Глава 4. Векторные пространства
1.Линейные векторные пространства и подпространства. Линейным векторным пространством называется множество векторов, в котором определены операции умножения числа на вектор и сложения векторов вместе со своими свойствами. Размерность векторного пространства – максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Непустое множество линейного пространства называется линейным подпространством пространства , если для любых векторов и из выполнены условия:
где - любое действительное число.
Суммой двух подпространств и называется совокупность всех векторов пространства , которые можно представить в виде , где .
Пересечением линейных подпространств и называется совокупность векторов, которые одновременно принадлежат и . Совокупность всех векторов , ортогональных всем векторам из подпространства , называется ортогональным дополнением подпространства и обозначается .
2. Линейные многообразия. Множество всевозможных векторов вида , где вектор есть любой вектор из множества векторов называется линейным многообразием и обозначается . Линейное многообразие получено сдвигом подпространства на вектор . Вектор называется вектором сдвига, подпространство - направляющим подпространством линейного многообразия .
Свойства линейного многообразия.
Вектор сдвига принадлежит линейному многообразию.
Вектором сдвига, принадлежащим линейному многообразию, может быть любой вектор этого линейного многообразия.
Линейное многообразие определяется однозначно по известным подпространству и вектору сдвига .
Размерностью (рангом) линейного многообразия называется размерность линейного подпространства : .
Операции с линейными многообразиями.
Сумма двух линейных многообразий и есть линейное многообразие, определяемое по следующему правилу: .
Пересечение двух линейных многообразий и есть линейное многообразие, вычисляемое по правилу .
Умножение линейного многообразия на число порождает новое линейное многообразие , определяемое так: .
3. Метрические пространства. Векторное пространство называется метрическим, если задано некоторое правило, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие некоторое число , называемое расстоянием между векторами или нормой, Оно должно удовлетворять 4 аксиомам:
1. для всех и при .
2. для всех ;
3. для
4. для всех .
Пусть и , . Модуль разности векторов может быть вычислен в координатах по-разному (разные нормы).
евклидова норма: .
октаэдрическая норма: .
кубическая норма: .
Формулы для вычисления расстояний в евклидовом пространстве.
Расстояние между вектором и любым вектором ,
,
где - ортогональная составляющая вектора на подпространство .
Расстояние между вектором и линейным многообразием
.
Расстояние между двумя линейными многообразиями и
.
4. Евклидовы пространства. Линейное векторное пространство называется евклидовым, если любым двум векторам и из ставится в соответствие число, обозначаемое как , причем выполняются следующие условия:
1) ; 2) ;
3) , где ; 4) , если - ненулевой вектор; , если - нулевой вектор.
Число называется скалярным произведением векторов и и определяется формулой . Длиной вектора в евклидовом пространстве называется величина . Расстоянием между векторами и является величина
Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число , определяемое из равенства , где . Два ненулевых вектора и называются ортогональными, если .
Свойства длин векторов
1) Если вектор нулевой, то , и обратно: если , то вектор нулевой.
2) , где .
3) - неравенство Коши-Буняковского.
4) - неравенство треугольника.
Ортонормированная система векторов
Система векторов называется ортогональной, если при , и нормированной, если для всех . Если векторы системы ортогональны и нормированы, они называются ортонормированными. Если нет других указаний, векторы предполагаются разложенными по ортонормированному базису.
Теорема. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Алгоритм последовательного построения ортонормированного базиса по заданному базису назван методом ортогонализации или процедурой Грама-Шмидта.
ПРИМЕР 1. Пусть - линейное подпространство пространства , содержащее векторы
. Вектор принадлежит . Содержится ли он в подпространстве ?
Решение. Если вектор , то он является линейной комбинацией векторов :
.
Запишем векторное равенство в развернутой матричной форме
.
Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду
.
Ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не совпадают. Вектор нельзя представить в виде линейной комбинации векторов , вектор .
ПРИМЕР 2. Найти систему однородных линейных уравнений, задающую линейное подпространство, содержащее следующие векторы:
Решение. 1-й способ. Найдем ранг данной системы векторов.
.
