Методические указания ЛР07. Изучить математическое описание дискретных сигналов и овладеть программными средствами их моделирования в matlab. 1

• Название: Изучить математическое описание дискретных сигналов и овладеть программными средствами их моделирования в matlab. 1
• Анкор: metod lr07
• Дата: 14.05.2021
• Размер: 160.53 Kb.
• Имя файла: Методические указания ЛР07.pdf
• Тип: Документы; #204905

Глава 7. Дискретныесигналы
Цельработы:
изучить математическое описание дискретных сигналов и овладеть программными средствами их моделирования в MATLAB.
7.1. Краткаятеоретическаясправка
Дискретным называют сигнал, дискретный по времени и непрерывный по состоянию (уровню), который описывается последовательностью чисел бесконечной разрядности
(
)
x nT
или
( )
x n
, называемой коротко последовательностью.
В теории ЦОС термины "дискретныйсигнал" и "последовательность" употребляют в тождественном смысле.
При компьютерном моделировании под дискретнымсигналом условно понимают последовательность чисел максимально возможной разрядности, а под цифровым — последовательность чисел заданной разрядности.
В MATLAB числа с максимальной разрядностью относятся к типу double
, который выбирается по умолчанию.
7.1.1. Детерминированныедискретныесигналы
Детерминированнымдискретнымсигналом называют сигнал, значения которого в любой момент времени n (или nT ) заранее известны или могут быть определены точно по заданной математической модели.
Детерминированный дискретный сигнал описывается последовательностью (
)
x nT
или ( )
x n
, при этом термин "детерминированной" принято опускать.
Для детерминированного дискретного сигнала (последовательности) представляют интерес такие его характеристики как среднее значение, энергия, средняя мощность, автокорреляционная и автоковариационная функции.
Среднимзначением последовательности называют сумму ее значений, отнесенную к длине.
Энергией последовательности называют сумму квадратов ее значений, а средней мощностью — энергию, отнесенную к длине последовательности.
В MATLAB среднее значение
M
вычисляется с помощью функции:
M = mean(x)
где x
— вектор отсчетов последовательности.
Энергия
E
и средняя мощность
P
вычисляются согласно их определению:
E = sum(x.^2)

P = sum(x.^2)/length(x)
где length(x)
— длина последовательности.
Автокорреляционная функция (АКФ
1
)
( )
x
R m
последовательности длины N позволяет оценить зависимость между ее отсчетами при различных сдвигах по времени m :
| | 1 0
1
( )
( ) (
),
(
1)
(
1)
N
m
x
n
R m
x n x n
m
N
m
N
N
−
−
=
=
+
−
−
≤
≤
−
∑
(7.1)
Автоковариационная функция
( )
x
r m
позволяет оценить зависимость между отклонениями отсчетов последовательности от среднего значения
x
µ при различных сдвигах по времени m :
| | 1 0
1
( )
[ ( )
][ (
)
],
(
1)
(
1)
N
m
x
x
x
n
r m
x n
x n
m
N
m
N
N
−
−
=
=
− µ
+
− µ
−
−
≤
≤
−
∑
(7.2)
Согласно определению,
( )
x
R m
(7.1) и
( )
x
r m
(7.2) являются четными функциями длины
2 1
L
N
=
− , центрированными относительно
0
m = :
( )
(
)
x
x
R m
R
m
=
−
;
( )
(
)
x
x
r m
r
m
=
−
При этом в точке
0
m = имеем:
1 2
2 2
ср
0 1
(0)
( )
N
x
x
n
x
x
R
x n
P
N
−
=
=
=
= σ + µ
∑
;
(7.3)
1 2
2 0
1
(0)
[ ( )
]
N
x
x
x
n
r
x n
N
−
=
=
− µ
= σ
∑
,
(7.4) где ср
x
P
и
2
x
σ — средняя мощность и дисперсия последовательности ( )
x n
Очевидно, что при
0
x
µ =
получаем равенства:
( )
( )
x
x
R m
r m
=
;
2
(0)
(0)
x
x
x
R
r
=
= σ .
В MATLAB АКФ и автоковариационная функция рассчитываются с помощью функций (без учета множителя 1 N ):
R = xcorr(x)
r = xcov(x)
1
В англоязычной литературе — аббревиатура ACF (Autocorrelation Function).

