МОУ «Зашижемская средняя общеобразовательная школа»
Исследовательская работа
Аналогии в математике
Автор:
Андреев Егор
МОУ «Зашижемская СОШ»
Руководитель:
Сидоркина Р.Л.,
учитель математики высшей
категории
МОУ «Зашижемская СОШ»
Зашижемье,
2019
Содержание
Введение………………………………………………………………………… 2
Глава 1.Теоретико-методический аспект геометрических аналогий……… 6
Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра………… 6
1.2 Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра…………………… 9
3. Глава 2. Фольклор и математика……………………………………………… 11
4. Глава 3. Математика и поэзия………………………………………………… 14
5. Глава 4. Математика в песенном творчестве………………………………… 17
Заключение…………………………………………………………………………… 19 Литература…………………………………………………………………………… 21
Приложение ………………………………………………………………………… 22
Введение
…Я больше всего дорожу аналогиями,
моими верными учителями .Они знают
все секреты природы, и ими меньше все
го следует пренебрегать.
Ян Кеплер
В 90 – е годы прошлого века начали говорить о необходимости сочетать серьезное естественно-научное и техническое образование с гуманитарным. Сейчас все большую популярность завоевывает такая, на первый взгляд, парадоксальная идея: лучшее усвоение знаковой информации, которую несет математика, происходит при помощи лучшего усвоения образной информации – музыки, поэзии, фольклора, живописи.
Избежать односторонности в изучении математики может помочь широкое применение метода аналогии.
Аналогия – есть некоторого рода сходство, но на более определенном и выраженном с помощью понятий уровне. Различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении, и если свести это отношение, в котором они согласуются, к определенным понятиям, то можно рассмотреть эти сходные предметы как аналогичные. Если удается добраться до ясных понятий, то выясняется аналогия.
Аналогия (греч. analogia – соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах.
Аналогии могут быть двух видов:
Простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках.
Распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.
В свою очередь, простая и распространенная аналогии могут быть:
а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;
б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.
Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах, а при решении задач (арифметических, геометрических и др.) используется либо алгоритм, либо нестрогая аналогия с уже решенными однотипными задачами.
Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые затем могут подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.
Например, некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналогии. Мы знаем, что геометрия делится на два основных раздела: планиметрия (фигуры на плоскости) и стереометрия (фигуры в пространстве) Например:
-Сторона треугольника – грань тетраэдра;
-длина стороны – площадь грани;
-вписанная окружность – вписанная сфера;
-описанная окружность – описанная сфера; площадь – объем
-Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой
стороне и перпендикулярна остальным -
каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна
одной другой грани и перпендикулярна остальным;
-В равнобедренном треугольнике углы при основании равны -
- углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
и т. д.
Эта аналогия не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если применить в их формулировках планиметрические термины, соответствующие стереометрическим, и соответствующим образом «подправить» формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Несколько таких теорем и задач рассмотрим в данной работе.
Кроме установления аналогий между математическими понятиями, мы в своей работе проследим математико-гуманитарные аналогии. Попытаемся перевести математику, ее правила, методы, проблемы, задачи, теоремы на язык гуманитарной культуры, на язык образов, символов и эмоций. Именно такими методами иногда педагоги стараются довести до нас некоторые термины и понятия из геометрии и алгебры. В качестве исследования рассмотрим литературные произведения (загадки, песни, стихотворения и пр.) сквозь призму математических знаний, попытаемся найти то, что объединяет их с математикой (установить ассоциацию по схожести), интерпретировать математику языком литературы.
Цель исследования – рассмотреть геометрические и математико-гуманитарные аналогии.
Задачи исследования:
Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.
Определить сущность аналогии и ее виды.
Выделить признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости, через доказательство теорем и решение задач.
Установить аналогии между математическими и литературными объектами.
Привести примеры парных задач на плоскости и в пространстве.
Объект исследования – геометрические аналогии в учебниках геометрии 9 и 10 – 11 классов на примере треугольника и тетраэдра; некоторые образцы литературного и песенного творчества.
Предмет исследования – треугольник и тетраэдр, фольклор и математика, математика и поэзия, математика и песня.
Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий
Рассмотрев понятие «аналогия», мы выявили для себя гипотезы:
1)между тетраэдром и треугольником существуют аналогии;
2) между фольклором и математикой существуют аналогии;
3) между математикой и поэзией существуют аналогии;
4) между математикой и песней существуют аналогии;
В результате своего исследования мы постараемся подтвердить либо опровергнуть данные гипотезы.
