современные подходы к преподаванию математики в условиях модернизации общего образования. контрольная. Использовать приобретённые знания и умения в практической жизни для

• Название: Использовать приобретённые знания и умения в практической жизни для
• Анкор: современные подходы к преподаванию математики в условиях модернизации общего образования
• Дата: 09.06.2022
• Размер: 449.5 Kb.
• Имя файла: контрольная.doc
• Тип: Документы; #581166

В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс в общеобразовательной школе, делается акцент на то, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. Анализ литературы по проблемам компетентностного подхода к обучению позволил составить представление о содержании понятий «компетентность» и «компетенция». Компетенция- это готовность ученика использовать усвоенные знания, учебные умения и навыки, а также способы деятельности в жизни для решения практических и теоретических задач. Ключевыми образовательными компетенциями являются: ценностно-смысловая; общекультурная; учебно-познавательная; информационная; коммуникативная; социально-трудовая; личностная. Помимо ключевых компетенций выделяются и предметные. В частности, математические компетенции - это способности структурировать данные(ситуацию), вычленять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать ее, интерпретировать полученные результаты. Иными словами, математические компетенции учащегося способствуют адекватному применению математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем. Совокупность компетенций, наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности учащегося в заданной области, называют компетентностью. В федеральном компоненте государственного стандарта основного и среднего (полного) общего образования сформулированы требования к уровню подготовки выпускников, которыми принято руководствоваться при характеристике уровня математической компетентности:

«Использовать приобретённые знания и умения в практической жизни для:

-практических расчётов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

-построения и исследования простейших математических моделей;

-описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов;

-решения геометрических, физических, экономических, юридических и других прикладных задач, в том числе задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с применением аппарата математического анализа;

-анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, анализа информации статистического характера;

-моделирования несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; вычисления длин, площадей и объёмов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства».

Для развития математической компетентности учащихся используются два типа задач: чисто математические и практико-ориентированные. К последним относятся задачи, которые встречаются в той или иной реальной ситуации. Их контекст обеспечивает подлинные условия для использования математики при решении возникающих проблем и оказывает влияние на решение и его интерпретацию. Заметим, что для формирования математической компетентности учащихся не исключаются и задачи с гипотетическим условием, если при этом оно содержит некоторые реальные элементы, не слишком отдалено от реальной ситуации, а использование математики необходимо для решения поставленной проблемы. Учащиеся проявляют живой интерес к решению задач практического характера.

К практико-ориентированным можно отнести такие задачи, как:

1. Задачи на движение:

• 
  Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);
  
• 
  Задачи на движение по замкнутой трассе;
  
• 
  Задачи на движение по воде;
  
• 
  Задачи на среднюю скорость;
  
• 
  Задачи на движение протяженных тел;
  

2. Задачи производительность;

3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии;

4. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы;

5. Задачи на проценты, части и доли;

6. Задачи на бассейны и трубы.

Ценность задач состоит в демонстрации их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.

Решение задач состоит в построении математической модели по текстовому описанию конкретной ситуации и в применении этой модели для отыскания одной или нескольких величин, имеющих конкретный содержательный смысл. Как правило, математическая модель имеет форму алгебраического уравнения или системы уравнений, которая строится на основе содержательной интерпретации понятий и условий, характеризующих ситуацию в тексте задачи. Решение построенной модели обычно требует учета содержательного смысла используемых величин. Наконец, самому полученному решению модели должна быть дана содержательная интерпретация. Рассмотрим некоторые задач на движение, концентрацию, смеси, сплавы и сложный процент.

• 
  Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку):
  

При решении таких задач удобно считать одно тело неподвижным, а другое – приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел

( при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения.

Формулы, используемые для данных задач:

• 
  Задачи на движение по замкнутой трассе:
  

При решении таких задач рассмотрим два условия:

Движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, то ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v1 - v2, получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй, при этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула

А если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 - v2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Задача 1:Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста х (м/мин), а мотоциклиста – у (м/мин), тогда за 10+30=40 минут велосипедист проедет 40х метров. (первая встреча). А еще через 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз Решая систему уравнений, получаем, что скорость мотоциклиста равна 80 (км/ч).

Ответ: 80.

• 
  Задачи на среднюю скорость:
  

При решении таких задач необходимо вспомнить из физики, что средняя скорость равна отношению пути, пройденному телом к времени, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все время движения и воспользоваться формулой .

Задача 1:

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

. S = 190+180+170=540 (км). T = 190/50+180/90+170/100=7,5(ч).

V = 540/7,5 = 72(км/ч).

Ответ: 72.

• 
  Задачи на движение протяженных тел:
  

При решении таких задач требуется определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба – расстояние, равное длине поезда, во втором случае – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
Задача 1:

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение:

Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х(м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние

L=400+80+120+600=1200 (м). Поэтому х=1200/12=100 (м/мин), то есть 6 (км/час).

Ответ: 6.

• 
  Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
  

Решение этих задач традиционно является слабым звеном в подготовке школьников к сдаче экзаменов. Ключевой идеей при решении таких задач является отслеживание изменений, происходящих с «чистым» веществом.

