Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей
![]()
|
ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формулы Бейеса.
Найдем вероятность суммы событий ![]() ![]() Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей: ![]() Пример 1. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение . Искомое событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше ![]() Решение. События “очередной будет продана пара обуви меньше ![]() ![]() ![]() поскольку ![]() Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что хорошо видно на следующем примере. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления). Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления: ![]() 2. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Различают зависимые и независимые события. Два события называется независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не связанные между собой, то остановки этих линий являются независимыми событиями. Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления “герба” в первом испытании (событие ![]() ![]() ![]() ![]() Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации остальных. События называются зависимыми, если одно из них изменяет вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события ![]() ![]() ![]() ![]() Условие независимости события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. В ящике находятся ![]() Решение. Обозначим через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, вероятность события ![]() ![]() 3. Формулы умножения вероятностей. Пусть события ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: ![]() Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.: ![]() Пример 5. Имеется три ящика, содержащих по ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: ![]() ![]() Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Пример 6. В урне находится ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании равна ![]() Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность равна ![]() Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором - черный, равна ![]() Искомая вероятность равна ![]() ![]() 4. Формула полной вероятности. Теорема 2.5. Если событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эта формула носит название формулы полной вероятности. Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков неодинакова. Первый дает ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Обозначим через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Искомая вероятность равна: ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Формулы Бейеса. Формулы Бейеса применяются при решении практических задач, когда событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Раскрывая в этом равенстве ![]() ![]() Пример 8. Пользуясь данными примера 7, рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная на первом, втором и третьем станках соответственно, если узел сходящий с конвейера, годный. Решение. Расчет условных вероятностей произведем по формуле Бейеса. Имеем: для первого станка ![]() для второго станка ![]() для третьего станка ![]() ЗАДАЧИ 1. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: ![]() ![]() Ответ: независимы. 2. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: ![]() ![]() Ответ: зависимы. 3. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно ? Ответ: 2/3. 4. В ящике лежат ![]() ![]() ![]() Ответ: 48/95. 5. В одном ящике ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 7/9. 6. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна ![]() Ответ: (0,95)3=0,857375. 7. В ящике ![]() ![]() Ответ: 0,5. 8. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным ![]() ![]() Ответ: 0,6. 9. Студент пришел на зачет, зная из ![]() ![]() Ответ: 28/29. 10. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 13/30. 11. В цехе работают ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 83%. 12. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или последним ? Ответ: безразлично. 13. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный ? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной ? Ответ: а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345. |