где x
— вектор отсчетов исходной последовательности длины N ;
R
и r
— векторы длины
2 1
L
N
=
− значений АКФ
( )
x
R m
и автоковариационной функции
( )
x
r m
, соответственно, центрированныхотносительно m
N
=
:
(
)
(
),
1, 2, ... ,
1
x
x
R N
m
R N
m
m
N
+
=
−
=
− ;
(7.5)
(
)
(
)
x
x
r N
m
r N
m
+
=
−
,
1, 2, ... ,
1
m
N
=
− .
(7.6)
При этом в точке m
N
=
имеем:
2 2
ср
( )
x
x
x
x
R N
P
=
= σ + µ ;
(7.7)
2
( )
x
x
r N = σ .
(7.8)
7.1.2. Случайныедискретныесигналы
Случайным(стохастическим)дискретнымсигналомназывают сигнал, значения которого в дискретные моменты времени n (или nT ) заранее неизвестны и могут быть определены лишь с некоторой вероятностью.
Случайный дискретный сигнал описывается совокупностью случайных последовательностей
( )
k
x n
,
1, 2, ... ,
k
K
=
,
0, 1, ... , (
1)
n
N
=
−
, и закономерностями, характеризующими свойства совокупности.
Описание случайного дискретного сигнала удобно представить в виде матрицы X :
1 1
1 1
2 2
2 2
(0)
(1)
( ) ...
(
1)
(0)
(1)
( ) ...
(
1)
(0)
(1) ...
( ) ...
(
1)
K
K
K
K
x
x
x n
x N
x
x
x n
x N
x
x
x
n
x
N
−




−


= 



−


X








Ансамблемреализаций называют совокупность случайных последовательностей
( )
k
x n
(строки матрицы X ), а реализацией — одну из последовательностей.
Любая реализация случайного сигнала представляет собой детерминированный сигнал.
Определение стационарности случайного сигнала см. в книге.
Стационарный случайный дискретный сигнал называется эргодическим, если при определении его статистических характеристик усреднение поансамблю реализаций эквивалентно усреднениюповремени одной реализации, теоретически бесконечной длины N → ∞ .
Эргодический случайный дискретный сигнал — случайнаяпоследовательность
( )
x n
— описывается математическим ожиданием (средним значением)
x
µ , дисперсией
2
x
σ , АКФ
( )
x
R m
и автоковариационной функцией
( )
x
r m
При конечной длине N последовательности говорят о вычислении их оценок:

1 0
1
€
( )
N
x
n
x n
N
−
=
µ =
∑
;
[
]
1 2
2 0
1
€
€
( )
N
x
x
n
x n
N
−
=
σ =
− µ
∑
Оценки АКФ
€ ( )
x
R m
и автоковариационной функции
€ ( )
x
r m
получают соответственно по формулам (7.1) и (7.2).
В MATLAB для вычисления оценок математического ожидания
M
и дисперсии
D
используются функции:
M = mean(x)
D = var(x)
где x
— вектор отсчетов исходной последовательности длины N .
При моделировании методов и алгоритмов ЦОС часто используют случайные последовательности в виде белого шума. Две его широко применяемые разновидности генерируются в MATLAB (см. табл. 2.1):

равномерный белый шум — последовательность случайных чисел из диапазона
[0;1] , распределенных по равномерному закону (математическое ожидание —
0,5 и дисперсия — 1/12) — с помощью функции:
x = rand(1,N)
где x
— вектор-строка отсчетов случайной последовательности длины
N
Автоковариационная функция данного равномерного белого шума при N → ∞ имеет вид цифровогоединичногоимпульса;

нормальный белый шум — последовательность случайных чисел, распределенных по нормальному закону (математическое ожидание — 0 и дисперсия — 1) — с помощью функции:
x = randn(1,N)
АКФ данного нормального белого шума при N → ∞ имеет вид цифрового единичногоимпульса.
Для моделирования нормального белого шума с заданными математическим ожиданием (средним значением) и дисперсией воспользуемся свойствами дисперсии { }
D X
и математического ожидания
{ }
M X
случайной величины X :
{
}
{ }
M X
C
M X
C
+
=
+
;
{
}
{ }
{ }
{ }
D X
C
D X
D C
D X
+
=
+
=
;
{
}
{ }
M BX
BM X
=
;
2
{
}
{ }
D BX
B D X
=
, где C , B — константы.

