Исследование функции. issledovanie_funktsiygoodОК. Исследование и построение графиков функции
 Скачать 1.96 Mb.
|
ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Исследование функцийТеорема Ферма. Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a,b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a,b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a,b). Тогда : Геометрический смысл. Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a,b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a,b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a,b). а) непрерывна на отрезке [a,b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a,b); Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a,b). Геометрический смысл. Геометрический смысл. 0 0 0 y y y x x x a b c a a b b c c Исследование функцийМонотонность функции.
Функция называется возрастающей в (a,b) , если Определение 2. Функция называется убывающей в (a,b) , если y y x x 0 0 Интервалы монотонного возрастания и убывания функции определяются знаком производной. Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на нем. Если производная принимает отрицательные значения на интервале, то функция на нем убывает. Исследование функцийТеорема. Пусть Тогда: Доказательство. 1. 2. 3. Исследование функцийЭкстремум функции.
Точка оси ОХ называется точкой minimum`а функции , если - окрестность точки такая, что Определение 2. Точка оси ОХ называется точкой maximum`а функции , если - окрестность точки такая, что Определение 3. Точками экстремума называются точки minimum`а и точки maximum`а. Значения функции в этих точках Называют экстремальными значениями. y y x x 0 0 Исследование функцийНеобходимый признак экстремума.
1. 2. Доказательство. Пусть - удовлетворяет теореме Ферма Определение 3. Критическими точками называются точки оси ОХ , в которых либо не существует. Исследование функцийДостаточные признаки экстремума.
Пусть определена и непрерывна в δ - окрестности точки (включая точку ). Пусть в δ - окрестности точки (за исключением, быть может, точки ). Говорят, что при переходе через точку меняет знак с « + » на « - », если Говорят, что при переходе через точку меняет знак с « - » на « + » , если Исследование функцийПервый достаточный признак экстремума.
1. 2. 3. при переходе через точку меняет знак с « + » на « - » 4. при переходе через точку меняет знак с « - » на « + » Доказательство. 1. меняет знак с «+» на «-» 2. меняет знак с «-» на «+» Точка - точка maximum`а Точка - точка minimum`а Исследование функцийВторой достаточный признак экстремума.
1. 2. 3. 4. Точка - точка minimum`а Точка - точка maximum`а Исследование функцийВыпуклость и точки перегиба графика функции.
График функции называется выпуклым вверх в , если график расположен не выше любой своей касательной при Определение 2. График функции называется выпуклым вниз в , если график расположен не ниже любой своей касательной при Определение 3. Точка графика функция называется точкой перегиба, если окрестность точки ,в которой слева от точки график расположен по одну сторону, а справа по другую сторону от касательной, проходящей через точку y y y x x x 0 0 0 Исследование функцийДостаточный признак выпуклости.
1. 2. 3. График функции выпуклый вниз в График функции выпуклый вверх в Исследование функцийНеобходимый признак перегиба.
1. График функции в точке имеет перегиб; 2. Достаточный признак перегиба. Теорема. 1. 2. 3. Исследование функцийАсимптоты графика функции.
Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат. 0 x y x y 0 Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) , если хотя бы один из пределов или равен . Вертикальная асимптота Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при , если f(x) представима в виде , где (x) есть бесконечно малая при функция. Наклонная асимптота (x) (x) (x) Асимптоты графика функции.
Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат. 0 x y 0 x y Исследование функцийАсимптоты графика функции.
Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат. 0 x y 0 0 x x y y 1 -1 Исследование функцийТеорема 1.
если хотя бы один из пределов равен Теорема 2. Прямая является наклонной асимптотой, если и Замечание. Горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты при k=0 Необходимый и достаточный признак горизонтальной асимптоты x=b есть Исследование функцийОбщая схема исследования функции.
1. Область определения, точки разрыва. 2. Четность, нечетность. 3. Периодичность. 4. Точки пересечения с осями координат. 5. Асимптоты графика. 6. Поведение при Уточненное исследование с помощью первой производной. 1. Точки экстремума (вычислить экстремальные значения). 2. Интервалы монотонности. Исследование с помощью второй производной. 1. Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент). 2. Интервалы выпуклости. Исследование функцийПример 1.
1. О.О.Ф. 2. Четность, нечетность: 3. Непериодическая. 4. Точки пересечения с осями координат:
С Ох: Функция общего вида Исследование функций
б) наклонные: 6. Поведение при Наклонных асимптот нет Исследование функцийИсследование с помощью первой производной. х 4 + - + min max Исследование функцийПостроение графика. x y 0 Исследование функцийИсследование с помощью второй производной. х + - Исследование функцийПостроение графика. x y 0 Исследование функцийПример 2.
1. О.О.Ф.: 2. Четность, нечетность: 3. Непериодическая. 4. Точки пересечения с осями координат: 5. Асимптоты:
б) наклонные: Функция общего вида. Исследование функцийГрафик функции. 0 x y 1 2 -1 -1 -3 -2 -4 -5 3 Исследование функцийГрафик функции. ? x y 0 1 2 3 -1 -1 -2 -3 -4 -5 Исследование функцийИсследование с помощью первой производной. x 0 1 2 Исследование функцийУточненный график. x y 0 1 2 3 -1 -1 -5 -4 -3 -2 |