Комбинаториканың элеметтерін оқытудың оқу- әдістемелік құралын ә. Жобалы Жмыс таырыбы Комбинаториканы элементтерін оытуды оудістемелік ралын зірлеу Пн атауы

• Название: Жобалы Жмыс таырыбы Комбинаториканы элементтерін оытуды оудістемелік ралын зірлеу Пн атауы
• Дата: 21.06.2022
• Размер: 2.38 Mb.
• Имя файла: Комбинаториканың элеметтерін оқытудың оқу- әдістемелік құралын ә.doc
• Тип: Документы; #607094
• страница: 3 из 4

Жауабы: 28.

Есеп 2. Салтанат, Ұлас, Шынар, Айдана, Таңат, Берік және Ертас Наурыз мейрамындағы мәдени шараға жүргізуші болуға дайындалды. Жүргізушілер бір жігіт және бір қыз болу керек болса, барлық мүмкін нұсқаларды атаңыз.

Шешуі: Кесте құрамыз: сол жақты бірінші баған- қыздар аттарының бас әрпі, жоғары жақты бірінші жол- ұлдар аттарының бас әрпі.

	Т	Б	Е
С	СТ	СБ	СЕ
Ұ	ҰТ	ҰБ	ҰЕ
Ш	ШТ	ШБ	ШЕ
А	АТ	АБ	АЕ

Жауабы: Барлық мүмкін нұсқалар кестеде көрсетілген, 12 нұсқа.


Көбейту ережесі

Комбинаторикалық есептерді шешудің бұл әдісі барлық мүмкін нұсқаларды атаудың қажеті болмағанда, «олардың қаншасы табылады?» деген сұраққа жауап беретін кезде қолданылады.

Есеп 1: Футбол турнирінде бірнеше команда қатысты. Олардың барлығының аяқ киімдері мен футболкалары ақ, қызыл, көк немесе жасыл түсті, барлық мүмкін нұсқалар бар. Турнирге неше команда қатысты?

Шешуі: Аяқ киімдер ақ, қызыл, көк немесе жасыл түсті болады,яғни 4 нұсқа табылады. Осылардың әрқайсысымен футболканың 4 түсі сәйкестенеді. 4*4=16. Жауабы: 16 команда.

Есеп 2: Математикадан 5 оқушы сынақ тапсырып жатыр. Тізімде оларды қанша тәсілмен жазуға болады?

Шешуі: Тізімді бірінші болып 5 оқушының кез келгені, екінші қалған төрт оқушының кез келгені, үшінші қалған 3, төртінші қалған 2 оқушының кез келгені, бесінші – соңғы оқушы болуы мүмкін. Сонда 5*4*3*2*1=120 тәсіл.

Есеп 3: 0,2,3,4,6,7 цифрларынан қанша жұп екі таңбалы сан құруға болады?

Шешуі: Екі таңбалы санның бірінші цифры бесеу (0 цифры санның бірінші цифры бола алмайды), екінші цифры төрт цифр (0,2,4,6, себебі сан жұп болу керек). Сонда 5*4=20 Жауабы:20 сан.

Есеп 4: Іскерлік кездесуден соң мамандар бір-бірімен визиттік карточкаларын алмастырды. Кездесуден 6 маман болса, қанша карточка қолдан қолға ауысты?

Шешуі: 6 маманның әрқайсысы басқа 5 маманға 5 карточка берді. Сонда барлығы 6*5=30 карточка. Жауабы:30 карточка.

Кейбір есептерді іріктеу әдісімен де комбинаторика формулаларымен де шығаруға болады. Жоғары сынып оқушылары комбинаторика формулалары мен ережелерін білгені дұрыс.

Егер әрбір қадамда таңдаудың мүмкін нұсқалар саны белгілі болса, онда нұсқалардың жалпы санын есептеу үшін осы сандардың барлығын көбейту керек.

Мысалы: Екі таңбалы санды бірінші цифрды 9 тәсілмен (0 болмайды), ал екінші цифрды 10 тәсілмен таңдайды. Сондықтан екі таңбалы сандар саны 9*10=90.

Егер керекті барлық комбинацияларды ортақ элементтері жок бірнеше топқа бөлсек және нұсқалардың жалпы санын есептегенде әрбір топтағы нұсқалар санын есептеп,барлық нұсқалар санын қосу керек.

Мысалы: 5-пен аяқталатын 9*10=90 және 2-мен аяқталатын 9*10=90 үш таңбалы сан бар, сондықтан 2-мен немесе 5-пен аяқталатын 90+90=180 үш таңбалы сан бар.

Егер топтардың ортақ элементтері болса, онда олардың санын табылған қосындыдан шегеру керек.

