Реферат. Метод Гаусса и Крамера

• Название: Метод Гаусса и Крамера
• Дата: 20.12.2022
• Размер: 116.5 Kb.
• Имя файла: Реферат.doc
• Тип: Реферат; #854394

Реферат

На тему: Метод Гаусса и Крамера.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Разрешимость системы линейных уравнений………………………………..4

2. Метод Крамера и его особенности……………………………………………7

3. Метод Гаусса – прямой и обратный ход……………………………………...9

Заключение……………………………………………………………………….14

Список использованной литературы…………………………………………...15


Введение

Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.

Линейная алгебра, численные методы – раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.

Среди задач линейной алгебры наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраических уравнений определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и т.д.

Любой численный метод линейной алгебры можно рассматривать как некоторую последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется прямым. В противоположном случае численный метод называется итерационным. Прямые методы - это такие, как метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы – это метод простой итерации, метод вращений, метод переменных направлений, метод релаксации и др. Здесь будут рассматриваться матричный метод, метод Гаусса и метод Крамера.

Цель реферата

Задачи:

1. Разрешимость системы линейных уравнений.

2. Метод Крамера и его особенности.

3. Метод Гаусса – прямой и обратный ход.

Структура реферата состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.
1. Разрешимость системы линейных уравнений.

Когда мы говорим о главной матрице системы линейных уравнений, то всегда имеем в виду квадратную матрицу n×n, т. е. матрицу с одинаковым количеством строк и столбцов. Это важно.

Если, например, количество строк (количество уравнений в системе) будет меньше, чем количество столбцов (фактически, количества неизвестных), то система будет неопределенной, т. е. мы не сможем однозначно определить все неизвестные (решить систему).

Но это не единственное ограничение. Из векторной алгебры известно, что система линейных уравнений имеет решение (однозначное) тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: Δ ≠ 0.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. Δ = 0 и каждый из дополнительных определителей Δxi = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. При этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. Δ = 0 и хотя бы один дополнительный определитель Δxi ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных xi, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений:



Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или A·x = b. (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Иногда рассматривают также расширенную матрицу системы, т. е. главную матрицу системы, дополненную столбцом свободных членов, которую записывают в следующем виде:



Любую линейную систему уравнений можно записать в матричном виде. Например, пусть дана система:



Эта система из двух уравнений с тремя неизвестными – x, y,. В высшей математике можно рассматривать системы из очень большого числа уравнений с большим количеством неизвестных и поэтому неизвестные принято обозначать только буквой х, но с индексами:



Запишем эту систему в матричном виде:



Здесь главная матрица системы:

Расширенная матрица будет иметь вид:

Решения матричных уравнений.

Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

(А-1А) Х = А-1В.

Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:

Х = А-1В.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу А-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.

К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера – с определителями системы, образованными по специальному правилу.
2. Метод Крамера и его особенности.

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера последовательно выполняется следующий алгоритм:

1. Записывают систему в матричном виде (если это еще не сделано).

2. Вычисляют главный определитель системы:



3. Вычисляют все дополнительные определители системы:



4. Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5. Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид:



Пример 1

Решить по методу Крамера систему из трех уравнений с тремя неизвестными:



Решение:

Запишем главный и побочные определители системы:



Вычислим эти определители:

Δ = 3*4*(-4)+7*(-3)*5+(-2)*(-8)*5-5*4*5-3*(-3)*(-8)-7*(-2)*(-4) = 48-105+80-100-72-56 = 128-333 = -205.

Δ1 = -112+(-45)+(-192)-(-240)-24-168 = -112-45-192+240-24-168 = 240-541 = -301.

Δ2 = -36-420-280-75+196-288 = 196-1099 = -903.

Δ3 = -144-147-30-140+27-168 = -629+27 = -602.

Главный определитель системы не равен нулю. Находим неизвестные по формулам Крамера.

Подставим найденные значения определителей в формулы Крамера:

x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;

x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;

x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = 2,936585365854 ≈ 2,93.

Вывод.

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера используются формулы, в которых участвуют как главный, так и дополнительные определители системы:



Напомним, что главным определителем системы называется определитель главной матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:



Если в главном определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x₁, x₂,...x_n на столбец свободных членов, то получим n дополнительных определителей (для каждого из n неизвестных):



При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который решается сравнением главного и дополнительных определителей системы с нулем.
3. Метод Гаусса – прямой и обратный ход.

Рассмотрим метод Гаусса. Например, пусть дана расширенная матрица некоторой системы m линейных уравнений c n неизвестными:



Будем считать, что a₁₁ ≠ 0 (если это не так, то достаточно переставить первую и некоторую другую строку расширенной матрицы местами). Проведем следующие элементарные преобразования:

C₂-(a₂₁/a₁₁)*C₁,

...