Ранг системы равен 2, следовательно, только два вектора из четырех являются линейно независимыми, например, . Тогда линейное подпространство есть совокупность всех линейных комбинаций , где . Эту линейную комбинацию надо записать, как совокупность фундаментальных решений однородной системы уравнений, у которой переменных, из них две свободные переменные и три базисные. Следовательно, ранг системы уравнений , т. е. она должна содержать три независимых уравнения.
Для написания предварительно отдельных фундаментальных решений (линейно независимых векторов) векторы непосредственно не годятся, так как фундаментальные решения должны содержать хотя бы по одному нулю среди своих элементов. Поэтому возьмем две их линейные комбинации, например, и . Тогда общее решение некоторой однородной системы уравнений можно написать в виде:
,
а сама система уравнений будет иметь вид
или окончательно:
Конечно, задача имеет не единственное решение. Можно указать и другие системы однородных уравнений, задающие рассматриваемое подпространство.
Например, взяв линейные комбинации
и ,
получим общее решение некоторой системы линейных уравнений в виде:
.
Соответствующая система уравнений в подробном виде выглядит так:
После преобразований получим:
2-й способ. Система однородных линейных уравнений, задающая линейное подпространство, может быть найдена средствами элементарной математики. Введем произвольный вектор . Для координат вектора найдем соотношения, при которых вектор принадлежит подпространству. Разложим вектор по заданным линейно независимым векторам , как по векторам базиса подпространства, с коэффициентами .
.
В координатах векторное равенство имеет вид
,
а в виде системы уравнений
.
Выразим из системы коэффициенты α и β и подставим в остальные уравнения системы. Получим после несложных преобразований
.
Это и есть система линейных уравнений, задающая линейное подпространство.
3-й способ. Еще один способ решения задачи основан на использовании теоремы Кронекера-Капелли. Разложим вектор по заданным векторам
.
Вектор можно было бы разложить только по линейно независимым векторам, например и . Система выглядела бы проще. Однако в этом случае необходимо было бы провести предварительный анализ набора векторов по выделению из них линейно независимых векторов.
Распишем векторное равенство в координатах
Составим расширенную матрицу системы и, используя метод Гаусса, приведем матрицу к ступенчатому виду
…
.
Система должна иметь решения, поскольку вектор принадлежит подпространству. Ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы по теореме Кронекера-Капелли будут равны. Это выполняется при соблюдении условий:
Полученная система однородных линейных уравнений задает требуемое линейное подпространство.
ПРИМЕР 3. Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений
Решение. Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными и . Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид
, где .
Векторы и образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов и и есть множество решений однородной системы уравнений, т.е. , где .
ПРИМЕР 4. Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, содержащих системы векторов
и .
Решение. Определим ранг каждой системы векторов:
. Ранг .
. Ранг .
Для нахождения размерности суммы линейных подпространств возьмем из каждой системы векторов по два линейно независимых вектора и найдем размерность суммы этих четырех векторов
. Ранг .
Следовательно, совокупность заданных в условии векторов задает линейное подпространство размерности 3. Возьмем из первой системы векторов любые два линейно независимых вектора, например и один вектор из второй системы векторов, например . Эти векторы линейно независимы, поэтому образуют базис в 3-хмерном подпространстве.
Размерность каждой заданной системы векторов равна 2, максимальная размерность суммарной системы векторов в общем случае может быть равной 4, но оказалась равной 3, значит размерность величины 1 – это то общее, что объединяет векторы, т. е. это размерность их пересечения. Размерность пересечения двух подпространств может быть вычислена по формуле .
Найдем базис пересечения двух подпространств. Предположим что некоторый вектор принадлежит первому подпространству. Тогда справедливо разложение
.
Этот же вектор принадлежат и другому подпространству. Следовательно,
.
Приравняем правые части последних равенств
Равенство представляет линейную комбинацию из линейно независимых векторов каждой системы, зависимых в совокупности. Подберем такие значения коэффициентов, которые обращают векторное уравнение в верное равенство, для чего распишем уравнение в матричном виде и решим получающуюся однородную систему уравнений:
или .
Ее решение имеет вид: .
Пусть с=1. Найденные значения коэффициентов подставим в векторное уравнение:
.
