системы счисления. История возникновения счета
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
Системы счисления История возникновения счета Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная. Система счисления Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью специальных знаков – цифр. Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами. Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9} Числа: 523 1010011 CXL Цифры: 0, 1, 2, 3,… 0,1 I, V, X, L, … Типы систем счисления Типы систем счисления Непозиционные Позиционные
Позиционные системы счисления Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.
555 Десятичная система
Позиционные системы счисления Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел
Основание 0, 1 Алфавит Пример 10010112
0, 1, 2, 3 23014 Двоичная система счисления Четверичная система счисления Позиционные системы счисления Основание Алфавит Пример
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 5278
10 11 12 13 14 15 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F 2F516 Восьмеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Решение задач В каких системах счисления записаны числа? 259310, 1101012, 2078, 5С16 2314 73528 2848 21544 101112 10020112 5D812 Найти ошибки в записи чисел в различных С.С. Решение задач Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа 312? 1012? 6720? 790? 1000? 3440? 2F1? А19? Соответствие между числами в различных системах счисления
Соответствие систем счисления
Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС Правила перевода Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток. Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа. Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС 1 5710 → Х2 57 2 Ответ: 5710 = 1110012 Записываем выделенные остатки в обратном порядке 56 28 2 28 0 14 2 14 0 7 2 6 1 3 2 2 1 1 Перевод чисел из 10-й СС в 8-ю СС 4 10010 → Х8 100 8 Ответ: 10010 = 1448 Записываем выделенные остатки в обратном порядке 96 12 8 8 4 1 Перевод чисел из 10-й СС в 16-ю СС 15 33510 → Х16 335 16 Ответ: 33510 = 14F16 Записываем выделенные остатки в обратном порядке 320 20 16 16 4 1 F Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 185 2 184 24 2 1 24 12 2 0 12 6 2 0 6 3 2 0 2 1 1 Решение задач В двоичную систему: 18510 = В четверичную систему: 78 4 76 19 4 2 16 4 4 3 4 1 0 7810 = 101110012 10324 Решение задач Восьмеричная система: 7510 = 132 8 128 16 8 4 16 2 0 2048 75 8 72 9 8 3 8 1 1 279 8 272 34 8 7 32 4 2 27910 = 1138 13210 = 4278 Решение задач Шестнадцатиричная система: 10710 = 250 16 240 15 10 25010 = 107 16 96 6 11 721 16 720 45 16 1 32 2 13 72110 = 2D116 6В16 FA16 Перевод в десятичную СС Формы записи числа
=2*100+7*10+5*1 = =2*102+7*101+5*100 27510 Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы. Решение задач Запишите числа в развернутой форме: 259310, 1101012, 2078, 5С16 Запишите числа в свернутой форме: 1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 = 7*102+3*101+1*100 = 3*81+3*80 = 14*161+5*160 = Перевод из 2-ой в 10-ую СС 11012 3 2 1 0 =1*23 +1*22+0*21+1*2= Основание системы Разряд цифры =8+4+1 = 13 Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение. Решение задач 100112 4 3 2 1 0 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 16 + 2 + 1 = 1910 11011100 = 1*27 + 1*26 + 1*24 + + 1*23 + 1*22 = = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 =22010 7 6 5 4 3 2 1 0 Перевод из 8-ой в 10-ую СС 718 1 0 = 7*81+1*80 = 56+1= 5710 1448 2 1 0 = 1·82 + 4·81 + 4·80 = = 64 + 32 + 4 = 10010 Перевод из 16-ой в 10-ую СС 7А16 1 0 = 7·161 + 10·160 = = 112 + 10 = 12210 2С616 2 1 0 = 2·162 + 12·161 + 6·160 = = 512 + 192 + 6 = 71010 1C516 2 1 0 = 1·162 + 12·161 + 5·160 = 256 + 192 + 5 = 453 C 1D416 = 1*162 + 13*161 + 4*160 = = 256 + 208 + 4 = 46810 2 1 0 Задание. Перевести в 10-ю СС 1010112 = 1101102 = 758 = 1348 = 7658 = 120314 = 26438 = 1BC16 = 22B16 = A3516 = 2FE116 = Домашнее задание Переведите числа из одной системы счисления в другую. 718 → Х10 → Х2; 5Е16 → Х10 → Х8; 110102 → Х10 → Х16; AF16 → Х10 → Х2 Домашнее задание Для каждого из чисел: 12310, 45610 выполнить перевод: 102, 10 8, 10 16. Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 выполнить перевод: 2 10, 2 8, 2 16. Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16, A1B16, E2E416, E7E516 выполнить соответствующий перевод: 8 2, 16 2. Перевод дробных чисел в десятичную с.с. 1001,112 3 2 1 0 -1 -2 = 1·23 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2= = 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,7510 101,0112 2 1 0 -1 -2 -3 = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3= = 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,37510 1003,2014 = 1*43+3*40+2*4-1+1*4-3 =64+3+0,5+0,015625= =67,51562510 Перевод правильной десятичной дроби из десятичной системы счисления Алгоритм перевода: Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода. Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления. Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения. Перевод дробных чисел 10 2 0,2510 = ,5 0 1 0,012 0 ,25 2 2 ,0 105,2510 = 105 + 0,25 = 1101001,012 10510 = 11010012 Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0. Перевод дробных чисел 10 2 25,375 = ,750 0 1 1 11001,0112 0 ,375 2 2 2 ,5 ,0 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Перевод дробных чисел 10 4 233,87510 =?4 180,6562510 х4 18010 23104 ,625 2 2 2 0 ,65625 4 4 4 ,5 ,0 180,6562510 2310,2224 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112 0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1 перенос заем 1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12 1 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12 0 2 1 0 102 1 0 0 1 1 102 0 1 0 Арифметические операции 1101012 + 101102 101112 + 1011102 1110112 + 110112 1110112 + 100112 Арифметические действия 101 1 12 – 11012 101 11012 – 1101112 10 11012 – 110112 Арифметические действия сложение 1 5 68 + 6 6 28 1 6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0 1 в перенос 1 в перенос 08 0 4 1 в перенос Арифметические действия 34728 + 45208 8 103214 + 20304 4 3 5 38 + 7 3 68 1 3 5 38 + 7 7 78 Арифметические действия вычитание 4 5 68 – 2 7 78 (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем 78 1 5 заем Арифметические действия 7 2 58 – 3 7 48 1 1 5 68 – 6 6 28 Арифметические действия сложение A 5 B16 + C 7 E16 1 6 D 916 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25=16+9 5+7+1=13=D16 10+12=22=16+6 1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1 Арифметические действия С В А16 + A 5 916 10 В А16 + 8 5 616 Арифметические действия вычитание С 5 B16 – A 7 E16 заем 1 D D16 12 5 11 – 10 7 14 (11+16)–14=13=D16 (5 – 1)+16 – 7=13=D16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 13 1 13 Арифметические действия 10 В А16 – A 5 916 Арифметические действия умножение 1 0 1 0 12 1 0 12 1 0 1 0 12 + 1 0 1 0 12 1 1 0 1 0 0 12 2 0 1 34 2 14 2 0 1 34 + 1 0 0 3 24 1 0 2 3 3 34 Арифметические действия умножение 7 2 58 1 48 3 5 2 48 + 7 2 58 1 2 7 7 48 3 А 216 3 116 3 А 216 + А Е 616 В 2 0 216 |