Метод. указания к ЛР № 5 (2019). Изучение свободных колебаний физического маятника
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
Рис. 1. Общий принцип дей- ствия физического маятника КУЗЬМЕНКО Ю.В. (2019) Работа 5 ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебаний и приведенной длине. Приборы и принадлежности: физический маятник, призма балансировки, линейка, математический маятник, секундомер. Введение Физическим маятником называется любое тело, совершаю- щее колебания под действием силы тяжести вокруг горизон- тальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Дли- на такого математического маятника называется приведённой длиной физического маятника. Выведем формулу периода колебаний физического маят- ника. На рис. 1 схематически изображена конструкция физи- ческого маятника, использова- ны следующие обозначения: − O – проекция точки горизон- тальной оси вращения; − O c – центр тяжести (в одно- родном поле сил тяжести центр инерции и центр тяжести сов- падают); − 𝑑 – расстояние от оси вра- щения до центра инерции; - φ – угол отклонения маятника от положения равновесия; 1 Рис. 2. Внешний вид физического маятника − O к – положение точечного груза математического маятника длиной, равной приведенной длине физического маятника; − 𝑙 пр. – приведенная длина физического маятника. Экспериментальная установка выполнена в виде единой конструк- ции, закрепленной на стене лабора- тории. Конструктивно установка включает в себя следующие элемен- ты: 1, 2 – призмы для подвеса маят- ника; 3, 4 – грузы; 5 – подвесная опора. Примечание: общая масса физи- ческого маятника указана на уста- новке. Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий мо- мент, стремящийся возвратить маят- ник в положение равновесия. Чис- ленное значение этого момента 𝑀 определяется соотношением (см. рис. 1): 𝑀 = 𝑚𝑔𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑, (1) где 𝑚 – масса физического маятни- ка, 𝑑 – расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, – уг- ловое перемещение тела, отсчитыва- емое от положения равновесия. Уг- ловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого определяется направле- нием поворота тела из положения равновесия по правилу право- го винта. 1 3 2 Учитывая, что векторы 𝑀 ⃗⃗ и 𝜑⃗ антипараллельны, следует ве- личинам проекций вращающего момента и углового перемеще- ния на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид 𝑀 = −𝑚𝑔𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑. (2) При малых углах 𝜑 можно принять 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝜑, если 𝜑 выра- жено в радианах, и тогда записать формулу (2) следующим обра- зом: 𝑀 – 𝑚𝑔𝑑 (3) Используем основной закон динамики вращательного дви- жения тела относительно неподвижной оси, записав его в проек- циях на ось вращения: 𝑀 = 𝛽𝐼, (4) где 𝐼 – момент инерции тела относительно оси вращения; а 𝛽 – угловое ускорение, причем 𝛽 = 𝑑 2 𝜑 𝑑𝑡 2 = 𝜑̈. Подставляя в формулу (4) момент силы из формулы (3), по- лучим уравнение движения маятника 𝜑̈ + 𝑚𝑔𝑑 𝐼 𝜑 = 0. (5) Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде 𝜑(𝑡) = 𝜑 0 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝛼 0 ), (6) где 𝜔 = √ 𝑚𝑔𝑑 𝐼 , а 0 и 𝛼 0 – постоянные, определяемые начальными условиями. Величины 0 и (𝜔𝑡 + 𝛼 0 ) называют, соответственно, амплиту- дой и фазой колебания, 𝛼 0 – начальной фазой. Уравнение (6) яв- ляется уравнением гармонических колебаний, а величина 𝜔 3 называется циклической собственной частотой колебания физи- ческого маятника. Период колебаний 𝑇 связан с циклической ча- стотой колебаний маятника соотношением: 𝑇 = 2𝜋 𝜔 Таким образом, период колебания физического маятника опре- деляется формулой: 𝑇 = 2𝜋√ 𝐼 𝑚𝑔𝑑 (7) Для расчета теоретического значения периода колебаний фи- зического маятника необходимо определить следующие величи- ны: Момент инерции маятника относительно оси вращения (𝐼). Момент инерции зависит от конструкции физического маятника и от положения точки подвеса. Массу маятника (𝑚). Масса указана на самом маятнике. Расстояние от оси вращения до центра инерции (𝑑). Точка, соответствующая центру инерции определяется с помощью призмы балансировки (выдается лаборантом). Ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли 𝑔 = 9,81 м с 2 ⁄ Для математического маятника период колебаний зависит толь- ко от длины нити подвеса и записывается в виде: 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔 (8) Сравнивая эту формулу с формулой (7), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника 𝑙 = 𝐼 𝑚𝑑 = 𝑙 пр. (9) 4 Это и есть формула приведённой длины l п физического маят- ника. Методы измерений и описание аппаратуры Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн 5, на котором смонтированы опоры для призм физического маятника (рис. 2). На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно из- менять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физи- ческий маятник представляет собой цилиндрический стержень, на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4. Общая масса маятника 𝑚 (указана на установке) включает в себя сумму масс грузов, массу стержня, а также массы призм подвеса маятника. Расстояние от опорных призм до центра инерции (центра тя- жести) определяется с помощью балансировки маятника на призме балансировки (маятник должен находится на этой приз- ме в равновесии (рис. 3). Рис. 3. Балансировка физического маятника Один из методов определения момента инерции маятника от- носительно оси, проходящей через опорную призму, сводиться к определению периода колебаний 𝑇 маятника относительно этой оси, массы 𝑚 маятника и расстояния 𝑑 от центра тяжести (центра инерции) маятника до оси вращения (см. формулу (7) для 𝑇) В этом случае момент инерции маятника вычисляется по формуле 𝐼 = ( 𝑇 2𝜋 ) 2 𝑚𝑔𝑑 (10) 5 Кроме этого метода, на практике часто используют метод определения момента инерции по приведённой длине физиче- ского маятника. Приведённую длину находят из опыта, подбирая такую длину нити математического маятника, который колеблет- ся синхронно с данным физическим. Определив длину матема- тического маятника 𝑙 пр. находят момент инерции по формуле 𝐼 = 𝑚𝑙 пр. 𝑑 (11) Порядок выполнения работы Определение момента инерции физического маятника мето- дом колебаний 1. Подвесив маятник на призме 1 (см. рис. 2), отклонить его на небольшой угол (менее 10 ) и измерить секундомером время десяти полных колебаний. Измерения произвести пять раз. Затем произвести аналогичные измерения, подвешивая маятник на призме 2. Данные занести в таблицу 1. Вычислить среднее зна- чение периода колебаний для каждого из опытов: 𝑇 𝑖 = 𝑡 𝑖 /10 𝑇 ср= (𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + 𝑇 4 + 𝑇 5 )/5 Результат занести в таблицу 1. Таблица 1 Положе- ние оси вращения Расстояние от призмы подвеса до центра тя- жести ма- ятника 𝑑, м Время десяти колебаний, с Среднее значение периода колеба- ний 𝑇 ср с 𝑡 1 𝑡 2 𝑡 3 𝑡 4 𝑡 5 Призма 1 Призма 2 Для определения расстояния 𝑑 от центра тяжести до осей вращения снять маятник с опоры и положить на специальную подставку (призму балансировки, рис. 3). На подставке, которая имеет острую грань, маятник необходимо уравновесить. Рассто- яние от точки, находящейся над гранью призмы балансировки, 6 до опорных призм измерить масштабной линейкой с точностью до Δd 0,001 м. Результаты занести в таблицу 1, затем рассчи- тать момент инерции по формуле (10). Результат