Cистемы линейных однородных уравнений. Теорема Лопиталя.. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Система линейных уравнений называется однородной
![]()
|
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: ![]() Однородная система всегда совместна, то есть ![]() Она имеет нулевое (тривиальное) решение: ![]() Теорема 1. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r < n. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными: ![]() Теорема 2. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, то есть ![]() Пример. Решить систему ![]() Решение. Вычислим определитель системы: ![]() Так как ![]() ![]() Запишем решение системы (2.4) ![]() ![]() Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами. ![]() Теорема. Если ранг r основной матрицы системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n–r решений. Общее решение системы линейных однородных уравнений может быть представлено в виде ![]() Где ![]() ![]() Решения ![]() Пример. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений ![]() Решение. Найдем ранг системы r: ![]() Оставим первые два уравнения системы: ![]() ![]() Общее решение системы будет иметь вид ![]() Из общего решения находим фундаментальную систему решений: ![]() С помощью фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде ![]() Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений равно сумме какого-либо ее частного решения и общего решения однородной системы, соответствующей данной неоднородной. Частное решение неоднородной системы можно получить, приравняв к нулю все свободные неизвестные. Такое решение называется базисным решением (в выбранном базисе) Пример. Найти общее решение системы линейных уравнений ![]() ![]() 2. Рассмотрим однородную систему, соответствующую данной неоднородной. Поскольку ранг системы равен 2, сразу возьмем эквивалентную систему, содержащую два линейно независимых уравнения: ![]() Перенесем свободные неизвестные в правую часть: ![]() Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений найдена. Общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной системе, имеет следующий вид: ![]() ![]() Домашнее задание: Перепишите лекцию и решите задачу. Напишите свое ФИО в тетради ![]() |