Билеты алгем. 9. Теорема КронекераКапелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений. Теорема КронекераКапелли (критерий совместности слу)
![]()
|
9. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы СЛУ совместна r(A) = r(A | ![]() Доказательство: => ∃ ![]() ![]() ![]() ![]() α1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() < ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() dim< ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() || || rc ( A | ![]() <= rc (A) = rc ( A | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() < ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ↓ < ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть дана однородная система линейных уравнений ![]() Множество всех решений этой системы образует подпространство пространства R0, называемое пространством решений системы Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ) – базис пространства R0 Теорема о размерности пространства решений. Размерность пространства решений системы равна n – r(A), где n — число неизвестных в системе, а r(A) — ранг основной матрицы системы. dimR0 = n – r(A) Доказательство: r = r(A) Выберем наибольший ненулевой минор (r*r) Б.О.О. это M{1,..,r}{1,..,r} 2) первые r строк матрицы A – базис пространства строк А т.е. ур-ие с r+1 до m – следствия ур-ий с 1 по r. Итак ОСЛУ (1) эквивалентны. ![]() 3) перенесем все переменные кроме x1…xr в первую часть и придадим им любые значения из F. ![]() По т.Крамера (3) имеет ровно 1 решение α1 α2 … αr | αr+1 αr+1 … αn ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ![]() ![]() 4) убедимся, что (( ![]() ![]() β1 ![]() ![]() ![]() cм. на компоненту r + I; βi * 1 = 0 => βi = 0 т.е. ( ![]() ![]() Убедимся, что <( ![]() ![]() ⊇ ( ![]() ( ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( ![]() По т.Крамера для (3) при αr+1 = αr+2 = … = αn = 0 d1 = d2 = … = dr = 0 Итак ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10. Линейное отображение и линейный оператор. Теорема существования и единственности линейного отображения. Матрица линейного отображения в базисах и оператора в базисе. Изменение матрицы отображения при замене базисов. Линейное отображение (ЛОт) Ꭿ: U -> V ∀ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ∀α ∈ F; ![]() ![]() ![]() 1’) ∀α, β ∈ F; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() V = U => линейное отображение Ꭿ = линейный оператор d Теорема существования и единственности линейного отображения U, V ЛП над F b = ( ![]() ![]() c = ( ![]() ![]() ∃! ЛОт Ꭿ: U -> V, что ∀i ∈ {1..n} Ꭿ( ![]() ![]() Доказательство: ∃ ![]() ![]() ![]() ![]() Ꭿ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) ![]() ![]() ![]() ![]() Ꭿ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ꭿ(α ![]() ![]() ![]() ![]() ! Ᏸ: U->V ( ∀i : Ᏸ ( ![]() ![]() ∀ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() b = ( ![]() ![]() c = ( ![]() ![]() Рассмотрим [Ꭿ]cb = ([Ꭿ( ![]() ![]() [Ꭿ]cb – матрица линейного оператора от Ꭿ в базисах b и c. U = V, c = b : [Ꭿ]bb = [Ꭿ]b – матрица ЛО Ꭿ в базисе b. Изменение матрицы отображения при замене базисов. ![]() ![]() ![]() 11. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на скаляр. Изоморфизм векторных пространств линейных операторов и матриц. Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для линейных операторов. ![]() ∀ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ∀ ![]() ![]() ![]() Изоморфизм векторных пространств линейных операторов и матриц ![]() ![]() ![]() 12. Образ и ядро линейного оператора. Теорема о размерности образа и ядра. Алгоритмнахождения базисов образа и ядра. Пусть Ꭿ - линейный оператор в векторном пространстве V (Ꭿ: V -> V) Образом Ꭿ называется множество всех векторов, ![]() ![]() ![]() ![]() ImᎯ = { ![]() ![]() ![]() ![]() Ядром Ꭿ называется множество всех векторов ![]() ![]() KerᎯ = { ![]() ![]() Размерность образа линейного оператора Ꭿ называется рангом Ꭿ r(Ꭿ) = dimImᎯ Размерность ядра оператора Ꭿ называется дефектом d(Ꭿ) = dimKerᎯ Теорема о размерности образа и ядра: r(Ꭿ) + d(Ꭿ) = dimV ![]() ![]() Алгоритм нахождения базисов образа и ядра. Алгоритм Чуркина ![]() 13. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теоремы о собственных векторах, относящихся к одному и тому же собственному значению и к разным собственным значениям. Собственные значения и корни характеристического уравнения оператора. Линейные операторы, приводимые к диагональному виду ![]() ![]() 1) ![]() ![]() 2) Ꭿ( ![]() ![]() Теоремы о собственных векторах, относящихся к одному и тому же собственному значению ![]() Sα= { ![]() ![]() ![]() Доказательство: a, b ∈ F, ![]() ![]() Ꭿ(a ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теоремы о собственных векторах к разным собственным значениям. ![]() ![]() ![]() Собственные значения и корни характеристического уравнения оператора ![]() ![]() Линейные операторы, приводимые к диагональному виду ![]() ![]() ![]() |