расчета момен- та инерции занести в таблицу 3. Определение момента инерции физического маятника с по- мощью измерения приведенной длины математического маят- ника Изменяя длину математического маятника, добиться того, чтобы он колебался синхронно с физическим. Полного совпаде- ния периодов обоих маятников добиться нелегко. Поэтому сле- дует, постепенно меняя длину нити математического маятника, добиться того, чтобы маятники колебались синхронно в течение 10 – 15 колебаний. Измерить расстояние от центра шарика до точки подвеса. Результаты занести в таблицу 2. Момент инерции вычислить по формуле (11) и результат расчета момента инер- ции занести в соответствующую графу таблицы 3. Таблица 2 Положение оси вращения Расстояние от центра шарика до точки подвеса, 𝑙 пр. , м Призма 1 Призма 2 Таблица 3 Положение оси вращения Момент инерции физического маятника 𝐼, кг м 2 По методу коле- баний По методу приведенной длины Призма 1 Призма 2 Подобные измерения и расчёты повторить, подвешивая маят- ник на второй призме. 7 Оценка погрешности определения момента инерции 1. Найти и сравнить систематическую и случайную ошибку определения периода 𝑇. Случайную ошибку периода колебаний 𝛥𝑇 случ можно вычислить по методике Стьюдента: ∆𝑇 случ = 𝛼√ ∑ (𝑇 ср − 𝑇 𝑖 ) 2 𝑁 𝑖=1 𝑁(𝑁 − 1) Для доверительной вероятности P 0,95 и N 5, из таблицы Стьюдента получаем 2,8. Систематическая ошибка определяется классом точности прибора и ошибкой, связанной с конечной скоростью реакции человека, которую можно принять равной 0,1 с. В нашем случае непосредственно приборной ошибкой секундомера можно пре- небречь по сравнению с этой величиной и считать систематиче- скую ошибку равной 𝛥𝑇 сист 0,01 с (поскольку измеряется вре- мя не одного, а десяти колебаний), а полную ошибку рассчитать по формуле: ∆𝑇 = √(𝛥𝑇 сист ) 2 + (∆𝑇 случ ) 2 2. Рассчитать и занести в таблицу 4 относительные ошибки определения величин 𝑇, 𝑚 и 𝑑. ∆𝑚 и ∆𝑑 соответствуют точности указанного значения 𝑚 и погрешности измерительной линейки. Таблица 4 Положение оси вращения ∆𝑇 𝑇 ∆𝑚 𝑚 ∆𝑑 𝑑 𝐼 𝐼, кг м 2 (метод колебаний) I кг м 2 (метод приведенной длины) Призма 1 Призма 2 3. Рассчитать максимальную абсолютную ошибку определе- ния момента инерции по формуле 8 ∆𝐼 = 𝐼 ∙ √( ∆𝑚 𝑚 ) 2 + ( 2∆𝑇 𝑇 ) 2 + ( ∆𝑑 𝑑 ) 2 Результаты определения момента инерции с указанием абсо- лютной ошибки занести в таблицу 4. Примечание. Значения величин g и известны с большей точностью, и, следовательно, относительные ошибки, вносимые округлением этих величин, могут быть сделаны как угодно ма- лыми, т. е. заведомо меньшими, чем ошибки измерения осталь- ных величин m, d, T. Практически это означает, что при вычислениях значения g и можно принять равными 9,81 м/с 2 и 3,14 соответственно. Контрольные вопросы 1. Дайте определение гармонических колебаний. 2. Что называется математическим маятником, физическим ма- ятником? 3. Что называется приведенной длиной физического маятника? 4. Как выводиться формула периода колебаний физического маятника? 5. Найдите момент инерции физического маятника, используе- мого в данной работе, относительно оси, проходящей через центр масс. Список литературы 1. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х томах. – Т. 1. Механика. Молекулярная физика. – М.: Лань, 2016. – 432 с. 2. Яворский Б.М, Детлаф А.А. Курс физики. – М.: Изда- тельский центр «Академия», 2015. – 720 с. 3. Трофимова Т.И. Фирсов А.В. Курс физики в 2-х томах. – Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Элек- тродинамика – М.: Кнорус, 2015. – 584 с. 4. Андреев А.И., Селезнёв В.А., Тимофеев Ю.П. Вводное занятие в лабораториях кафедры физики / Под ред. проф. В.А. Никитенко. Методические указания. – М.: МИИТ, 2017. – 40 с. |