Вектор является общим вектором для обоих подпространств. Он и может быть положен как одномерный базис подпространства, являющегося пересечением двух рассматриваемых подпространств.
ПРИМЕР 5. Найти сумму линейных многообразий и ,
где , , , , записав
в виде системы линейных уравнений.
Решение. Сумма линейных многообразий и :
.
Любой вектор , принадлежащий сумме многообразий, можно представить как
или в координатах .
Для системы уравнений с переменными и составим матрицу коэффициентов и свободных членов и проведем с ней элементарные преобразования
В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли система совместна при выполнении условий
.
Полученные неоднородные линейные уравнения описывают сумму линейных многообразий в 4-хмерном пространстве. Сумма представляет собой двумерную плоскость (ранг равен 2), не проходящую через начало координат.
ПРИМЕР 6. Используя векторы , построить ортонормированный базис в трехмерном евклидовом пространстве.
Решение. Проверкой убеждаемся, что векторы взаимно ортогональны. Их нормировка приводит к векторам . Третий вектор должен быть ортогонален векторам . Поэтому и . Запишем эти уравнения в координатах
.
Решая систему, получим , где . Подбором коэффициента с среди бесконечного множества векторов найдем тот, длина которого равна 1. Это вектор . Легко проверить, что тройка векторов образует ортонормированный базис в трехмерном векторном пространстве.
ПРИМЕР 7. Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис в евклидовом пространстве по заданному базису .
Решение. Нормируем вектор , в результате чего получим единичный вектор . Варьируя коэффициент , зададим новый вектор так, чтобы он был ортогонален вектору . Значение можно найти, скалярно умножив вектор на вектор и приравняв скалярное произведение нулю.
Отсюда . Следовательно, вектор имеет координаты . Он не требует нормировки, т.к. уже сам является единичным . Таким образом, ортонормированный базис имеет вид , .
ПРИМЕР 8. Линейное подпространство задано системой однородных уравнений
А) Найти базис евклидова векторного подпространства .
Б) Найти базис ортогонального дополнения .
Решение. А) Решим однородную систему уравнений, приведя матрицу коэффициентов к диагональному виду
.
Матрица коэффициентов системы уравнений с четырьмя переменными имеет ранг, равный 2. Поэтому решение будет содержать две базисные переменные и две свободные. Возьмем в качестве свободных переменные . Тогда общее решение однородной системы
будет иметь вид:
, где .
Векторы и - фундаментальные решения системы уравнений - являются линейно независимыми, поэтому задают линейное векторное подпространство размерности 2, все векторы которого есть бесконечное множество решений нашей системы.
Б) Для нахождения ортогонального дополнения к этому подпространству рассмотрим векторы , ортогональные к векторам базиса подпространства :
Соответствующая система уравнений имеет вид:
Эта система задает все векторы, ортогональные к подпространству . Ранг системы равен 2, число переменных 4, следовательно, число свободных переменных равно 2. Пусть это будут и . Тогда общее решение системы можно записать в виде:
,
где . Совокупность векторов есть линейное векторное подпространство с базисом .
Пример 8, пункт Б) может быть решен и без использования базиса векторного пространства . Путь решения состоит в следующем. Уравнения системы можно представить в виде скалярных произведений векторов на некоторые векторы
,
координаты которых составлены из коэффициентов уравнений, а именно:
Следовательно, векторы ортогональны всем векторам , то есть ортогональны подпространству и потому принадлежат подпространству . Определим среди них линейно независимые векторы:
.
Ранг матрицы равен 2. Среди векторов есть два линейно независимых вектора. Это, например и . Они и составляют базис подпространства .
Легко показать, что оба способа приводят к одному и тому же подпространству . Действительно, один из векторов двух базисов совпадает: . Другой вектор можно получить как .
ПРИМЕР 9. Найти угол между вектором и линейным подпространством , содержащим векторы .
Решение. 1-й способ. Найдем ортогональное дополнение к подпространству . Оно состоит из векторов , таких, что . Запишем эти равенства в виде системы уравнений и решим ее.
.
Решение системы имеет вид: .
