|
Типовой расчет 2. Решение для однородной системы уравнений. вар. Система уравнений вар. Система уравнений 1, 20 2, 21
Типовой расчет №2
Практические задания Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнений.
№ вар.
| Система уравнений
| № вар.
| Система уравнений
| 1, 20
|
| 2, 21
|
|
3, 22
|
|
4, 23
|
|
5, 24
|
|
6, 25
|
|
7, 26
|
|
8, 27
|
|
9, 28
|
|
10, 29
|
|
11, 30
|
|
12, 16
|
|
13, 17
|
|
14, 18
|
|
15, 19
|
|
|
|
Задача 2*. Найти общее решение в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?
№ вар.
| Система уравнений
| № вар.
| Система уравнений
| 1
|
| 2
|
| 3
|
| 4
|
| 5
|
| 6
|
| 7
|
| 8
|
| 9
|
| 10
|
| 11
|
| 12
|
| 13
|
| 14
|
| 15
|
| 16
|
| 17
|
| 18
|
| 19
|
| 20
|
| 21
|
| 22
|
| 23
|
| 24
|
| 25
|
| 26
|
| 27
|
| 28
|
| 29
|
| 30
|
|
Задача 3. Линейный оператор определяется действием отображения на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
а) Найти матрицу оператора в подходящем базисе пространства , а затем в каноническом базисе . б) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1, 0, 0) под действием отображения ?
№ вар.
| Отображение
| 1, 21
2, 22
3, 23
4, 24
5, 25
6, 26
7, 27
8, 28
9, 29
10, 30
11, 16
12, 17
13, 18
14, 19
15, 20
| отражение относительно плоскости x + y + z = 0
поворот на 180° вокруг оси x = y = z
проектирование на ось x = y/2 = z
проектирование на плоскость x + y + z =0
отражение относительно плоскости x + y z = 0
поворот на 180° вокруг оси x = y = z
проектирование на ось 2x = 2y = z
проектирование на плоскость x y + z = 0
отражение относительно плоскости x y + z = 0
поворот на 180° вокруг оси x = y = z
проектирование на ось x = 2y= 2z
проектирование на плоскость x + y + z = 0
отражение относительно плоскости x + y + z = 0
поворот на 180° вокруг оси x = y = z
проектирование на плоскость x + y z = 0
| Задача 4. а) Доказать, что оператор является линейным оператором в пространстве многочленов степени не выше n.
б) Найти его матрицу в каноническом базисе.
в) Существует ли обратный оператор? Если да, найдите его матрицу.
г) Опишите ядро оператора , т. е. множество .
№ вар.
| n
|
| № вар.
| n
|
| 1, 22
| 2
|
| 9, 30
| 2
|
| 2, 23
| 2
|
| 10, 16
| 2
|
| 3, 24
| 3
|
| 11, 17
| 3
|
| 4, 25
| 3
|
| 12, 18
| 2
|
| 5, 26
| 3
|
| 13, 19
| 3
|
| 6, 27
| 3
|
| 14, 20
| 2
|
| 7, 28
| 2
|
| 15, 21
| 2
|
| 8, 29
| 3
|
|
|
|
|
Задача 5. Пусть А матрица оператора из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы А. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора .
Задача 6. Оператор действует на матрицы, образующие линейное подпространство М в пространстве матриц второго порядка.
а) Доказать, что линейный оператор в М.
б) Найти матрицу А оператора в каком-нибудь базисе пространства М.
в) Найти собственные значения и собственные векторы оператора (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
г) Доказать, что оператор простого типа, описать его действие в собственном базисе.
№ вар.
|
|
| B
| 1, 16
| y = u
|
|
| 2, 17
| y = u
|
|
| 3, 18
| x + v = 0
|
|
| 4, 19
| x + v = 0
|
|
| 5, 20
| x + y + u + v = 0
|
|
| 6, 21
| x y + u + v = 0
|
|
| 7, 22
| x + y u v = 0
|
|
| 8, 23
| x 2y u v = 0
|
|
| 9, 24
| y = u
|
|
| 10, 25
| y = u
|
|
| № вар.
|
|
| B
| 11, 26
| x + v = 0
|
|
| 12, 27
| x + y + u + v = 0
|
|
| 13, 28
| x + y + 2u + v = 0
|
|
| 14, 29
| x + y + 2u v = 0
|
|
| 15, 30
| x + y v = 0
|
|
|
|
|
|