C_m-(a_m1/a₁₁)*C₁,

т.е. Ci-(a_i1/a₁₁)*C₁, i = 2, 3, ..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (кроме первой) отнимаем первую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой строки на диагональный элемент а₁₁.

В результате получим матрицу:



Т. е. первая строка осталась без изменений, а в столбце под а₁1 на всех местах оказались нули. Обратим внимание, что преобразования коснулись всех элементов строк, начиная со второй, всей расширенной матрицы системы.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы получить нули подо всеми диагональными элементами матрицы А – a_ij, где I = j.

Повторим наши элементарные преобразования, но уже для элемента α₂₂.

C₁-(a₁₂/α₂₂)*C₂,

...

C_m-(α_m2/α₂₂)*C₂,

т.е. C_i-(α_i2/α₂₂)*C₂, i = 3, ..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (теперь кроме первой и второй) отнимаем вторую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой (текущей) строки на диагональный элемент α₂₂.

Такие преобразования продолжаются до тех пор, пока матрица не приведется к верхнее - треугольному виду. Т. е. под главной диагональю не окажутся все нули:



Вспомнив, что каждая строка представляет собой одно из уравнений линейной системы уравнений, легко заметить, что последнее m-ое уравнение принимает вид:

γ_mn*x_n = δ_m.

Отсюда легко можно найти значение первого корня – x_n = δ_m/γ_mn.

Подставив это значение в предыдущее m-1-е уравнение, легко получим значение x_n-1-ого корня.

Таким образом, поднимаясь до самого верха обратным ходом метода Гаусса, мы последовательно найдем все корни системы уравнений.

Пример 1

Рассмотрим систему уравнений:



Главный определитель данной системы:



Δ = [1*(-4)*(-2)+2*2*1+(-1)*(-1)*(-1)]-[1*(-4)*(-1)+2*(-1)*(-2)+2*(-1)*1] = [8+4-1]-[4+4-2] = 11-6 =5,

т. е. Δ ≠ 0.

Т. е. система определена и разрешима. Решим ее по методу Гаусса.

Проведем прямой ход метода Гаусса, выписав предварительно расширенную матрицу системы:



Получим нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Для получения нуля в элементе a21 (т. е. под диагональю во второй строке матрицы) вторую строку матрицы преобразуем по формуле C₂-(a₂₁/a₁₁)*C₁ = C₂-(2/1)*C₁ = C₂-2*C₁:



Аналогично поступаем и с элементом а31 (т. е. под диагональю в третьей строке матрицы). Третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃-(a₃₁/a₁₁)*C₁ = C₃-(-1/1)*C₁ = C₃+C₁:



Таким образом, мы получили нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Осталось получить нуль под главной диагональю во втором столбце матрицы, т. е. на месте элемента а32. Для этого третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃-(a₃₂/a₂₂)*C₂ = C₃-(1/-2)*C₂ = C₃+1/2C₂:



Таким образом, проведя прямой ход метода Гаусса, мы получили расширенную матрицу системы, приведенную к верхне-треугольному виду:



Эта матрица эквивалентна системе:



Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х₃:

-5/2x₃ = 3/2,

x₃ = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5.

Корень x₃ = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x₂-3x₃ = 1):

-2x₂-3(-3/5) = 1,

-2x₂+9/5 = 1,

-2x₂ = 1-9/5,

-2x₂ = -4/5,

x₂ = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.

Корень x₂ = 2/5 найден. Подставим его и корень х₃ в верхнее (первое) уравнение системы (x₁-x₂+x₃ = 0):

x₁-2/5+(-3/5) = 0,

x₁-5/5 = 0,

x₁ = 5/5 = 1.

Проверка:



т. е.



т. е.



и т. д.
Вывод.

Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.


Заключение

По проделанной работе, можно определить недостатки и достоинство методов. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений.

Существенным недостатком метода Гаусса является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от коэффициентов и от свободных членов.

Достоинством является – менее трудоёмкий по сравнению с другими методами. Метод определителя является самым простым способом, но существуют так же и недостатки, например, как чувствительность к ошибкам округления.

Список использованной литературы

1. Богомолов Н.В., Математика, Учебник для ССУЗов . – М.: Дрофа. 2017.  – 398 с.

2. Григорьев С.Г.Математика. Учебник для ССУЗов . – М.: Академия. 2019. – 384 с.        

3. Иванова. М. И. Математика. Учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.,: Академия. 2018. – 256 с.

4. Куликов Л.Я., Макаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей пединститутов. – М.: Просвещение, 2020. – 254 с.

5. Чернова. А. А. Введение в алгебру.: Учеб. для студ. ун-та, обучающихся по специальности «Математика» и «Прикладная математика»: В 2 ч. – М.: Физ.-мат. лит.,2019. – 384 с.