Глава 1. Теоретико-методический аспект геометрических аналогий
1.1 Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра
Отметим какие-нибудь три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками АВ, ВС, АС (рис.1).
Рис. 1
Мы получили геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Точки А, В, С называются вершинами, отрезки АВ, ВС, АС – сторонами, три угла
 ВАС, САВ, АСВ – углами треугольника. Название «треугольник» происходит от греческого слова тригонон.
|
Р ассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рис.2).
Рис. 2
Треугольники из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.
Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рис.2 противоположными являются ребра AD и ВС, DB и АС, DC и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями. Название «тетраэдр» происходит от греческого слова tetra (тетра) – «четыре» и греческого слова edra (эдра) – «основание».
|
Виды треугольников и тетраэдров
Правильный треугольник – правильный тетраэдр;
Равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;
Равносторонний треугольник – тетраэдр общего вида;
Прямоугольный треугольник – тетраэдр, в котором все три плоских угла при одной вершине прямые.
Важно отметить следующий факт: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не о каждом тетраэдре можно сказать тоже самое.
Те тетраэдры, для которых такое свойство верно, составляют класс ортоцентрических тетраэдров.
Признаки равенства треугольников и тетраэдров
Признаки равенства треугольников – одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии. В стереометрии признаки равенства тетраэдров не рассматриваются.
Равенство треугольников и тетраэдров определяются на основе понятия наложения:
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
|
Две пирамиды называются равными, если они при вложении одной в другую могут быть совмещены.
|
Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо знать признаки равенства трехгранных углов, а именно:
● Два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;
● Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному трехгранному углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными;
● Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.
|
Признаки равенства треугольников
|
Признаки равенства тетраэдров
|
I
|
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
|
Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.
|
II
|
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
|
Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно равным трехгранным углам.
|
III
|
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки равенства треугольников
(Приложение №1)
|
Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по шесть равных ребер, и в обоих тетраэдрах равные элементы располагаются в одном и том же порядке (так, что трем ребрам, лежащим в одной грани или выходящим из одной вершины, соответствуют три равных им ребра, также лежащие в одной грани или выходящие из одной вершины).
|
Поясним понятие «симметричные тетраэдры».
● Если ребра, плоские и двугранные углы двух тетраэдров равны, но расположены в «обратном» порядке, то они симметричны.
На рис. 3 изображен тетраэдр ОАВС. Его ребра АО, СО, ВО продолжены за вершину О так, что АО=ОА1, СО=ОС1, ВО=ОВ1.
Рис. 3
В тетраэдрах ОАВС и ОА1В1С1 равны ребра, плоские и двугранные углы, следовательно, они симметричны.
Заметим, что симметричные тетраэдры, вообще говоря, не равны, то есть при вложении одного тетраэдра в другой они не совмещаются.
1.2 Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра
|
Теоремы о замечательных точках треугольника
|
Стереометрические аналогии теорем о замечательных точках треугольника
|
I
|
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая удалена от сторон углов треугольника на одинаковое расстояние.
Приложение №2
|
Биссекторные (Приложение №3)
плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой, и каждая точка этой прямой удалена от граней трехгранного угла на одно и то же расстояние.
|
II
|
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Приложение №4
|
Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов каждой грани трехгранного угла и противолежащего им ребра, пересекаются по одной прямой.
|
III
|
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Приложение №5
|
Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла перпендикулярно к противолежащей грани, пересекаются по одной прямой.
|
● Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
|
● Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется медианой тетраэдра.
|
Отрезки ВМ, СК, АН – медианы треугольника
|
Точки М1, М2, М3, М4 -точки пересечения медиан граней. Отрезки АМ2, DM1, BM3, СМ4 – медианы тетраэдра
|
Свойство медиан треугольника [1, с. 67]
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.
Доказательство:
1. Рассмотрим произвольный ∆АВС.
МедианыАА1,ВВ1,СС1пересекаются в точке О.
2. В1А1 – средняя линяя треугольника.
В1А1║АВ, <1=<2,<3=<4.
∆АОВ∆A1OB1 (по двум углам)
3.  . АО = 2А1О, ВО + 2В1О.
АО = 2А1О, ВО + 2В1О.
|
Свойство медиан тетраэдра
[3, с. 23]
Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин.
Доказательство:
Отрезки DM1 и АМ2 принадлежат плоскости ADE1.
Отрезки DM1 и АМ2 пересекаются в точке О.
М1М2 ║ АD
∆AE1D ∆M1E1M2, значит,
∆M!OM2 ∆DOA, значит,
|
4. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно совпадает с точкой О.
