Векторные пространства. Векторные пространства

• Название: Векторные пространства
• Дата: 09.03.2021
• Размер: 1.92 Mb.
• Имя файла: Векторные пространства.docx
• Тип: Глава; #182811
• страница: 2 из 4

39. 
    
    

, ,

, .

Например,

40. 
    
    

Доказать, что подпространства:

и

совпадают. Найти систему линейных уравнений, задающую это линейное подпространство.

Например,

Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств и , если содержит векторы , содержит векторы

41. 
    
    

;

.

Размерность суммы - 3,

Размерность пересечения – 1

42. 
    
    

;

.

Размерность суммы - 4,

Размерность пересечения – 2

Найти базис пересечения линейных подпространств и , если содержит векторы , содержит векторы .

43. 
    
    

; .

44. 
    
    

;

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств и , если содержит векторы , содержит векторы .

45. 
    
    

;

.

Базис суммы образуют, например, векторы . Базис пересечения состоит из одного вектора

46. 
    
    

;

.

Базис суммы образуют, например, векторы . Базис пересечения состоит из двух векторов, например, ,

47. 
    
    

;

.

Базис суммы образуют, например, векторы . Базис пересечения состоит из двух векторов, например,

Найти базис пересечения линейных подпространств и , если

48. 
    
    

: ;

: .

Например,

49. 
    
    

: ;

: .

Только нулевой вектор .

50. 
    
    

Например,

51. 
    
    

Линейные подпространства и заданы системами уравнений

: ; : .

Найти: 1) базис подпространства ;

2) линейные уравнения, задающие .

1) Например,

2) Например,

52. 
    
    

Заданы линейные подпространства и

: ; : В дополненном до базиса всего векторного пространства базисе записать:

1. 
   базис подпространства ;
   
2. 
   линейные уравнения, задающие .
   

1) Положим базисом всего пространства векторы , , .

1)Например, ;

2) Например,

53. 
    
    

Заданы линейные подпространства , ,

: ; : ; : В дополненном до базиса всего векторного пространства базисе записать:

1. 
   базис подпространства ;
   
2. 
   уравнения, задающие .
   

Положим базисом всего пространства векторы , , .

1) Например, ;

2) Например,

54. 
    
    

В пространстве подпространство в старом баз­и­се задано вектором . Задать под­пространство в новом базисе .

Подпространство в базисе задается вектором , который вычисляется из матричного уравнения , где , .

55. 
    
    

В пространстве подпространство в старом базисе задано вектором . В каком новом базисе подпространство будет задано вектором ?

, где , , - произвольные векторы, дополняющие матрицы и до квадратных ранга 3.

56. 
    
    

В пространстве подпространство в новом базисе задано вектором . В каком старом базисе оно было задано вектором .

, где , , - произвольные векторы, дополняющие матрицы и до квадратных ранга 3.

57. 
    
    

Подпространство в базисе описывается системой уравнений : Какой вид будут иметь уравнения в базисе ?

Например, :

58. 
    
    

В каком базисе подпространство : будет иметь вид

1) : ?

2) : ?

Например, 1) .

Например, 2)

Линейные многообразия

59. 
    
    

Сформулировать определение линейного многообразия.

60. 
    
    

Доказать, что вектор сдвига принадлежит линейному многообразию .

61. 
    
    

Доказать, что вектором сдвига может быть любой вектор линейного многообразия.

62. 
    
    

Доказать, что линейное многообразие однозначно определяется по известным подпространству и вектору сдвига .

63. 
    
    

Доказать, что если вектор сдвига принадлежит направляющему подпространству ( ), то линейное многообразие обратится в линейное подпространство, т.е. .

64. 
    
    

Сформулировать определение размерности линейного многообразия. Привести пример нульмерного линейного многообразия.

Линейное многообразие представить в виде системы линейных уравнений

65. 
    
    

, где , , .

Например,

66. 
    
    

, где , , , .

Например,

67. 
    
    

, где

, , , , .

Например,

Линейное многообразие задано системой уравнений. Найти линейное подпростран­ство и вектор сдвига такие, что .

