Исследование функции
![]()
|
Исследование функции. 1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл. Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл. 2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность: Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
![]()
![]()
Нечётные функции Нечётная степень ![]() ![]()
Чётные функции Чётная степень ![]() ![]()
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Точки, в которых график ![]() ![]() ![]() 4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них. Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак. Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна. ![]() ![]() ![]() 5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты). Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Устранимые точки разрываЕсли предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке: ![]() то точка ![]() ![]() Если «поправить» функцию ![]() ![]() Точки разрыва первого и второго рода Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
Аси́мпто́та — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность. Вертикальная Вертикальная асимптота — прямая вида ![]() ![]() Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: ГоризонтальнаяГоризонтальная асимптота — прямая вида ![]() ![]() НаклоннаяНаклонная асимптота — прямая вида ![]() Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот. Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ![]() ![]() ![]() если ![]() ![]() ![]() ![]() 6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f(x)(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b](продолжение)
7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной f ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точка перегиба функции — это точка, в которой функция непрерывна и при переходе через которую функция меняет направление выпуклости. Условия существованияНеобходимое условие существования точки перегиба: если функция ![]() ![]() ![]() ![]() |