Все три медианы ∆АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины
|
4. Повторив рассуждения для ∆ВЕ5D и
∆СЕ3D, получим, что отрезок ВM3 и CM4 пересекают отрезок DM1 в точке, делящей его в отношении 3 : 1, считая от вершины, то есть в точке О.
ВM3 : CM4 = 3 : 1.
|
Мы рассмотрели теоремы о замечательных точках треугольника, и нашли аналогичные им для тетраэдра. Данные свойства медиан, биссектрис и высот необходимы при доказательстве более сложных теорем и решения сложных задач.
Мы решили провести целенаправленную работу по установлению аналогий, выбрав в качестве поля их поиска разнообразные литературные произведения всевозможных жанров, включая фольклорные.
Глава 2.Фольклорные метафоры математики
Установление различных видов зависимостей можно рассматривать на фольклорном материале. За фольклорным объектом может угадываться и математический объект.
В таблице установлены фольклорные аналогии и соответствующие им математические объекты.
Математический объект
|
Фольклорный
объект
|
Примечание
|
Аксиома
|
Ясно, как дважды два
|
|
Метод от противного
|
Не было бы счастья, да несчастье помогло
|
|
Параллельные плоскости
|
Загадка: два быка бодаются, вместе
не сойдутся
|
Отгадка: небо и земля
|
Параллельные прямые
|
Загадка: два братца в воду глядятся,
век не сойдутся
|
Отгадка: берега реки
|
Отрезок
|
Было бы начало, будет и конец.
Как бечевку ни вить, а концу быть.
Ласточка весну начинает, а соловей
кончает
|
|
Прямая
|
Загадка: шагаешь – впереди лежит,
оглянешься – назад бежит.
Будешь ты
у меня по ниточке ходить.
|
Отгадка: дорога
|
Круг и шар
|
Загадка: без окон, без дверей, полна
горница людей.
|
Здесь аналогия составлена не по отгадке, а по тому признаку, что круг и шар –фигуры ,полностью «заполненные» точками
|
Через две точки можно провести только одну прямую
|
На двух якорях корабль крепче держится
|
Две точки задают прямую, однозначно ,закрепляют
ее местоположение так же, как якоря – положение корабля
|
Прямая, перпендикулярная
плоскости
|
Загадка: сто один брат, все в один ряд, вместе связаны стоят
|
Отгадка: забор. Каждый
«брат» перпендикулярен
земле
|
Проекция наклонной
|
От своей тени не убежишь.
Загадка: сколько по ней ни иди, всё
будет бежать впереди.
|
Отгадка: тень
Всякая наклонная имеет
проекцию, как всякий
предмет – тень
|
Перпендикуляр из точки
на прямую
|
С одного вола двух шкур не дерут
(словацкая мудрость)
|
Из одной точки к прямой
двух перпендикуляров не
провести
|
Нулевой вектор
|
У нашего господина нет ни ржи, ни
овина
|
Все координаты равны нулю
|
Квадрат
|
Что вдоль, что поперек
|
|
Луч
|
Загадка: придет в дом, не выгонишь
колом, пора придет – сам уйдет
|
Отгадка: солнечный луч
|
Немонотонная функция
|
Не всё в гору, ино и под гору
|
|
Возрастающая функция
(прямая пропорциональность)
|
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Дальше в спор – больше слов.
Больше почет – больше хлопот.
Много снега – много хлеба.
Меньше конь – меньше воз.
Много гостей – много и новостей.
Как аукнется – так и откликнется.
|
|
Убывающая функция (обратная пропорциональность)
|
Тише едешь – дальше будешь.
Высоко летаешь – низко упадешь.
Дальше от кузницы -меньше копоти.
Дальше положишь – ближе возьмешь.
Меньше лести – больше чести.
Меньше знаешь – крепче спишь
|
|
График постоянной функции
|
Ни под гору, ни в гору
|
|
Синусоида (косинусоида)
|
Загадка: По морю идет, а как на берег выползет, тут и пропадает
|
Отгадка: волна (форма графика)
|
Парабола
|
Загадка: Разноцветное коромысло над рекою повисло
|
Отгадка: радуга (имеет форму параболы с ветвями, направленными вниз)
|
Симметрия
|
Загадка: Перед нами вверх ногами, перед тобой –вверх головой
|
Отгадка: отражение в воде
|
Куб
|
Загадка: От воды родится, а воды боится
|
Отгадка: соль.
кристаллы соли имеют форму куба
|
Посторонний корень
|
Пятое колесо в телеге.
