История развития квазигрупп. Чернов История развития квазигрупп. История развития теории квазигрупп Чернов Владимир

• Название: История развития теории квазигрупп Чернов Владимир
• Анкор: История развития квазигрупп
• Дата: 07.03.2023
• Размер: 387.95 Kb.
• Имя файла: Чернов История развития квазигрупп.pptx
• Тип: Литература; #973903

История развития теории квазигрупп

Чернов Владимир

Содержание

Возникновение теории квазигрупп
Основные направления теории квазигрупп
Литература


Теория квазигрупп возникла в 30-е годы ХХ века, когда появились работы Р. Муфанг, посвященные недезарговым проективным плоскостям;
С одной стороны, квазигруппы возникли в недрах (проективной) геометрии, а с другой, как комбинаторный объект – латинские квадраты в работах Леонарда Эйлера.


Ruth Moufang

 (1905 –1977) 

В своих работах Муфанг под квазигруппой понимала объект, который сейчас принято называть лупой Муфанг, то есть лупой со следующими тождествами:

(x· yz) x = xy· zx,

x(yz· x) = xy· zx,

x(y· xz) =(xy· x)z,

(zx· y)x = z(x· yx)

Вильгельм Дёрнте (1928) изучает тернарные квазигруппы как некоторые обобщения бинарных групп;
А.К.Сушкевич (1929,1937) изучает бинарные квазигруппы с некоторыми дополнительными условиями, носящими название “постулаты Сушкевича”;
Бурстин и Майер (1929) изучают дистрибутивные квазигруппы;
А.К.Сушкевич (1937) определил медиальные (абелевы) квазигруппы;
Важно отметить работы – А.А.Алберта (1943,1944), Р.Бэра (1939, 1940), Д.Медоча (1939, 1941), К.Тойоды (1941), Р.Х.Брака (1944, 1946), Э.Л.Поста (1940).


Сушкевич

Антон Казимирович

(1889 – 1961)

В 30-е годы было введено понятие сети, в терминах теории сетей понятие квазигруппы имеет ясную

и естественную геометрическую интерпретацию.

Квазигруппы, как решения некоторых возникающих в математической логике функциональных уравнений, неявно появляются в работах немецкого логика Эрнста Шрёдера.


Эрнст Шрёдер

(1841-1902)

В современной алгебре теорию квазигрупп можно рассматривать как одно из звеньев между классическими алгебраическими системами - группами и общими системами универсальной алгебры.
Квазигруппы являются удобным объектом для проверки гипотез и идей универсальной алгебры.
Квазигруппы имеют разнообразные приложения в дифференциальной геометрии, теории автоматов, криптографии, физике и т.д.


При рассмотрении вопросов, связанных с многообразиями, квазигруппы представляют как алгебры с тремя операциями: основная -умножение (· ), и правое (/) и левое деление (\). Причем две из них однозначно определяются третьей:

x/y = z ⇔ z · y = x, x\y = z ⇔ x · z = y, x\y = z ⇔ y/z = x.

Квазигруппы, как алгебры в сигнатуре Ω = {·,/,\}, образуют многообразие. Поэтому квазигруппы в сигнатуре Ω = {·,/,\} назвали примитивными квазигруппами.
В.Д.Белоусов в классе квазигрупп, изотопных группам выделил линейные квазигруппы. Квазигруппа (Q,·) называется линейной над группой (Q,+), если она имеет вид:

xy = ϕx+ c + ψy,

где ϕ, ψ ∈ Aut (Q,+), c - фиксированный элемент из Q.

Валентин Данилович

Белоусов

 (1925 —1988)

В работе В.Д.Белоусова «Уравновешенные тождества в квазигруппах» (1966) решены следующие задачи:

доказана, что квазигруппа с уравновешенным тождеством изотопна группе (указан вид изотопии);
рассмотрен класс квазигрупп, изотопных группам, а также его подклассы (линейные, полулинейные квазигруппы);

по аналогии с линейными квазигруппами были определены алинейные квазигруппы.

Квазигруппа (Q,·) называется алинейной над группой (Q,+), если она имеет вид:

xy= ϕ*x+ c + ψ*y,

где ϕ*, ψ* - антиавтоморфизмы группы (Q,+), c ∈ Q.

В дальнейшем, Г.Б.Белявской и А.Х.Табаровым как обобщение линейных и алинейных квазигрупп, были введены классы квазигрупп линейных слева или справа, алинейных слева или справа и смешанных типов линейности.


Частным случаем линейных квазигрупп являются хорошо известные медиальные квазигруппы, то есть квазигруппы с тождеством:

xy· uv= xu· yv

Их исследовали многие алгебраисты:

(Брак, Тойода, Мёдоч, Я. Ежек и Т.Кепка, Т.Кепка и П.Немец, К.К. Щукин, В.А.Щербаков и др.),

они играют особую роль в теории квазигрупп.