68. 
    
    

, где . Например, ,

69. 
    
    

.

, где . Например, , ,

Определить размерность ( ) линейных многообразий и выяснить, какие из них пересекаются, скрещиваются или параллельны? В случае пересечения определить размерность .

70. 
    
    

.

где

, .

Скрещиваются

71. 
    
    

где .

, где , .

, .

Параллельны

72. 
    
    

.

, .

Скрещиваются

73. 
    
    

, .

Совпадают.

74. 
    
    

.

где

, .

Пересекаются.

Найти сумму линейных многообразий и , записав ее векторном виде, а также линейными уравнениями.

75. 
    
    

где , ;

где , .

Например, в векторном виде

, где , ;

в виде линейного уравнения .

76. 
    
    

: , где ;

: .

Например, в векторном виде

, где , ;

в виде линейного уравнения .

77. 
    
    

: ; :

Например, в векторном виде

, где , , , , ;

в виде линейного уравнения .

Найти пересечение линейных многообразий. Указать размерность пересечения и дать геометрическую интерпретацию.

78. 
    
    

: ;

: .

, . .

Две плоскости пересекаются по прямой, не проходящей через начало координат.

79. 
    
    

: ; :

Вектор .

Две прямые пересекаются в точке.

80. 
    
    

: ; :

не существует. Две прямые скрещиваются.

81. 
    
    

где , ;

где , .

, .

Две плоскости пересекаются по прямой, не проходящей через начало координат.

82. 
    
    

: ; :

_{Вектор (0, 0, -2,-3).}

Две двухмерные плоскости пересекаются в точке.

83. 
    
    

: ; :

.

Две двухмерные плоскости пересекаются в точке.

84. 
    
    

: ; :

.

Две двухмерные плоскости пересекаются в точке.

85. 
    
    

, где

, где

_{Две двухмерные плоскости совпадают}

86. 
    
    

, где

, где

не существует

_{Две двухмерные плоскости параллельны}

87. 
    
    

, где

, где

_{Две гиперплоскости пересекаются по двухмерной плоскости}

88. 
    
    

<sub>.

Две гиперплоскости пересекаются по двухмерной плоскости</sub>

89. 
    
    

, где

, где

мерная плоскость параллельна гиперплоскости

90. 
    
    

Найти пересечение подпространства и линейного многообразия .

: ; :

, . .

91. 
    
    

Какую размерность может иметь пересечение двух гиперплоскостей в четырехмерном пространстве?

Гиперплоскости могут совпадать ( ), пересекаться по двухмерной плоскости ( ,

быть параллельными ( .

92. 
    
    

Какую размерность может иметь пересечение гиперплоскости и двухмерной плоскости в четырехмерном пространстве?

Двухмерная плоскость может быть включена в гиперплоскость ,

двухмерная плоскость и гиперплоскость могут пересекаться по прямой ,

скрещиваться .

93. 
    
    

Какую размерность может иметь пересечение двух двухмерных плоскостей в четырех­мерном пространстве?

Двухмерные плоскости могут совпадать , пересекаться по прямой ,

пересекаться в точке ,

скрещиваться или быть параллельными .

94. 
    
    

Какую размерность может иметь пересечение двух трехмерных плоскостей в пяти­мерном пространстве?

Трехмерные плоскости могут совпадать ,

пересекаться по плоскости

пересекаться по прямой ,

скрещиваться или быть параллельными .

95. 
    
    

Заданы линейное подпространство и линейное многообразие

: ,

:

Найти базис и базис , дополнить базис до базиса всего векторного прост­ранства и найти матрицу перехода от базиса к базису .

Дополненный базис : ,

дополненный базис : .

96. 
    
    

В дополненном до базиса всего векторного прост­ранства базисе подпространства записать линейное многообразие в векторной форме, а также в виде линейных уравнений

: ; :

Дополненный базис : .

в векторной форме: , где , или

в виде системы уравнений:

97. 
    
    

При переходе от старого базиса к новому линейное многообразие : будет иметь вид : . Найти новый базис.

Например,

98. 
    
