ипз. ИПЗ (2). Методические указания и разбор задач Пример Найти асимптоты графика функции 6 5 3 5 2 2 2

Название	Методические указания и разбор задач Пример Найти асимптоты графика функции 6 5 3 5 2 2 2
Дата	23.06.2021
Размер	0.61 Mb.
Формат файла
Имя файла	ИПЗ (2).pdf
Тип	Исследование #220491

ИТОГОВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Исследование функций с помощью производной. Асимптоты. Построение графиков Методические указания и разбор задач Пример 1. Найти асимптоты графика функции
6 5
3 5
2 2
2





x
x
x
x
y
1) Вертикальные асимптоты. Найдем область определения. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в нуль
0 6
5 2



x
x
при
3


x
, Следовательно,

)
( y
D
R
}
2
;
3
{
\


,
3


x
,
2


x
– точки разрыва. Для определения их типа найдем односторонние пределы, предварительно разложив знаменательна множители. В точке
3


x
имеем
7 2
3 1
)
3
(
2 2
1 2
lim
)
3
)(
2
(
)
3
)(
2
/
1
(
2
lim
6 5
3 5
2
lim
0 3
0 3
2 2
0 3
































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
3

x
– точка устранимого разрыва, прямая
3

x
не является вертикальной асимптотой. В точке
2


x
имеем





























0 5
2 0
2 1
)
2
(
2 2
1 2
lim
6 5
3 5
2
lim
0 2
2 2
0 2
x
x
x
x
x
x
x
x
,




























0 5
2 0
2 1
)
2
(
2 2
1 2
lim
6 5
3 5
2
lim
0 2
2 2
0 2
x
x
x
x
x
x
x
x
,
2


x
– точка разрыва второго рода, прямая
2


x
– вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты. Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде
b
kx
y


. Заметим, что предел данной рациональной дробине зависит от знака


, поэтому
0 3
2
,
)
6 5
(
3 5
2
lim
)
(
lim
2 2





















k
m
x
x
x
x
x
x
x
f
k
x
x
,
2 2
,
6 5
3 5
2
lim
)
)
(
(
lim
2 2





















k
m
x
x
x
x
kx
x
f
b
x
x
, следовательно,
2

y
– горизонтальная асимптота при Ответ
2


x
– вертикальная асимптота,
2

y
– горизонтальная асимптота при


x

Пример 2. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
2 4
2



x
x
y
1) Найдем область определения. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в нуль
0 2


x
при Следовательно,

)
( y
D
R
}
2
{
\

2) Найдем сначала первую, а потом вторую производную, и разложим ее на множители
;
)
2
(
4 4
)
2
(
)
4
(
)
2
(
2
)
2
(
)
2
)(
4
(
)
2
(
)
4
(
2 4
2 2
2 2
2 2
2






























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y


























4 2
2 2
2 2
2
)
2
(
)
2
(
)
4 4
(
)
2
(
)
4 4
(
)
2
(
4 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
)
2
(
16
)
2
(
4 4
4 4
2
)
2
(
)
4 4
(
)
2
(
2
)
2
(
)
4 4
)(
2
(
2
)
2
(
2 3
3 2
2 3
2 2
4 2
3

























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3) Найдем критические точки и установим их принадлежность области определения
y

не существует при
)
(
2
y
D
x



4) Интервалы выпуклости вверх и вниз – интервалы знакопостоянства второй производной отложим на числовой оси критическую точку с учетом
)
( y
D
и определим знак
y

в каждом интервале (см. рис. 1). Рис. 1 Ответ график функции
 выпуклый вверх (
0


y
) при
)
2
;
(




x
,
 выпуклый вниз (
0


y
) при Точек перегиба нет, поскольку
)
(
2
y
D
x




Далее при исследовании функций и построении графика будем следовать следующей схеме
1. Область определения функции.
2. Периодичность функции.
3. Четность, нечетность или общий вид функции.
4. Точки пересечения графика функции с осями.
5. Промежутки знакопостоянства.
6. Непрерывность функции, классификация точек разрыва.
7. Асимптоты.
8. Интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции по схеме А) вычисление производной Б) определение области определения производной В) определение критических точек Г) определение интервалов знакопостоянства производной Д) по интервалам знакопостоянства производной определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума Е) определяем значения максимумов и минимумов (если есть.
9. Выпуклость, тоски перегиба графика функции последующей схеме А) вычисление второй производной функции Б) определение области определения второй производной В) определение значений x, в которых вторая производная равна нулю Г) определение интервалов знакопостоянства второй производной Д) по интервалам знакопостоянства второй производной определяем интервалы направления выпуклости функции, наличие точек перегиба графика функции Е) вычисляем координаты точек перегиба (если они есть.
10. Область значений функции. Пример 3. Исследовать функцию и построить график
1.
3
:
)
(

x
f
D
2. Функция непериодическая. Исследуем на четность Функция общего вида.
4. Пересечение с осями функция пересекает оси только водной точке (0;0).
5.
0
)
(

x
f
в области определения.
6. Точка
3

x
является точкой разрыва II рода.
7. А) Вертикальные асимптоты






2 2
0 Б) Наклонные асимптоты
0
)
3
(
)
(
2
lim lim








x
x
x
x
f
k
x
x
,
0 1
9 6
)
(
2 2
lim lim









x
x
x
x
f
x
x
, так как при положительных x числитель всегда больше знаменателя
0 1
9 6
)
(
2 2
lim lim









x
x
x
x
f
x
x
, так как при отрицательных x числитель всегда меньше знаменателя.
8. Исследование на монотонность.
)
(
)
(
f
D
f
D


, те. область определения производной совпадает с областью определения функции. Найдем критические точки
0
)
(


x
f
при Дальнейшее исследование на монотонность представлено на рис. Рис
9. Исследование на выпуклость.

)
(
)
(
f
D
f
D


, те. область определения второй производной совпадает с областью определения функции.
0
)
(


x
f
при
2 Дальнейшее исследование на монотонность представлено на рис. 3: Рис
10. Область значения функции
11. График функции имеет вид, схематически показанный на рис. 4: Рис

Подготовительные задачи Проведите исследование функции и постройте её график (схематично а)
; б)
; в)
; г) Ответы а)

б) в)

г)

Варианты ИПЗ. Проведите исследование функции и постройте её график (схематично.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Варианты ИПЗ в зависимости от номера в списке группы Требования к оформлению ИПЗ Предоставляется развернутое описание решения итогового практического задания. Если выполненное задание фотографируете, то размещайте фотографии в файле с титульным листом. Обязательно указывайте номер варианта. Критерии оценивания выполненного ИПЗ Максимальное количество баллов за выполнение итогового практического задания – 20 баллов.