Система Счислений. Лекция 5. Системы счисления и их разновидности
![]()
|
Системы счисления и их разновидности.Система счисления – это способ представления, записи чисел с помощью письменных знаков. Количество этих самых знаков (цифр), используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления. Различных систем счисления у разных народов существовало великое множество. Но все их можно поделить на непозиционные и позиционные. Позиционные системы в свою очередь подразделяются на однородные и смешанные. 1. Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа. Самым простым примером непозиционной системы счисления является единичная (унарная) система счисления. Это запись числа с помощью повторения зарубок на дощечке или узелков на веревке. Все зарубки, узелки или другие «цифры» абсолютно одинаковы, а потому их порядок не имеет значения, число получается простым суммированием количества символов. ![]() ![]() Унарной системой счисления до сих пор пользуются маленькие дети, показывая количество на пальцах. Еще одной используемой до сих пор почти непозиционной системой счисления является Римская: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Она названа почти непозиционной, потому что в Римской системе, кроме обычного сложения цифр в числе, действует правило: если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы. Т.е. число ![]() ![]() Непозиционных систем счисления известно очень много, но мы завершим на этом их рассмотрение. Использование непозиционных систем неудобно, а для очень больших чисел практически невозможно, и к тому же нет возможности записать дроби. 2. Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Самой популярной позиционной системой является, конечно же, десятичная. Мы видим, что числа 15 и 51 имеют совсем разные значения, хотя состоят из одних и тех же цифр. Разница обусловлена положением цифры в числе. Но десятичная система ничем не лучше и не хуже другой позиционной системы, она просто привычная. Число 10 выбрано основанием по количеству пальцев на двух руках (для удобства счета). Однако, в Китае популярной была пятиречная система счисления (по количеству пальцев на одной руке), а двадцатиричная система использовалась у Ацтеков, Майя и некоторых народов Африки (по количеству пальцев на ногах и руках). Еще одной известной позиционной системой счисления является двенадцатиричная (считали фаланги пальцев (кроме большого) на руке. Элементы двенадцатиричной системы сохранились в Англии: 1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов. ![]() Ну и, наконец, незаменимая в наш компьютерный век двоичная система. Почему именно двоичная? Да потому что у компьютера только 2 «пальца», точнее два состояния: «есть ток», «нет тока». 2.1. Однородные системы счисления. В однородной системе в каждой позиции числа может находиться любая цифра. Примером может быть запись числа в любой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и пр.). Т.е. когда мы пишем число в десятичной системе, в любой позиции мы можем написать цифру от 0 до 9. 2.2. Смешанные системы счисления. В смешанной системе счисления набор используемых цифр может отличаться в зависимости от позиции. В качестве примера удобно рассмотреть запись времени в формате ЧЧ.ММ.СС (часы.минуты.секунды). В качестве часов может быть использовано число от 00 до 23, в качестве минут и секунд – число от 00 до 59. Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.1. Порядковый счет в различных системах счисления. В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные». Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы. Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее. Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение ![]() ![]()
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( ![]() ![]()
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего. Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления. ![]() ![]() Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления. ![]() ![]() Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления. ![]() ![]() 3. Перевод из любой системы счисления в десятичную. Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа. Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е. ![]() Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа: ![]() ![]() ![]() Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е. ![]() Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511. ![]() ![]() Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151. ![]() ![]() 4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.). Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления. Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ![]()
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
Т.е. ![]() Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
![]() 5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную. Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия. Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления. Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников. 1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой. Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов. Пример 1. Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную. Решение: Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 : ![]() Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа: ![]() Ответ: ![]() 2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую. Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой. Пример 2 Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых. Решение: Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой: ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 3. Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему. Решение: Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой: ![]() ![]() Ответ: ![]() 3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой. Пример 4. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125? Решение: Переведем целую часть числа в двоичную систему: ![]() Переведем дробную часть числа в двоичную систему: ![]() Соединим целую и дробную части: ![]() 14,12510 = 1110,0012 |