|
|
Комбинаториканың элеметтерін оқытудың оқу- әдістемелік құралын ә. Жобалы Жмыс таырыбы Комбинаториканы элементтерін оытуды оудістемелік ралын зірлеу Пн атауы
Есеп 1. 25 адамнан тұратын топты неше тәсілмен 6, 9 және 10 адамнан болатын сәйкес A, В және C топтарына бөлуге болады?
Шешуі: Мұндағы  ,  ,  Мұндай бөлулер саны
 .
«Комбинаторика» тақырыбын оқыту барысында келесідей қадамдарды ұсынуға болады: негізгі жиынның элементтерінің санын есептеу; таңдамаға кіретін элементтердің санын есептеу; таңдаманың қайталамалы не қайталанбайтындығын тексеру; таңдаманың реттелген не реттелмеген тексеру; есеп шығару барысында таңдамалар санын есептеу қажет пе соны анықтап алу; сәйкесінше, формулаларды қолданып есептеу.
Комбинаторикалық есептерді дұрыс шығару керекті комбинациялар санын іздейтін формуланы білу және дүрыс таңдау керек. Оған келесі схема көмектеседі:
Формуланы таңдау
|
Қосымша элементтердің орналасу реті ескеріледі ме?
 
Барлық элементтер қосылысқа енеді ме?
Иә жоқ
  Иә жоқ
Алмастырулар
(қайталанбайтын)
Орналастырулар
(қайталанбайтын)
Терулер
(қайталанбайтын)
|
|
2.2 Комбинаторика есептерін шығару
Қарастырылған әдістердің және комбинаторика формулаларының есептер шығаруда қолдануларын көрсетейік.
Есеп 1. Сыныпта 30 оқушы. Старостаны, оның орынбасарын және информаторды таңдау керек. Осыны таңдаудың ұанша тәсілі бар?
Шешуі: Старостаға 30 оқушының кез келгенін алуға, орынбасарға қалған 29 оқушының кез келгенін алуға болады, ал информаторға қалған 28 оқушының кез келгенін алуға болады, яғни  Көбейту ережесі бойынша старостаны, оның орынбасарын және информаторды таңдау тәсілдерінің жалпы саны N тең болады.
Есеп 2. Жәшікте 100 тетік бар, олардың 30 тетігі 1-ші сұрыпты, 50 тетігі 2-ші сұрыпты, қалғаны 3-ші сұрыпты. Жәшіктен 1-ші немесе 2-ші сұрыпты тетікті алудың қанша тәсілі бар?
Шешуі: 1-ші сұрыпты тетік  тәсілмен, 2-ші сұрыпты тетік  тәсілмен алуға болады. Қосу ережесі бойынша 1-ші немесе 2-ші сұрыпты тетік алудың  тәсілі бар.
Есеп 3. Конкурсқа 5 комбинация бойынша 10 кинофильм қатысады. Егер барлық номинациялар бойынша әртүрлі сыйлықтар берілетін болса, сыйлықтарды берудің неше нұсқасы табылады?
Шешуі: Нұсқалардың әрқайсысы 10 фильмінің бесеуіне сыйлықтарды үлестірудің комбинацияларынан тұрады. Олардың әрқайсысы басқа комбинациялардан құрамы бойынша да, сол сияқты реті бойынша да өзгеше болады. Әрбір фильм сыйлықты бір номинация, сол сияқты бірнеше номинация бойынша да алуы мүмкін, онда фильмдер қайталануы мүмкін. Сондықтан мұндай комбинациялар саны 10 элементтен 5 элемент бойынша қайталабалы орналастырулар санына тең: 
Есеп 4. Шахмат турниріне қатысушылар 16 адам. Кез келген 2 қатысушының арасында бір партия ойналуы керек болса, турнирде неше партия ойналынады?
Шешуі: Әрбір партия 16 қатысушының екеуімен ойналады және басқалардан қатысушы парлар құрамымен өзгеше болады, яғни 16 элементтен екі элемент бойынша теру болады, олардың саны
Есеп 5. 3- ші есеп бойынша барлық номинацияларға бірдей сыйлықтар берілсе, сыйлықтарды үлестірудің неше нұсқасы табылатынын анықтаймыз.
Шешуі: Егер әрбір номинация бойынша бірдей сыйлық болса, онда 5 сыйлықтың комбинациясындағы фильмдер ретінің маңызы жоқ. Нұсқалар саны 10 элементтен 5 элемент бойынша қайталанбалы теру болады:  2002.