    

При переходе от старого базиса к новому уравнение линейного много­образия : принимает вид : . Найти новый базис.

99. 
    
    

Существует ли базис, в котором линейное многообразие : может быть записано в виде : ?

Нет.

100. 
     
     

При переходе от старого базиса к новому уравнения линейного многообразия : принимают вид : . Найти матрицу перехода.

Например,

101. 
     
     

При переходе от старого базиса к новому уравнение линейного много­образия : принимает вид : . Найти старый базис.

Метрические пространства

102. 
     
     

Что называется метрикой векторного пространства? нормой?

Какие из равенств задают метрику в векторном пространстве ? Обосновать.

103. 
     
     

(пространство изолированных точек).

Да.

104. 
     
     

Да.

105. 
     
     

Нет.

106. 
     
     

Да.

107. 
     
     

Нет.

Какие из равенств задают длину вектора (норму) в n-мерном векторном пространстве? Обосновать.

108. 
     
     

Да.

109. 
     
     

Нет.

110. 
     
     

Нет.

111. 
     
     

Да.

112. 
     
     

Да.

113. 
     
     

Да.

114. 
     
     

Да при условии, что метрика есть .

Метрика линейного векторного пространства задается формулой для . На координатной плоскости изобразить множество точек, для которых , если в метрическом пространстве принята евклидова норма; октаэдрическая норма; кубическая норма.

Ограничиться рассмотрением случая .

115. 
     
     

.

116. 
     
     

117. 
     
     

На рисунках 1-3 изображена геометрическая фигура в метрическом пространстве с евклидовой нормой, причем . Изобразить фигуру в метрическом пространстве 1) с октаэдрической нормой; 2) с кубической нормой.

118. 
     
     

119. 
     
     

Как изменится расстояние на координатной плоскости при переходе от евклидовой нормы к

1) октаэдрической норме;

2) кубической норме?

Вдоль осей координат не изменится. Вдоль любого другого луча, выходящего из начала координат, изменится, причем максимальное изменение происходит вдоль биссектрис каждой четверти: при переходе к октаэдрической норме уменьшится в раз, при переходе к кубической норме увеличится в раз.

120. 
     
     

На координатной плоскости изобразить множество точек, для которых , если в метрическом пространстве норма имеет вид

1) ;

2) ;

3) ;

4) . Ограничиться рассмотрением случая .

121. 
     
     

Доказать, что для двух векторов и с метрикой аксиома

имеет вид , где и .

122. 
     
     

Расстояние между векторами в случае евклидовой нормы равно , октаэдрической нормы - , кубической нормы - . Сравнить их по величине.

123. 
     
     

Доказать, что расстоянием между вектором и подпространством V в евклидовом пространстве является ортогональная составляющая вектора на подпространство V.

124. 
     
     

Доказать, что расстоянием между вектором и линейным многообразием в евклидовом пространстве является ортогональная составляющая вектора на подпространство V.

125. 
     
     

Доказать, что расстоянием между двумя линейными многообразиями и в евклидовом пространстве является ортогональная составляющая вектора на сумму подпространств .

Евклидовы пространства

126. 
     
     

Сформулировать определение n-мерного евклидова пространства.

127. 
     
     

Сформулировать определение скалярного произведения в n-мерном евклидовом пространстве.

128. 
     
     

Сформулировать определение нормы вектора.

129. 
     
     

Доказать неравенство Коши-Буняковского в векторном виде .

130. 
     
     

Доказать неравенство Коши-Буняковского в координатном виде .

131. 
     
     

Доказать неравенство треугольника в векторном виде .

132. 
     
     

Доказать неравенство треугольника в координатном виде

133. 
     
     

Доказать, что для ортогональных векторов и справедливо равенство .

134. 
     
     

Дать определения следующих понятий: ортогональная система векторов; нормированная система векторов; ортонормированная система векторов.

135. 
     
     

Что такое процедура Грама-Шмидта?

Решить векторное уравнение, считая, что координаты всех векторы разложены по ортонормированному базису.

136. 
     
     

, где

137. 
     
     

, где

138. 
     
     

, где .