Формула концентрации:

Где a, b – количество литров в двух растворах, а n и m – процентное содержание водного раствора, к – концентрация получившейся смеси.
Задача 1: Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:

Используя формулу концентрации получившегося раствора, получим

Ответ: 21.
Задача2:

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:


Х

30%

У

60%

10

0%

Х+у+10

36%

+ + =

Х

30%

У

60%

10

50%

Х+у+10

41%

+ + =

Составим систему уравнений:

3 0х+60у+10*0=(х+у+10)*36,

30х+60у+10*50=(х+у+10)*41.

Решая ее, получаем х=60, у=30.

Ответ: 60.

• 
  Задачи на сложный процент:
  

При решении таких задач можно использовать следующую формулу: , где В – конечная величина, А – начальная величина, -процент изменения ( в десятичной дроби), n – количество периодов, «+» - повышение, «-» - снижение.
Задача 1:

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Решение:

В=15842 руб, А= 20000 руб, n=2.

Воспользуемся формулой , получим:

. = 11(%).

Ответ: 11.
В настоящее время в международных исследованиях общеприняты три уровня математической компетентности: уровень воспроизведения, уровень установления связей, уровень рассуждений. Первый уровень-это прямое выполнение стандартных приёмов, применение известных алгоритмов и технических навыков. Второй уровень строится на репродуктивной деятельности по решению задач, которые, хотя и не являются типичными, но всё же знакомы учащимся или же выходят за рамки известного лишь в очень малой степени. Задания, проверяющие второй уровень математической компетентности, содержатся в части 2 КИМов ЕГЭ. Рассмотрим некоторые из них:

Задачи первого уровня:

Задача 1. Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t)=m₀·2^-t/T . В лаборатории получили вещество, содержащее m₀=12 мг изотопа меди-64, период полураспада которого Т=12,8 часа.


В течение скольких часов количество изотопа меди-64 в веществе будет превосходить 3 мг?

Т.к. m₀=12 мг, Т=12,8 часа, то m(t)=12·2^-t/12,8 ; по условию m(t)≥3, 2^-t/12,8 ≥ 2^-2 , -t/12,8≥2, t≤25,6.

Ответ: 25,6 часа

Задача 2. Высота, на которой находится камень, брошенный с поверхности Земли вертикально вверх, меняется по закону h(t)= 1+13t-5t² м. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 7 м?

Имеем: h(t)= 1+13t-5t² ≥7, 5t²-13t +1≤0; 0,6≤t≤2; 2-0,6=1,4

Ответ: 1,4 сек.
Задачи второго уровня:

З адача 1. Для закладки японского сада в гористой местности ландшафтному дизайнеру пришлось выбирать более плодородные и удобные для посадки растений места. При покупке посадочного материала торговая фирма «ЕЛЕНА» предлагает скидки в том случае, если площадь участка не менее 30 ар. Требуется разметить на земле участок ABCDEFGHM площадью 3400м², который состоит из трёх прямоугольных частей и имеющий форму, изображённую на рисунке, где BC=20м, CD=15м, GH=30м и HM не более 40 м
Решение: 1. Найти наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK, AL и HM , при которых периметр является наименьшим.

2. Участок решили огородить глухим забором высотой 2м. Сколько упаковок досок нужно приобрести, если в упаковке содержится по 10 досок размером (в метрах)?

3. Сможет ли отдел доставки строительных материалов перевести требуемый груз за 2 рейса, если грузоподъёмность машины составляет 3т?

Для решения задачи необходимо составить её модель. В отличие от традиционных моделей (уравнения, неравенства или их системы), моделью данной задачи является функция. В результате исследования этой функции может быть получен ответ на первый вопрос задачи. При ответе на второй вопрос необходимы знания, полученные в курсе геометрии относительно вычисления площади нестандартной фигуры. При ответе на третий вопрос требуется решить арифметическую задачу и в соответствии с условием задачи интерпретировать полученный результат.
Задача 2. Производитель выпускает радиаторы для обогрева ванных комнат. На рисунке изображён такой радиатор. Он состоит из двух вертикальных металлических труб длиной h см и десяти поперечных стальных труб длиной b см каждая. Толщину труб мы не будем учитывать. Высота радиатора соответственно h см, а ширина b см. Для производства одного радиатора всегда используются в общей сложности 900 см труб. Ширина радиатора 50 см.





Решение: 1. Рассчитать высоту этого радиатора в сантиметрах.

Общая длина двенадцати труб одного радиатора должна составлять соответственно 900 см. Более высокий радиатор будет тогда более узким, более низкий – более широким. Высота h и ширина b, следовательно, зависят друг от друга. Между h и b существует линейная зависимость.

2. Составить формулу, в которой h выражена через b.

На рисунке серая область – это площадь нагрева радиатора, имеющего форму прямоугольника. Площадь нагрева S в см² задана формулой: S= -5b + 450 b, где b – это ширина радиатора в см.

3.Составить формулу производной S и подсчитать с её помощью максимальную площадь нагрева.


ГОУ НОВГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Контрольная работа

слушателя курсов «Современные подходы к преподаванию математики в условиях модернизации общего образования»

Тема: «Практико – ориентированные задачи и способы их решения»

Выполнила: учитель математики

МАОУ « Средняя общеобразовательная школа №8»

Крылова Елена Валерьевна.

г. Великий Новгород

2021 год