Сбоку припеку
|
|
Противоположно направленные векторы
|
Люди с базара, а Назар- на базар
|
|
Глава 3. Математика и поэзия
Аналогичную работу проделаем и с поэтическими произведениями: составим таблицу аналогий, приведем примеры стихотворных строк, где упоминаются математические объекты. Поэты не пытались написать нечто математическое, они описывали совсем другое. А мы попытались связать написанные ими произведения с математическим материалом.
Поэтические строки в математике
Поэтический объект
|
Математический объект
|
В песчаных степях аравийской земли
Три гордые пальмы высоко росли.
Родник между ними из почвы бесплодной,
Журча, пробивался волною холодной.
М. Ю. Лермонтов. Три пальмы
|
Центр вписанной или описанной
окружности в треугольнике
|
Начинают строительство с колышка,
Что вбиваем мы в это полюшко.
После в линии, как в тетрадке,
Ровно вписываем палатки.
И. Донич
|
Алгоритм построения треугольника, вписанного в окружность
|
Три мудреца
Три мудреца в одном тазу
Пустились по морю в грозу.
Будь попрочнее старый таз,
Длиннее был бы мои рассказ.
С. Маршак
|
Обратная пропорциональность
|
Дни растущие, а ночи –
Что ни сутки, то короче.
С. Маршак, Радуга-дуга
|
Убывающая функция, обратная пропорциональность
|
...А вы, друзья, Как ни садитесь, Все в музыканты не годитесь.
И. А. Крылов
|
От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется
|
Снег на крыше, на крылечке.
Солнце в небе голубом.
В нашем доме топят печки,
В небо дым идет столбом.
С. Маршак. Круглый год
|
Перпендикуляр к плоскости (дым перпендикулярен плоскости неба и земли)
|
Вот в одинаковых платьях, как сестры, Бабочки сели в траву отдыхать.
То закрываются книжечкой пестрой,
То, раскрываясь, несутся опять.
С. Маршак. Разноцветная книга
|
Подобные фигуры
|
Видели люди, смотревшие снизу,
Как осторожно он шел по карнизу.
Вот он прошел половину пути.
Надо еще половину пройти.
С. Маршак. Рассказ о настоящем герое
|
Середина отрезка
|
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись,
И вместе трое все в него впряглись,
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
И. А. Крылов
|
Некомпланарные векторы, сумма векторов (равнодействующая сил, действующих на воз, равна нулю)
|
Там, за синими курганами,
На распутье трех дорог,
Убаюканный туманами,
Спит зеленый хуторок.
И. Приблудный
|
Начало координат (распутье трех дорог точка пересечения трех координатных осей)
|
Упрощаюсь, словно очищаюсь
От всего, что нажито тщетой.
Вновь с душою легкой просыпаюсь, Точно в праздник или выходной!
А. Кравченко
|
Упрощение выражений
|
У лукоморья дуб зеленый,
Златая цепь на дубе том,
И днем и ночью кот ученый
Все ходит по цепи кругом.
А.С.Пушкин
|
Эвольвента круга (линия, которую описывает при движении кот)
|
Не дорога, серпантин:
Снизу-вверх, ну а сверху –вниз.
А.Кравченко
|
Синусоида (косинусоида)
|
Судьба, как ракета, летит по параболе Обычно - во мраке и реже –
по радуге...
Идут, к своим правдам по-разному храбро,
Червяк - через щель, человек –
по параболе...
Сменяя каноны, прогнозы, параграфы, Несется искусство, любовь и историяПо параболической траектории.
А. Вознесенский
|
Парабола
|
Глава 4. Математика в песенном творчестве
Математические объекты можно выделить и в звучащих по радио или телевизору песнях. В данной таблице систематизирован поиск аналогий в песенном и математических объектах. Познакомьтесь с нашими «открытиями».
Песенный объект
|
Математический объект
|
1
|
2
|
. . .Чунга-чаяга, постоянно
Жуй кокосы, ешь бананы,
Жуй кокосы, ешь бананы –
Чунга-чанга!
|
Постоянная функция
|
В нашей жизни все бывает:
И под солнцем лед не тает,
И зимой весну встречаем,
Дождь идет в декабре. . .
|
События с небольшой вероятностью
|
Еще раз уйти, чтобы вернуться,
Еще раз окончить, чтоб начать,
Еще раз пусть двери распахнутся,
Еще раз понять, простить, принять...
|
Периодическая функция
|
. . .И вершина любви - это чудо великое -дети.
Вновь мы с ними пройдем
Детство, юность, вокзалы, причалы.