Таким образом, на основе случайной величины X с нулевым математическим ожиданием
{ }
0
M X =
и единичной дисперсией
{ } 1
D X = можно получить случайную величину X
 :
X
BX
C
=
+

(7.9) с математическим ожиданием
{ }
M X
C
=

и дисперсией
2
{ }
D X
B
=

7.3. Заданиеналабораторнуюработу
Заданиеналабораторнуюработу связано с моделированием и анализом последовательностей и включает в себя следующие пункты:
1.
Цифровой единичный импульс
0
(
)
u nT
(идентификатор u0
):
0 1,
0;
(
)
0,
0
n
u nT
n
=

=

≠

(7.10) с выводом графиков на интервале дискретного времени nT (идентификатор nT
):
[0; (
1) ]
nT
N
T
∈
−
(7.11) и дискретного нормированного времени n (идентификатор n
):
[0; (
1)]
n
N
∈
−
(7.12)
Пояснить:
•
взаимосвязь между дискретным и дискретным нормированным временем;
•
различие между цифровым единичным импульсом и дельта-функцией.
2.
Цифровой единичный скачок
1
(
)
u nT
(идентификатор u1
):
1 1,
0;
(
)
0,
0
n
u nT
n
≥

=

<

(7.13) с выводом графиков на интервалах времени (7.11) и (7.12).
Пояснить:
•
соответствие между цифровым и аналоговым единичными скачками;
•
чему равна частота дискретизации цифрового единичного скачка.
3.
Дискретная экспонента
1
(
)
x nT
(идентификатор x1
):
1
,
0;
(
)
0,
0
n
a
n
x nT
n

≥

=

<

(7.14) с выводом графиков на интервалах времени (7.11) и (7.12).
Пояснить соответствие между дискретной и аналоговой экспонентами.

4.
Дискретный комплексный гармонический сигнал
2
( )
x n
(идентификатор x2
):
0
€
2
( )
j
n
x n
Ce
ω
=
(7.15) с выводом графиков вещественной и мнимой частей на интервале времени
(7.12).
Записать сигнал
(7.15) в виде комбинации двух вещественных последовательностей.
5.
Задержанные последовательности.
Вывести графики последовательностей (7.10), (7.13) и (7.14), задержанных на m отсчетов (идентификаторы u0_m
,
u1_m и x1_m
), на интервале времени (7.12).
Записать формулы задержанных последовательностей.
6.
Дискретный прямоугольный импульс
3
( )
x n
:
0 0
3
,
(
1);
( )
0,
иначе
imp
U
n
n
n
n
x n
≤
≤
+
−

=


(7.16) с выводом графика на интервале времени (7.12).
Выполнить моделирование импульса двумя способами:
•
с помощью функции rectpuls
— идентификатор x3_1
;
•
на основе цифрового единичного скачка — идентификатор x3_2
Пояснить:
•
формат функции rectpuls
(познакомиться самостоятельно);
•
как выполняется моделирование импульса в обоих случаях.
7.
Дискретный треугольный импульс.
Вывести график дискретного треугольного импульса
4
( )
x n
(идентификатор x4
), сформированного посредством свертки дискретного прямоугольного импульса
3
( )
x n
(7.16) с самим собой, на интервале времени, равном длине свертки L :
[0; (
1)]
n
L
∈
−
(7.17)
Для вычисления свертки использовать функцию:
conv(x,y)
где x
, y
— сворачиваемые последовательности.
Привести аналитическую запись свертки. Определить теоретически и по графику длину свертки L и ширину треугольного импульса.
8.
Линейная комбинация дискретных гармонических сигналов
5
( )
x n
(идентификатор x5
):
5 1
2 3
( )
1( )
2( )
3( )
x n
a x n
a x
n
a x n
=
+
+
,
(7.18)

