|
|
Презентация Microsoft Office PowerPoint. Исследование функции и построение графиков
КрИМТ
Смирнов Игорь Станиславович и Петров Денис Сергеевич | ЭД 21-1
Предмет “Математика”
Тема: Исследование функции и построение графиков.
- Теорема №1.
Если дифференцируемая функция y=F(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интрвале.
- Теорема №2.
Если производная функции y=F(x) положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Теорема №3. Если x=a точкой экстремума функции y=f(x) и производная в этой точке существует , то она равна нулю : f(a)=0 Теорема №4.
Если производная F’(x) при переходе x через a меняет знак, то а является точкой экстремума функции F(x).
Тема: Построение графиков функций.
- Находят область определения функции и определяет точки разрыва, если они имеются.
- Выясняют, не является ли функции учетной или нечетной, проверяют ее на переодичность.
- Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
- Находят критические точки функции.
- Определяют промежутки монотонности и экстрему функции.
- Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой.
Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной
- Находят превую производную f(x)
- Приравняв её к нулю , находят действительные корни полученные уравнения.
- Находят вторую производную f(x)
- Во вторую производную подставляют поочерёдно все критические значения : если при этой подстановке вторая производная окажется положительной , то в этой точке функция имеет минимум : если же вторая производная окажется отрицательной , то функция имеет максимум.
Замечание
Если при подстановке критического значения во вторую производную , оно обратится в нуль , то ничего определённого относильно существования экстремума сказать нельзя , а исследование нужно продолжить с помощью первой производной Определение №3 Кривая называется выпуклой в точке x=a , если в некоторой окрестности этой точки она положительна под своей касательной в точке (a;f(a)) Кривая называется воткнутой в точке х=0
Теорема №5 Если вторая производная функции y=f(x) в данном промежутке положительна , то кривая вогнута в этом промежутке , а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.
Теорема №6 Если вторая производная f(x) непрерывна и меняет знак при переходе через х=х0 , то х0;f(х0)) является точкой перегиба кривой y=f(x)
- Находят вторую производную исследуемой функции f(x)
- Находят все критические точки 2 рода из области определения функции
- Устанавливают знаки второй производной функции при переходе через критические точки 2 рода. Изменение знака f(x) указывает на наличие перегиба
Наибольшее и наименьшее значение функции
- Найти все критические точки , принадлежащие промежутку а,б , и вычислить значения функции в этих точках.
- Вычислить значения функции на концах отрезка а,б , т.е найти f(a) и f(b)
- Сравнить полученные результаты , наибольшее из найденых значений является наибольшим значением функции на отрезке а,б , аналогично , наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.
|
|
|
Скачать 101.33 Kb.