Есеп 6. 6, 2, 5 цифрларын қолданып, неше екі таңбалы сан құрауға болады?
Шешуі: Екі таңбалы сандарда цифрлар қайталанады, онда ондық және бірлік цифрларының әрқайсысын 3 тәсілмен таңдауға болады.
Екі таңбалы санды таңдау көбейту ережесі бойынша 3 тәсілмен жүргіземіз. Егер есепті іріктеу әдісімен шешсек, онда жазылуында цифрлар қайталанбайтын алты 62, 65, 26, 25, 56, 52 сандарына тағыда 66, 22, 55 сандары қосылады.
Есеп 7. 2, 5, 6 цифрларын қолданып, 1000- нан кіші неше натурал сан жазуға болады?
Шешуі: 1000- нан кіші натурал сандар бір таңбалы, екі таңбалы және үш таңбалы сандар болады. 2, 5, 6 цифрларын қолданып, осы сандардың әр түрінен қанша құрауға болатынын есептейміз және оларды қосамыз. Бір таңбалы сандар- 3, екі таңбалы сандар- 9, үш таңбалы-  . 1000- нан кіші натурал сандар саны:  .
Осы нәтижені алған соң сан жазылуындағы цифрлар қайталанбайтын болғанда нәтиже өзгереді ме деген сұраққа жауап берейік. Осыны ескерген бір таңбалы сандар 3, екі таңбалы сандар 6, үш таңбалы сандар 6. 1000- нан кіші 2, 5, 6 цифрларынан құралған натурал сандар саны: 
Бұдан басқа 2, 5, 6 цифрларын қолданып, 1000- нан кіші неше тақ натурал сан жазуға болатынын табуға болады? Берілген цифрлармен келесі тақ сандарды жазамыз: 1 бір таңбалы сан, 3 екі таңбалы сан және 9 үш таңбалы сан.
1000- нан кіші 2, 5, 6 цифрларынан құралған барлық тақ натурал саны: 13  ).
Есеп 8. Маржан бес әртүрлі кітап сатып алғысы келеді, бірақ оның ақшасы кез келген үш кітапқа ғана жетеді. Маржан бес кітаптан үш кітапты неше тәсілмен таңдайды?
Шешеуі: 1- ші тәсіл: 1). Маржан бес кітаптың кез келген біреуін, сосын алған кітаптардан екіншісін, үшіншісін таңдайды деп талқылаймыз. Оның бірінші кітапты таңдаудың 5 тәсілі бар, сосын екінші кітапты 4, үшінші кітапты 3 тәсілмен таңдайды: барлығы  нұсқа.
2). Осы 60 нұсқаның ішінде қайталанатындары бар. Мысалы кітаптардың нөмірлері 1, 2, 3, 4, 5 болсын. Онда кітаптардың және жиынтықтары бірдей.
3). Үш саннан алмастырулар санын табайық: бірінші орында үш санның кез келгені, екінші орында- қалған екі санның кез келгені, үшінші орында қалған бір ғана сан: барлығы  нұсқа.
Бұл дегеніміз әрбір теру 1- ші пунктте 6 рет есептелінеді, сондықтан кітаптардан әртүрлі терулер 6 есе аз, 
ші пункте 6 рет есептелген терулер арасында бірдейлер барын ұмыту мүмкін, сонда дұрыс емес жауап 60.
Қайталанатын комбинацияларды дұрыс емес есептеу, 60- ты таңдалған кітаптар санына бөлу (дұрыс емес жауап 20).
Шешуі: 2- ші тәсіл: (комбинаторика формулалары бойынша):
1). Бізге 5 объектіден 3- ін таңдау керек, таңдау реті маңызды емес- әртүрлі терулер керек.
2). Терулер санын есептеу формуласы бойынша бірден табамыз:
 
Есеп 9. а) Асылханның бояулары шексіз көп және ол әрбір шыршаны тек бір ғана түспен бояу керек. Сонда бес шыршаны қанша тәсілмен ақ, жасыл және көк түске бояйды?
ә) Арманның бір- бірден бес түрлі гүлі бар: раушан, жауқазын, қалампыр, қызғалдақ, геран. Бір қызға бір гүлден бергісі келсе, бес қызға неше тәсілмен гүлдерді береді?
б) Ал егер бір қызға бірнеше гүл беруге болса, бес қызға неше тәсілмен гүлдерді береді?
Шешеуі: а) Бес шыршаның әрқайсысын үш түстің біреуімен бояуға болады, сонда барлық әртүрлі тәсілдер: 
ә) Бірінші қызға бес гүлдің кез келгенін береді, екінші қызға қалған төрт гүлдің біреуін және т.т. Барлығы:  тәсіл.