где
€
( )
sin(
),
1, 2, 3
i
i
xi n
B
n i
=
ω
=
,
(7.19) с выводом графиков последовательностей
( )
xi n
и
5
( )
x n
на интервале времени
[0; (5 1)]
n
N
∈
−
(7.20)
Вычислить среднее значение (идентификатор mean_x5
), энергию (идентификатор
E
) и среднюю мощность (идентификатор
P
) последовательности (7.18).
Пояснить:
•
операции при моделировании линейной комбинации сигналов (7.18);
•
как определяют указанные характеристики.
9.
Дискретный гармонический сигнал с экспоненциальной огибающей.
Вывести график дискретного сигнала
6
( )
x n
(идентификатор x6
), представляющего собой дискретный гармонический сигнал
( )
x n
(идентификатор x
)
0
€
( )
sin(
)
x n
C
n
=
ω
(7.21) с экспоненциальной огибающей
n
a
, на интервале времени (7.12).
Привести аналитическую формулу дискретного сигнала
6
( )
x n
и пояснить операции при его моделировании.
10.
Периодическая последовательность дискретных прямоугольных импульсов.
Вывести график пяти периодов периодической последовательность
7
( )
x n
(идентификатор x7
) дискретных прямоугольных импульсов амплитуды U и длительности
imp
n
с периодом, вдвое большим длительности импульса.
Для формирования пяти периодов последовательности выполнить действия:
•
на основе цифрового единичного скачка (7.13) сформировать один период последовательности (идентификатор xp
);
•
сформировать пять периодов последовательности с помощью функции repmat
(см. разд. 2.1.2).
Пояснить операции при моделировании периодической последовательности.
11.
Равномерный белый шум.
Вычислить оценки математического ожидания (идентификатор mean_uniform
) и дисперсии
(идентификатор var_uniform
) равномерного белого шума
(идентификатор r_uniform
) длины 10 000 с математическим ожиданием и дисперсией, установленными по умолчанию.
Вывести график оценки автоковариационной функции
€ ( )
x
r m
шума
(идентификатор r_r_uniform
), центрированной относительно
0
m = .

Пояснить:
•
чему равны истинные значения математического ожидания и дисперсии;
•
каков вид истинной автоковариационной функции;
•
чему равна длина оценки автоковариационной функции.
12.
Нормальный белый шум.
Вычислить оценки математического ожидания (идентификатор mean_norm
) и дисперсии
(идентификатор var_norm
) нормального белого шума
(идентификатор r_uniform
) длины 10 000 с математическим ожиданием и дисперсией, установленными по умолчанию.
Вывести график оценки АКФ
€ ( )
x
R m
шума (идентификатор
R_r_norm
), центрированной относительно
0
m = .
Пояснить:
•
чему равны истинные значения математического ожидания и дисперсии;
•
каков вид истинной АКФ;
•
чему равна длина оценки АКФ.
13.
Аддитивная смесь
8
( )
x n
(идентификатор x8
) дискретного гармонического сигнала
( )
x n
(7.21) с нормальным белым шумом с выводом графика на интервале времени (7.12).
Пояснить, что понимают под аддитивной смесью сигнала с шумом.
14.
Оценка АКФ € ( )
x
R m
(идентификатор
R
) последовательности
8
( )
x n
(см. п. 13) с выводом графика АКФ, центрированной относительно
0
m = .
Вывести оценку дисперсии последовательности
8
( )
x n
и значение
( )
x
R N
Пояснить:
•
свойства АКФ;
•
соответствие между выведенными значениями.
15.
Нормальный белый шум с заданными статистическими характеристиками.
С помощью функции plot вывести графики четырех разновидностей нормального белого шума длины 10 000:
•
с математическим ожиданием и дисперсией, установленными по умолчанию, — идентификатор шума r_norm
(см. п. 12);
•
с математическим ожиданием mean и дисперсией, установленной по умолчанию, — идентификатор шума r_normMean
;
•
с математическим ожиданием, установленным по умолчанию, и дисперсией var — идентификатор шума r_normVar
;

•
с математическим ожиданием mean и дисперсией var — идентификатор шума r_normMeanVar
Для наглядности вывести графики шумов в одинаковом диапазоне по оси ординат
[-MAX MAX]
с помощью функции ylim
, где
MAX
равно максимальному значению шума среди четырех его разновидностей.
Построить гистограммы четырех разновидностей нормального белого шума с помощью функции hist
(параметры задать по умолчанию).
Для наглядности вывести гистограммы в одинаковом диапазоне по оси абсцисс
[-MAX MAX]
с помощью функции xlim
, где значение
MAX
определено ранее.
В заголовке гистограмм вывести значения оценок математического ожидания
(
Mean value
) и дисперсии (
Variance
).
Пояснить:
•
к каким изменениям шума приводит изменение его математического ожидания и дисперсии;
•
что отображает гистограмма и как она изменяется при изменении математического ожидания и дисперсии шума.
7.4. Типовой script-файлдлявыполнения лабораторнойработы
Перед выполнением работы должна быть представлена табл. 7.1 исходных данных для своего номера бригады бр
N
Для запуска лабораторной работы необходимо обратиться к script-файлу lr_07
по его имени:
>> lr_07
Для принудительногоснятия script-файла с выполнения следует нажать комбинацию клавиш +.
При выполнении script-файла текущие окна с графиками незакрывать.