии, черчению, географии, астрономии, навигации и дру- гим предметам. Через сколько лет после открытия первой на Руси школы была открыта Навигацкая школа? На сколько лет ваша школа «младше» Навигацкой школы? 33. Упростите выражение и вычислите его значение: 1) 0,2 a · 50b, если a = 4, b = 3,6; 2) 0,4 x · 25y, если x = 2,4, y = 3. 34. Решите уравнение: 1) 2,48 x + 3,52x = 1,26; 2) 4,63 x + 3,37x = 1,92. 35. В столовую завезли 146 кг овощей: 6 ящиков помидоров и 8 ящиков огурцов. Найдите, сколько килограммов огурцов было в каждом ящи- ке, если помидоров в каждом ящике было 7,8 кг, а масса огурцов во всех ящиках одинакова. Готовимся к изучению новой темы 36. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число: 1) 278; 2) 5 093. 37. Выполните деление с остатком: 1) 429 : 2; 3) 768 : 10; 5) 134 : 5; 2) 5 001 : 2; 4) 9 123 : 10; 6) 2 867 : 5. «Арифметика». Л.Ф. Магницкий 10 38. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в ви- де равенства a = bq + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток: 1) 83 : 7; 2) 171 : 17. Задача от мудрой совы 39. Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички. § 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 Последняя цифра каждого из чисел 90, 210, 1 400 равна нулю. Все эти числа делятся нацело на 10. Действительно, каждое из них можно предста- вить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых рав- но 10. Имеем: 90 = 9 · 10, 210 = 21 · 10, 1 400 = 140 · 10. Последняя цифра числа 187 не равна нулю. Это число не делится на- цело на 10. Действительно, можно записать: 187 = 180 + 7. Число 187 мы представили в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится наце- ло на 10, а другое — не делится. Из правила, сформулированного в преды- дущем параграфе, следует, что такая сумма не делится нацело на 10. Приведённые примеры иллюстрируют, как по записи натурального числа можно установить, делится оно нацело на 10 или нет. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, от- личной от 0, то это число не делится нацело на 10. Эти два утверждения называют признаком делимости на 10. Найдём неполное частное и остаток при делении некоторых нату- ральных чисел на 10. Имеем: 173 = 170 + 3 = 10 · 17 + 3; 4 258 = 4 250 + 8 = 10 · 425 + 8; 20 005 = 10 · 2 000 + 5. Эти примеры иллюстрируют следующее: если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному по- следней цифрой этого числа. С помощью последней цифры числа устанавливают и другие призна- ки делимости. Числа 2, 14, 26, 58 делятся нацело на 2. Натуральные числа, которые нацело делятся на 2, называют чётными. 11 Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют не- чётными. Например, числа 3, 5, 17, 349, 10 001 — нечётные. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечёт- ными. А как, не выполняя деления, установить чётность числа? И здесь по- могает признак делимости. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится нацело на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2. Отметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1. Например, 53 = 2 · 26 + 1, 121 = 2 · 60 + 1. Заметим, что если чётное число умножить на 5, то получится чис- ло, последняя цифра которого равна 0. Например, 2 · 5 = 10, 16 · 5 = 80, 28 · 5 = 140. Если же нечётное число умножить на 5, то последняя цифра полученного произведения будет равна 5. Например, 3 · 5 = 15, 17 · 5 = 85, 29 · 5 = 145. Итак, последней цифрой числа n · 5, где n — любое натуральное число, является 0 или 5. Также верно утверждение: если натуральное число оканчи- вается цифрой 0 или 5, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых равно 5, т. е. представить в виде n · 5, где n — некоторое натуральное число. Например, 15 = 3 · 5, 120 = 24 · 5. Теперь понятно, как среди натуральных чисел распознавать те, кото- рые кратны 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, от- личной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5. Например, числа 15, 35, 70, 3 580, 11 445 делятся нацело на 5, а числа 17, 24, 5 553, 172 802 нацело на 5 не делятся. 1. Какой цифрой должна оканчиваться запись натурального числа, чтобы оно делилось нацело на 10? 2. Какие числа называют чётными? Нечётными? 3. Какие цифры называют чётными? Нечётными? ? 12 4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет? 5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 5 или нет? Решаем устно 1. Верно ли утверждение: 1) число 17 является делителем числа 34; 2) число 5 является делителем числа 35; 3) число 45 является кратным числа 10; 4) число 17 кратно числу 2? 2. Назовите четыре натуральных числа, для которых делителем являет- ся число: 1) 2; 2) 7. 3. Назовите четыре натуральных числа, кратных числу: 1) 5; 2) 11. 