Другим важным случаем линейных квазигрупп являются Т-квазигруппы, введенные Т.Кепкой и П.Немцем как обобщение медиальных квазигрупп.

Т-квазигруппы - это квазигруппы вида:

xy = ϕx + ψy + c,

где (Q,+) - абелева группа, ϕ, ψ ∈ Aut (Q,+) и в отличие от медиальных квазигрупп, ϕ и ψ не обязательно коммутируют.

Квазигруппу (Q,·) называют линейной над лупой (Q,+), если она имеет вид:

xy = (ϕx+ ψy) + d,

где ϕ, ψ ∈ Aut(Q,+), d ∈ Q, предполагая, что при этом в качестве луп (Q,+) будут использоваться достаточно известные и изученные лупы, например лупы Муфанг, то есть лупы с тождеством:

x + (y + (x + z)) = ((x + y) + x) + z.

Общая идея квазигруппы, линейной над некоторой лупой, выкристализовалась в работах алгебраистов из Праги (Т.Кепка, Я.Ежек, П.Немец).

В литературе появился также термин обобщенные линейные квазигруппы.

медиальные квазигруппы (теорема Тойоды);
дистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова);
леводистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова-Оноя);
СН- квазигруппы (теорема Манина);
Т-квазигруппы;
n-арные медиальные квазигруппы (теорема Ивэнса и теорема Белоусова);
F-квазигруппы (теорема Кепки- Киньона-Филлипса).


CH-квазигруппой называется квазигруппа с тождествами:

xy= yx, x(xy) = y,

любые три элемента которой порождают медиальную подквазигруппу.

CH- квазигруппы введены Ю.И.Маниным в связи с решением одной задачи из алгебраической геометрии, а именно - исследования кубических гиперповерхностей.

Манин

Юрий Иванович

Чешскими алгебраистами и представителями квазигрупповой школы В.Д.Белоусова достаточно интенсивно изучались линейные квазигруппы и некоторые их обобщения.
Были исследованы алгебраические (морфизмы, конгруэнции, решетки, ядра, центр, ассоциатор, коммутатор, группы умножений) и комбинаторные (ортогональность, численные оценки, латинские квадраты) аспекты обобщенных линейных квазигрупп.

Роль квазигрупп и луп

В современной алгебре теория квазигрупп и луп– это одно из звеньев между классическими алгебраическими системами - группами и общими системами универсальной алгебры.
Квазигруппы и лупы являются удобным объектом для проверки гипотез и идей универсальной алгебры.
Квазигруппы имеют разнообразные приложения в криптографии, дифференциальной геометрии, теории автоматов, физике и т.д.
В настоящее время теория квазигрупп развивается по трём основным направлениям:
исследование внутренней природы самих квазигрупп;
тенденция получить аналоги известных результатов и теорем из других алгебраических структур;
приложения теории квазигрупп.

Литература

[1] Pflugfelder, Hala Orlik, Historical notes on loop theory. Loops'99 (Prague). Comment. Math. Univ. Carolin. 41 (2000), no. 2, 359–370
[2] Aczel J., Квазигруппы, сети и номограммы, Adv. в математике. 1 (1965), MR 33 (1967).
[3] Альберт А.А., Квазигруппы. I, Trans. Amer. Математика Soc. 54 (1943), MR 5 (1944).
[4] Альберт А.А., Квазигруппы. II, Trans. Amer. Математика Soc. 55 (1944), MR 6 (1945).
[5] Artzy R., Изотопия и парастрофия квазигрупп, Proc. Amer. Математика Soc. 14 (1963).
[6] Белоусов В.Д., Основы теории квазигрупп и луп, Наука, 1967, MR 36 (1968).
[7] Бэр Р., Однородность проективных плоскостей, Амер. J. Math. 64 (1942).

Литература

[8] Blaschke W., Bol G., Geometrie der Gewebe, Springer-Verlag, 1938.
[9] Bol G., Gewebe und Gruppen, Math. Анна. 114 (1937).
[10] Брук Р.Х., Некоторые результаты в теории квазигрупп, Транс. Amer. Математика Soc. 56 (1944), MR 6 (1945).
[11] Брук Р.Х., «Вложения в теорию луп» (1946), Trans. Amer. Математика Soc. 60 (1946), MR 8 (1947).
[12] Брук Р.Х., Обзор бинарных систем, Springer-Verlag, 1958, MR 29 (1959).
 [13] Этерингтон И. М., Квазигруппы и кубические кривые, Эдинбургская математика. Soc. 14 (1964), MR 33 (1967).