б) Гүлдердің әрқайсысын кез келген қызға беруі мүмкін, сонда барлығы  тәсіл.
Есеп 10. Тиынды үш рет лақтырды. Сонда елтаңба және сан жағымен түсетіннің әртүрлі қанша тізбегін алуға болады?
Шешеуі: тізбегі.
Есеп 11.  шаршы кестесінің әрбір торын қара немесе ақ түске бояуға болады. Осы кестені бояудың неше әртүрлі тәсілі бар?
Шешеуі:  бояу түрі.
Есеп 12. Би алаңында N жігіт және N қыз жүр. Кезекті биге қатысу үшін оларды қанша тәсілмен парлауға болады?
Шешуі: Қыздарға «бекітеміз». Сонда парларға бөлу жігіттерді алмастырумен анықталады. N! Тәсілмен.
Есеп 13. Шахмат бойынша Қазақстан чемпионаты бір айнымалымен жүргізіледі. 20 шахматшы қатысса, неше партия ойналынады?
Шешеуі: Бірінші әдіс: әрбір қатысушы 19 партия, бір партияны екуі ойнайды. Сондықтан барлық партиялар: 
Екінші әдіс: әрбір партияда бір ұпай ойналынады. Барлық партиялар тең болды деп ұйғарайық. Сонда әрбір қатысушы 19:2 ұпай жинайды. Барлық ұпайлар- партиялар: 20 190.
Үшінші әдіс: Партиялар саны қатысушылардың парлар санына тең:  . Жауабы: 190 партия.
Есеп 14. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзуде жатпайтын 10 нүкте белгіленген. Төбелері осы нүктелерде болатын қанша үшбұрыш табылады?
Шешуі: үш нүкте бір комбинация құрайды, нүктелердің орналасу реті роль атқармайды. Үш нүктенің құрамында өзгешілік болу керек.
Есеп 15. АРАЙ сөзінің әріптері 4 карточкаға жазылған. Осы 4 карточкаға 4 әріптен тұратын қанша әртүрлі сөз құрауға болады?
Шешуі: А әрпі 2 карточкада, қалған Р, Й әріптері бірден. 4 әріптен жасалған қайталамалы алмастыру: 
ҚОРЫТЫНДЫ
|
Элементтердің қандай да бір комбинациялары туралы сөз болғандықтан оларды комбинаторикалық есептер деп атайды. Комбинаторика – берілген элементтерден қандай да бір шарттарға бағынатын қанша әртүрлі комбинацияларды құруға болатын сұрақтарды оқытатын математика бөлімі. «комбинаторика» атауы латын сөзі «combina» дан шығады, аударғанда - «теру», «біріктіру». Элементтердің таңдалған топтары комбинациялар деп аталады. Егер комбинацияның барлық элементтері әртүрлі болса, онда қайталанбайтын комбинация, ал бірдей элементтері болса, қайталанбалы комбинация аламыз.
Комбинаторика бұл дискретті объектілерді, жиындарды және олардың арасындағы қатынастарды зерттейтін математиканың бір бөлімі болып табылады. Комбинаторика математиканың көп салаларымен, геометрия және ықтималдықтар теориясымен тығыз байланысты, информатика мен статистикалық физика салаларында кеңінен қолданады. «Комбинаторика» терминін 1666 жылы Лейбниц енгізген. Комбинаторика (латын тілінде combino- жалғастырамын) комбинаторикалық анализ деп те аталады. Комбинаторикалық анализ ол комбинаторикалық математика, комбинаторика- математиканың кезкелген шектеулі жиын бөліктерінің орналастыруымен өзара орналасуына байланысты мәселелерін зерттейтін бөлімі.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
|
|
|
|
Логикалық сұрақтар, есептер, ойындар мен құрастырмалар. Рамазан Омаров.- Алматы: Өлке.- 2012. – 320 бет.
А.В. Фраков Математические олимпиады. 5- 11 классы.- Илекса. Москва.- 2012.- с.192.
Жанасбаева Ұ.Б., жанасбаев Ж.Б. Логикалық есептер.- Алматы, 2015.- 127 бет.
Қызықты математика. 5- 6 сыныптар- Алматы, 2014.- 123бет.
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Қ. Бектаев.- Алматы.- Рауан, 1991.
Математиканы тереңдетіп оқытатын мектептер үшін «Комбинаторика есептері». Г.Нұрсұлтанова.- 2004.
|
|
|
|
Скачать 2.38 Mb.