4. Назовите в порядке возрастания все делители числа: 1) 6; 2) 14; 3) 40; 4) 9; 5) 7. Упражнения 40. Заполните таблицу (поставьте знак « +» в случае утвердительного от- вета или знак « −» в ином случае). Число 24 53 60 78 79 96 142 241 495 7 207 Чётное число 41. Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5 465, 8 216, 2 405, 1 020, 246 370 вы- пишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. 42. Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1 270, 2 625, 9 042, 7 121, 1 734: 1) не делятся нацело на 2; 2) кратны 10; 3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10? 43. Верно ли утверждение: 1) сумма двух чётных чисел является чётным числом; 2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом; 3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом; 4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа; 13 5) произведение двух чётных чисел является чётным числом; 6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом; 7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом? 44. Запишите все нечётные значения x, при которых верно неравенство: 1) 273 H x H 290; 2) 2 725 H x H 2 737. 45. Запишите все чётные значения x, при которых верно неравенство: 1) 134 H x H 160; 2) 489 H x H 502. 46. Найдите все значения x, кратные числу 5, при которых верно нера- венство: 1) 38 H x H 75; 2) 3 720 H x H 3 754. 47. Найдите все значения x, кратные числу 10, при которых верно нера- венство: 1) 279 H x H 320; 2) 1 465 H x H 1 510. 48. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи ко- торых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться). 49. Найдите все цифры, которые можно дописать справа к числу 793, чтобы получить число, кратное: 1) 2; 2) 5; 3) 10 (можно дописывать только одну цифру). 50. Запишите наибольшее: 1) четырёхзначное число, кратное 2; 2) пятизначное число, кратное 5; 3) шестизначное число, кратное 10. Цифры в записи числа не могут повторяться. 51. 1) Запишите шесть первых натуральных чисел, кратных 100. Обрати- те внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 100. 2) Запишите восемь первых натуральных чисел, кратных 25. Обрати- те внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 25. 52. Найдите наибольшее двузначное число x, при котором значение вы- ражения x − 32 делится нацело на 5. 53. Найдите наименьшее трёхзначное число y, при котором значение выражения 327 + y является числом, кратным 10. 54. Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться на- цело на число, в записи которого все цифры равны 2? 55. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться на- цело на число, в записи которого все цифры равны: 1) 1; 2) 5? 56. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чёт- ным или нечётным числом будет их произведение? 2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обяза- тельно ли их произведение будет чётным числом? 14 57. Чётной или нечётной будет сумма семи натуральных чисел, если: 1) четыре слагаемых чётные, а остальные — нечётные; 2) четыре сла- гаемых нечётные, а остальные — чётные? 58. Сумма девяти натуральных чисел равна 1 000. Можно ли утвер ждать, что их произведение — чётное число? Ответ объясните. 59. Можно ли разложить 50 яблок на пять кучек, в каждой из которых не- чётное количество яблок? Ответ объясните. 60. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены на- туральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длин- нее другой, и площадь которого равна 12 345 см 2 ? 61. Известно, что n — натуральное число. Является ли чётным числом значение выражения: 1) 2 n; 3) n(n + 1); 5) (2 n + 5)(4n − 2)(2n + 7)? 2) 2 n + 1; 4) (2 n − 1)(2n + 3); 62. В школе работают два ночных охранника — Иван Иванович и Пётр Петрович. Они дежурят по очереди с вечера до утра следующего дня. Иван Иванович заступил на дежурство 1 сентября, а Пётр Петро- вич — 2 сентября. Кто из них заступит на дежурство 18 сентября? 29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября? По каким числам — чётным или нечётным — будет дежурить Иван Иванович в ноябре? Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год? 63. Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2? 64. Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произ- ведению: 1) 1 · 2 · 3 · … · 15 · 16; 2) 1 · 2 · 3 · … · 25 · 26? 65. Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивает- ся цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите эти числа. 66. Сколько существует двузначных чисел, для записи которых использо- ваны только: 1) чётные цифры; 2) нечётные цифры? 67. Можно ли в выражении 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 заменить некоторые зна- ки « +» на знаки «−» так, чтобы значение полученного числового вы- ражения было равным 18? Упражнения для повторения 68. Докажите, что: 1) 14 168 кратно 28; 3) 73 является делителем 14 892; 2) 1 878 не кратно 24; 4) 56 не является делителем 5 172. 