Будут внуки потом,
Все опять повторится сначала.
|
Периодическая функция
|
И как реки встречаются в море,
Так встречаются люди в Москве.
|
Пересечение прямых
|
Только раз бывает в жизни встреча,
Только раз судьбою рвется нить,
Только раз в холодный зимний вечер
Мне так хочется любить.
|
Касательная
|
Как хорошо, что нам выпало встретиться
В веке сплошных скоростей. . .
|
Пересечение прямых
|
. . .Мы, конечно, с тобой разминемся.
Я тебя никогда не увижу!
|
Скрещивающиеся прямые
|
Мимо текла, текла река,
Плыли куда-то облака. . .
|
Определение прямой, параллельной к плоскости
|
• Дан приказ ему - на запад,
Ей - в другую сторону.
Уходили комсомольцы
На гражданскую войну.
|
Противоположно направленные векторы
|
Время летит стрелою.
Скоро и мы с тобою
Вместе из города уйдем. . .
|
Векторы
|
. . .Отражается небо
В лесу, как в воде,
И деревья стоят голубые.
|
Симметрия относительно плоскости
|
Гляжусь в тебя, как в зеркало,
До головокруженья. . .
|
Симметрия
|
Каким ты был,
Таким ты и остался.
Орел степной, казак лихой. . .
|
Движение
|
На смену закатам
Привычно приходят рассветы. . .
|
Периодичность
|
. . .Я свободен! Я свободен!
|
Свободный член многочлена
|
Куда подует ветер,
Туда и облака. . .
|
Одинаково направленные векторы
|
. . .Тебе половина, и мне половина, а-а
|
Координаты середины отрезка
|
. . . От чистого истока
В прекрасное далеко,
В прекрасное далеко
Я начинаю путь.
|
Луч
|
Если с другом вышел в путь,
Если с другом вышел в путь –
Веселей дорога!
|
Сонаправленные векторы (движутся в одну сторону)
|
Вы так высоко парите,
Здесь, внизу, меня не замечая. . .
|
Вершина
|
Я буду вместо, вместо, вместо нее. . .
|
Замена переменной
|
• И уносят меня, и уносят меня
В звенящую снежную даль
Три белых коня, три белых коня
Декабрь, январь и февраль.
|
Система координат в пространстве (кони — оси координат)
|
Мы великие таланты,
Мы понятны и просты. . .
|
Простые числа
|
Издалека долго
Течет река Волга,
Течет река Волга –
Конца и края нет. . .
|
Бесконечность
|
Как провожают пароходы –
Совсем не так, как поезда.
Морские медленные воды
Не то что рельсы в два ряда. . .
|
Параллельные прямые (рельсы в два ряда)
|
. . .Моря даль деля на мили,
Жизни даль деля на вахты,
Держит курс согласно карты
В порт, в порт.
|
Единицы измерения
|
Ой, дорога, ты, дорога, между сосен
и берез,
То крута, а то полога, сколько
ты видала слез.
|
График немонотонной функции
|
Заключение
Приступая к исследованию, мы ставили перед собой цель – рассмотреть геометрические и математико-гуманитарные аналогии.
Нами были выдвинуты следующие гипотезы:
1)между тетраэдром и треугольником существуют аналогии;
2) между фольклором и математикой существуют аналогии;
3) между математикой и поэзией существуют аналогии;
4) между математикой и песней существуют аналогии;
В результате нашего исследования, мы доказали верность этих гипотез. В работе были отражены не только аналогии в математике, но и аналогии между математикой и фольклором, математикой и поэзией, математикой и песней.
Насколько важна аналогия в математике, можно судить по следующему высказыванию известного польского математика Стефана Банаха: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик тот, кто замечает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между аналогиями видит аналогии».
Обнаружение сходства или различия между предметами поднимает наше мышление на более высокую степень; сосуществовавшие ранее без взаимосвязи знания приобретают новое качество; рассматриваемый предмет познается при этом глубже, подробнее.
Широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения математических понятий, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному.
Аналогия является прежде всего методом научного исследования, а также эффективным методом изучения математики.
Материал данной работы может быть использован с целью уменьшения затруднений при изучении математических понятий.
Литература
Погорелов А.В. Геометрия. 7-11 классы/ Погорелов А.В. – М.: Просвещение, 1991. –384 с.
Кучеров, В. Геометрические аналогии/ В. Кучеров. – М.: Бюро Квантум, 1995. – 128 с.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагоги–ка, 1989. – 352 с.
Ресурсы Интернета:
http://n-shkola.ru/arch/54.html
http://rudocs.exdat.com/docs/index-17734.html
|
Скачать 226.5 Kb.