вар 4. 1. Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем
![]()
|
1.Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем ещё называют непрерывной цепью Маркова. Пусть имеется ряд дискретных состояний ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определим для любого момента времени ![]() ![]() и рассмотрим элементарный промежуток времени ![]() ![]() ![]() Назовем плотностью вероятности перехода ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если все плотности вероятностей перехода ![]() ![]() Пометим каждую стрелку графа состояний соответствующей плотностью вероятностей перехода. Такой граф называют размеченным графом состояний. Покажем, что, зная размеченный граф состояний, можно определить вероятность состояний ![]() Пример: Система ![]() ![]() ![]() Найдем вероятность ![]() Это событие может произойти двумя способами: В момент времени ![]() ![]() ![]() ![]() В момент времени ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применяя правило сложения вероятностей, получим: ![]() или ![]() Таким образом, выведено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция ![]() Рассуждая аналогично, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова: ![]() Заметим, что всегда справедливо: ![]() Таким образом, при ![]() ![]() 2.Циклический процесс Марковский случайный процесс, протекающий в системе, называется циклическим, если состояния связаны между собой в кольцо с односторонними переходами. ![]() Алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний имеют следующий вид: ![]() Решая эти уравнения, получим: ![]() После элементарных преобразований ![]() ![]() то есть финальные вероятности состояний в циклической схеме относятся как средние времена пребывания системы в каждом из состояний. 3.Процесс “Гибели и размножения” Марковская непрерывная цепь называется процессом «гибели и размножения», если её граф состояний имеет следующий вид: ![]() Происхождение термина «схема гибели и размножения» ведёт начало от биологических задач, где подобной схемой описывается процесс изменения численности популяции. Рассмотрим случайный процесс «гибели и размножения». Для него справедлива следующая система алгебраических уравнений: ![]() и нормированное уравнение ![]() Решая эту систему, получим: ![]() В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивности) ![]() ![]() ![]() ![]() Из нормировочного условия получим: ![]() 4. СМО типа M/M/m Входной поток требований подчинен закону Пуассона. Время обслуживания подчинено показательному закону. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Когда число требований в системе меньше числа обслуживающих устройств ( ![]() ![]() Когда число требований в системе больше числа обслуживающих устройств ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В силу ординарности входного потока и потока обслуживания получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим возможные случаи появления события ![]() В момент ![]() ![]() ![]() Тогда при ![]() ![]() а при ![]() ![]() В момент времени ![]() ![]() ![]() Тогда при ![]() ![]() а при ![]() ![]() В момент времени ![]() ![]() ![]() Тогда при ![]() ![]() а при ![]() ![]() Вероятность ![]() Для случая ![]() ![]() ![]() Для случая ![]() ![]() Эти формулы справедливы для ![]() Для случая ![]() В момент времени ![]() ![]() ![]() В момент времени ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, получено, что СМО типа M/M/m в установившемся режиме описывается системой уравнений: ![]() Методом математической индукции можно доказать: для ![]() ![]() для ![]() ![]() ![]() Доказательство: Для ![]() ![]() ![]() ![]() Предположим: для ![]() ![]() ![]() для ![]() ![]() ![]() Тогда для ![]() ![]() Для ![]() ![]() что и требовалось доказать. Алгебраические уравнения (3) позволяют представить систему M/M/m в виде следующего графа: ![]() Тогда ![]() ![]() где ![]() ![]() так как ![]() ![]() Вычислим среднее число требований в очереди: ![]() ![]() Обозначим ![]() ![]() Но ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим среднее число требований в обслуживающем устройстве: ![]() (В G/G/m ![]() Таким образом, для системы M/M/m получено: ![]() ![]() 6. Многоканальная СМО с ограниченным ожиданием M/M/m/k Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой. S0 – все каналы свободны S1 – занят один канал, остальные свободны --- Sm+1 – заняты все m каналов, одна заявка в очереди --- Sm+k – заняты все m каналов, k заявок в очереди ![]() Выражения для предельных вероятностей состояний будут выглядеть: ![]() Найдем некоторые характеристики обслуживания: Pотк=pm+kq=1-PоткA= ![]() Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени; вся СМО за это время обслуживает A заявок. Среднее число занятых каналов: V=A/= ![]() Среднее число заявок в очереди: ![]() |