15 69. По состоянию на 2015 г. в России было 116 естественнонаучных музеев и музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства. Сколько музе- ев каждого из этих двух видов, если музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства в 3 раза меньше, чем естественнонаучных музеев? 70. По состоянию на 2015 г. в России бы- ло 152 государственных природных заповедника и национальных парка. Сколько в России природных заповед- ников и сколько национальных пар- ков, если заповедников на 58 больше, чем парков? 71. Выполните действия: 1) (69 · 0,63 − 10,098 : 5,4 − 20,54) : 0,324; 2) 0,98 · 3,8 − 0,132 : 5,5 − 2,45. Задача от мудрой совы 72. В клетках таблицы размером 3 × 3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2 × 2 клетки и увеличить числа во всех его клет- ках на единицу. Можно ли после нескольких та- ких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 1? § 3. Признаки делимости на 9 и на 3 Выполнив деление, можно убедиться, что каждое из чисел 108, 4 869, 98 802 делится нацело на 9. А существует ли другой, более быстрый способ убедиться в этом? Иными словами, существует ли признак делимости на 9? Да, он есть. Отметим, что сумма цифр каждого из этих трёх чисел кратна 9. А вот, например, ни сами числа 124, 533, 7 253, ни суммы их цифр, соответствен- но равные 7, 11, 17, не кратны 9. И это не случайно. Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число де- лится нацело на 9. Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9. Аналогично можно определить, делится ли число нацело на 3. Рис. 1 4 6 5 7 18 9 6 10 7 16 Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число де- лится нацело на 3. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3. Например, число 7 854 делится нацело на 3, так как сумма его цифр, равная 24, делится нацело на 3. Число 3 749 не делится нацело на 3, так как сумма его цифр, равная 23, не делится нацело на 3. 1. Как узнать, делится ли число нацело на 9? 2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет? Решаем устно 1. Буквой n обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечёт- ным является число: 1) n + 1; 2) n + 2? 2. Какой цифрой оканчивается произведение: 1) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7; 2) 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13? 3. Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10; 4) на 3; 5) на 9? 4. Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не де- лится на 2? 5. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы чис- ло 5 6*5 было кратным 9? 6. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу: 1) 5; 2) 9? Упражнения 73. Заполните таблицу (поставьте знак « +» в случае утвердительного от- вета или знак « −» в ином случае). Число 7 263 4 681 2 743 6 885 7 227 6 350 7 920 Кратно 9 74. Заполните таблицу (поставьте знак « +» в случае утвердительного от- вета или знак « −» в ином случае). Число 1 356 4 813 9 075 3 272 6 390 15 684 53 206 Кратно 3 ? 17 75. Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 3 и на 2. 76. Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпиши- те те, которые делятся нацело: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 9 и на 5. 77. Найдите все значения y, кратные: 1) числу 3, при которых верно неравенство 143 H y H 162; 2) числу 9, при которых верно неравенство 92 H y H 128. 78. Найдите все значения m, кратные: 1) числу 3, при которых верно неравенство 324 H m H 345; 2) числу 9, при которых верно неравенство 423 H m H 480. 79. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи): 1) 54 84*; 2) 3*6 393; 3) 7 9*8. 80. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи): 1) 62 8*1; 2) 57* 582; 3) 7 *51. 81. Запишите: 1) наименьшее число, для записи которого используется только циф- ра 2 и которое делится нацело на 3; 2) наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело на 9. 82. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*, что- бы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5? 83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*, что- бы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2? 84. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, что- бы полученное число делилось нацело и на 2, и на 3? 85. Запишите наименьшее: 1) четырёхзначное число, кратное 3; 2) пятизначное число, кратное 9; 3) шестизначное число, кратное 3 и 2; 4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9. Цифры в записи числа не могут повторяться. 86. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело: 1) на 2 и на 3; 3) на 3 и на 10; 2) на 3 и на 5; 4) на 2 и на 9. 87. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9: 1) 1 275; 3) 25 718; 5) 10 203 040; 2) 3 333; 4) 987 652; 6) 19 191 919 191? 18 88. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1, 4, 7, наи- большее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15. 89. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полу- чившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача? 90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы по- лучившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача? 91. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзнач- ное число * 74* делилось нацело на 18. Найдите все решения. 92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзнач- ное число 3 *4* делилось нацело на 9. Найдите все решения. 93. Папа Карло купил три пакета кефира, пачку масла за 45 сольдо, не- сколько буханок хлеба по 24 сольдо, шесть коробков спичек. Может ли вся покупка стоить 260 сольдо? 94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 · 2 · 3 · … · 999 · 1 000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное чис- ло. Что это за число? 95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать? Упражнения для повторения 96. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девяти- значное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, ес- ли эти две цифры поменять местами? 97. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7 898 км. 98. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое рас- стояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстоя- ния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км? 99. Вычислите: 1) 6,29 : 0,85 + (53 − 48,184) : 5,6; 2) 5,33 : 0,65 − (1,9218 − 0,8118) : 3. 19 Готовимся к изучению новой темы 100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множите- лей степенью: 1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7; 3) a · a · a · a; 2) 10 · 10 · 10; 4) x · x · x · x · x · x. 101. Найдите значение выражения: 1) 2 5 ; 3) 0,6 2 ; 5) 1,5 4 ; 7) 0 6 ; 2) 7 2 ; 4) 0,5 3 ; 6) 1,2 3 ; 8) 1 12 102. Запишите число 64 в виде степени с основанием: 1) 8; 2) 4; 3) 2. Задача от мудрой совы 103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каж- дая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли со- ставить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника? Когда сделаны уроки Делится или не делится? Вы уже знаете признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10. Воз- никает естественный вопрос: существуют ли признаки делимости, напри- мер, на 4, на 6, на 7, на 8, на 11 и т. д.? Такие признаки существуют. Рас- смотрим некоторые из них. Легко установить признак делимости на 6. Поскольку 6 = 2 · 3, то к де- лимому необходимо одновременно применить признаки делимости на 2 и на 3. Аналогично можно получить признаки делимости на 15 (15 = 3 · 5), на 18 (18 = 2 · 9), на 30 (30 = 3 · 10), на 45 (45 = 5 · 9) и т. п. Признак дели- мости на 4 объясним на следующих примерах. 1) Рассмотрим число 524. Имеем: 524 = 5 · 100 + 24. Каждое слагаемое суммы 5 · 100 + 24 делится нацело на 4, следова- тельно, и само число 524 делится нацело на 4. 2) Рассмотрим число 7 518. Имеем: 7 518 = 75 · 100 + 18. Здесь первое слагаемое суммы 75 · 100 + 18 делится нацело на 4, а вто- рое — нет, следовательно, число 7 518 не делится нацело на 4. Заметим, что любое натуральное число m можно представить в виде суммы: 20 m = n · 100 + a, где n — натуральное число или 0, a — однозначное или двузначное число либо 0. Поскольку число 100 делится нацело на 4, то можно сделать такой вы- вод: делимость данного числа на 4 зависит только от делимости на 4 числа, записанного его двумя последними цифрами. Чтобы выяснить, делится или не делится нацело число на 8, приве- дём такие примеры: число 13 006 = 13 · 1 000 + 6 не делится нацело на 8; число 25 040 = 25 · 1 000 + 40 делится нацело на 8; число 5 122 = 5 · 1 000 + 122 не делится нацело на 8; число 3 624 = 3 · 1 000 + 624 делится нацело на 8. Поскольку число 1 000 делится нацело на 8, то делимость данного числа на 8 зависит от делимости на 8 числа, записанного его тремя последними цифрами. Записывая число в виде суммы определённым способом, можно уста- новить и другие признаки делимости. Так, записав число в виде суммы разрядных слагаемых, можно обос- новать признаки делимости на 9 и на 3. Например, рассмотрим число 486, кратное 9. Запишем его в виде сум- мы разрядных слагаемых: 486 = 4 · 100 + 8 · 10 + 6. Поскольку 100 = 99 + 1 и 10 = 9 + 1, то можем записать: 4 · 100 + 8 · 10 + 6 = 4 · (99 + 1) + 8 · (9 + 1) + 6. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: 4 · (99 + 1) + 8 · (9 + 1) + 6 = 4 · 99 + 4 + 8 · 9 + 8 + 6 = = (4 · 99 + 8 · 9) + (4 + 8 + 6). Следовательно, 486 = ( 4 · 99 + 8 · 9 ) + ( 4 + 8 + 6 ) Сумма 4 · 99 + 8 · 9, записанная в красных скобках, делится нацело на 9. В зелёных скобках записана сумма цифр числа 486. Она также делится на- цело на 9. Тогда и само число 486 кратно 9. Запишем аналогичным образом число 532. Имеем: 532 = 5 · 100 + 3 · 10 + 2 = 5 · (99 + 1) + 3 · (9 + 1) + 2 = = 5 · 99 + 5 + 3 · 9 + 3 + 2 = (5 · 99 + 3 · 9) + (5 + 3 + 2). Следовательно, 532 = ( 5 · 99 + 3 · 9 ) + ( 5 + 3 + 2 ) Значение выражения, записанного в красных скобках, делится наце- ло на 9. А сумма цифр числа 532, записанная в зелёных скобках, на 9 не де- лится. Таким образом, число 532 не кратно 9. Отметим, что признак делимости на 9 мы смогли получить благодаря тому, что любое натуральное число n можно представить в виде суммы по следующей схеме: 334 Оглавление От авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава 1. Делимость натуральных чисел § 1. Делители и кратные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 3. Признаки делимости на 9 и на 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Делится или не делится? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 § 4. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Так ли просты эти простые числа? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 5. Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Решето Эратосфена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 § 6. Наименьшее общее кратное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Итоги главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Глава 2. Обыкновенные дроби § 7. Основное свойство дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 § 8. Сокращение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . . . 58 § 11. Умножение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 12. Нахождение дроби от числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 § 13. Взаимно обратные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 § 14. Деление дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 § 15. Нахождение числа по заданному значению его дроби . . . . . . . 94 § 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную . . . . . . . . 100 § 17. Бесконечные периодические десятичные дроби . . . . . . . . . . . . 103 § 18. Десятичное приближение обыкновенной дроби . . . . . . . . . . . . 107 Итоги главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Глава 3. Отношения и пропорции § 19. Отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 § 20. Пропорции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 § 21. Процентное отношение двух чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Как найти «золотую середину» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 § 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости . . . . . . . . 134 § 23. Деление числа в данном отношении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 24. Окружность и круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 § 25. Длина окружности. Площадь круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 § 26. Цилиндр, конус, шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 § 27. Диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 § 28. Случайные события. Вероятность случайного события . . . . . . 174 Итоги главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Глава 4. Рациональные числа и действия над ними § 29. Положительные и отрицательные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 § 30. Координатная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 § 31. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 § 32. Модуль числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 § 33. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 § 34. Сложение рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 § 35. Свойства сложения рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 § 36. Вычитание рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 § 37. Умножение рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Ничто и ещё меньше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 § 38. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 § 39. Распределительное свойство умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 § 40. Деление рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 § 41. Решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 § 42. Решение задач с помощью уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 § 43. Перпендикулярные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 § 44. Осевая и центральная симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 § 45. Параллельные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 § 46. Координатная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 § 47. Графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Итоги главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Дружим с компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Упражнения для повторения курса математики 6 класса . . . 301 Ответы и указания к упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Алфавитно-предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 |