Векторы и являются независимыми и составляют базис подпространства . На основе этого базиса построим ортогональный базис, т.е. проведем процесс ортогонализации полученного базиса. В качестве 1-го вектора ортогонального базиса возьмем вектор . . Тогда ортонормированный вектор . Построим вектор такой, что . Получим , или . Поэтому . Векторы и ортогональны. Легко видеть, что вектор можно было получить как . Любой вектор , ортогональный одновременно векторам и , принадлежит подпространству . Тройка векторов , и ортогональна. Пусть - углы между вектором и векторами , и соответственно. Тогда . Найдем и .
,
.
Тогда или .
Из бесконечного множества решений берем наименьший положительный угол . Это и есть угол между вектором и линейным подпространством .
2-й способ. Любой вектор пространства можно представить, причем единственным образом в виде суммы векторов из и :
, (1)
где вектор есть ортогональная проекция вектора на линейное подпространство , а вектор есть ортогональная составляющая.
Опираясь на векторы и , построим ортонормированный базис подпространства . . Используя процесс ортогонализации, получим 2-й вектор . Разложим ортогональную проекцию по ортонормированному базису подпространства : и подставим в (1).
.
Умножим обе части равенства последовательно на . Придем к соотношениям
.
Поэтому . Косинус угла между вектором и его ортогональной проекцией будет равен
.
Отсюда .
|
Векторные пространства и подпространства
|
|
|
|
|
|
Сформулировать определения линейного векторного пространства и линейного векторного подпространства.
|
|
|
|
|
Сформулировать определение размерности линейного пространства. Что называется базисом линейного пространства?
|
|
|
|
|
Найти размерность и базис линейных подпространств, содержащих следующие системы векторов
|
|
|
|
|
|
3. Например
|
|
|
|
|
|
3. Например a, c, d
|
|
|
|
|
|
2. Например a, b
|
|
|
|
|
|
3. Например
|
|
|
|
|
|
3. Например
|
|
|
|
|
Линейное пространство задано в виде оболочки, содержащей векторы .
Принадлежит ли вектор данному пространству? Обосновать.
|
Да.
|
|
|
|
|
Является ли множество решений уравнения линейной оболочкой векторов ?
|
Да
|
|
|
|
|
Является ли линейным подпространством соответствующего пространства каждая их следующих совокупностей векторов:
|
|
|
|
|
Все n-мерные векторы, у каждого из которых первая и последняя координаты равны между собой.
|
Да
|
|
|
|
|
Все n-мерные векторы, у каждого из которых координаты с четными номерами равны нулю.
|
Да
|
|
|
|
|
Все n-мерные векторы, у каждого из которых первая координата равна единице.
|
Нет
|
|
|
|
|
Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат ОХ и ОУ?
|
Нет
|
|
|
|
|
Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой (начало любого вектора совпадает с началом координат)?
|
Да, если прямая проходит через начало координат, нет в противном случае.
|
|
|
|
|
Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?
|
Да
|
|
|
|
|
Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой четверти?
|
Нет
|
|
|
|
|
Все векторы n-мерного векторного пространства, координаты которых – целые числа?
|
Нет
|
|
|
|
|
Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?
|
Да
|
|
|
|
|
Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?
|
Нет
|
|
|
|
|
Написать в векторном виде и линейными уравнениями -мерное подпространство, проходящее через точки А, В, …., где размерность указана в условии задачи.
|
|
|
|
|
, .
|
|
|
|
|
|
, .
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти базис подпространства, заданного уравнениями или системами уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
.
|
Например, .
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
.
|
Например,
|
|
|
|
|
Найти размерность и какой-нибудь базис подпространства, заданного уравнением .
|
Размерность равна . Базис образуют, например, векторы
|
|
|
|
|
Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, содержащее следующие векторы:
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
|
Например,
|
|
|
|
|
.
|
Векторы взяты, как фундаментальные решения некоторой системы. Тогда система имеет вид:
|
|
|
|
|
.
|
Векторы взяты, как фундаментальные решения некоторой системы, тогда система имеет вид: .
|
|
|
|
|
.
|
Векторы взяты, как фундаментальные решения некоторой системы, тогда система имеет вид:
|
|
|
| |
Скачать 1.92 Mb.