Мысалы: 5-пен аяқталатын 9*10=90 үш таңбалы сан және 5-тен басталған 10*10=100 үш таңбалы сан бар. Екі топқа да 5-пен аяқталатын және 5-пен басталатын сандар кіреді, олардың саны 10, сондықтан 5-пен басталатын немесе 5-пен аяқталатын үш таңбалы сандар саны: 90+100-10=180.
Ⅱ Комбинаторика элеметтерін пайдаланып есептер шығару

2.1 Комбинаторика формулалары

Қосу және көбейту ережелері- комбинаторикалық есептердің шешудің жалпы ережесі. Бұлардан басқа комбинаторикада комбинациялардың жиі кездесетін жеке түрлерінің санын санауға формулалар қолданылады. Олардың кейбіреулерін қарастырайық. Келесі есептерде қандай комбинаторикалық комбинациялар екенін талдайық:

1. 
   Екі таңбалы сандардың барлығы қанша?
   
2. 
   Жазылуында цифрлар қайталанбайтын неше екі таңбалы сан бар?
   
3. 
   Түзуден 10 нүкте белгіленген. Осы нүктелер шеткі нүктелері болатын қанша кесінді салынады?
   

Бірінші есепте екі таңбалы сан 10 цифрдан құрылады, санның жазылуында цифрлар қайталануы мүмкін. Он элементтен қайталанбалы екі элемент бойынша реттелген жиынтық жөнінде сөз болып тұр. Комбинаторикада мұндай кортеждерді қайталанбалы орналастырулар деп атаймыз.

Екінші есепте де 10 элементтен құрылған ұзындығы 2- ге тең жиынтықты қарастырамыз, бірақ олар да элементтер қайталанбайды. Мұндай кортеждерді қайталанбайтын орналастырулар деп атаймыз.

Үшінші есептегі комбинаторикалық қосылыстың сипаты басқаша. Алдыңғы есептерде элементтердің орналасу реті роль атқарса, ал үшінші есепте орналасу реті маңызды емес. Екі бірдей элементтен құралған комбинация қарастырылмайды. Бұл есептегі комбинациялар берілген 10 элементтен құралған екі элементтік ішкі жиындар. Комбинаторикада мұндай ішкі жиындарды қайталанбайтын терулер деп атаймыз.
Терулер

Әртүрлі n элементтен тұратын жиын берілсін яғни жиын элементтерінің аттары әртүрлі немесе нөмерлері әртүрлі. _{ }

Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен k элемент бойынша қайталанбайтын терулер деп әрқайсысы бір- бірінен элементтерінің құрама юойынша өзгеше болатын комбинацияларды айтады. Терулерде элементтерінің орналасуы маңызды емес.

Треулердің жалпы саны _{ }, k_{ } формуласымен анықтаймыз. k=n- ге барлық элементтер жиыны сәйкес келеді. Мұндағы n!=1_{ }, n!- «эн факториал» деп оқимыз. 1- ден n- ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісін айтамыз. 0!=1 деп қабылданған.

Есеп 1. Дорбада 8 қызыл, 7 ақ және 5 көк асық бар. Дорбадан кездейсоқ бесеуі қызыл, үшеуі ақ болатын 8 асықты неше әртүрлі тәсілмен алуға болады?

Шешуі: Алынған 8 асықтың 5- уі қызыл және 3- уі ақ болуы екі әрекеттен тұрады. 1- ші әрекет: 5 қызыл асықты 8 қызыл асықтан аламыз:

_{ } 2- ші әрекет:3 ақ асықты 7ақ асықтан аламыз: _{ } Көбейту ережесі бойынша: _{ }.

Есеп 2. 6 дос кездескенде олар бір бірімен қол алысып амандасты. Барлығы қанша қол алысу болды?

Шешуі: Бір қол алысуда екі адам теңқұқылы қатысады. 6 дос орналасу ретінсіз 2- ден топтарға біріктірілді. Мұндай таңдама- теру.

Терулер саны: _{ } Жауабы: 15.

Есеп 3. Ән айту үйірмесінде 10 адам қатысады. Екі әншіні таңдау қажет. Осыны қанша тәсілмен жасауға болады?

Шешуі. Екі әнші теңқұқылы. 10 әншіден топ құрайтын 2 адамды таңдағанда олардың реті қызықтырмайды. 10- нан 2 бойынша теру санын анықтаймыз: : _{ } Жауабы: 45.

Элементтердің k тобы болсын, топтың ішіндегі элементтердің бір- бірінен өзгешелігі жоқ, ал әртүрлі таптардың элементтері өзгеше. Барлық элементтер жиынтығынан n элементтен тұратын ішкі жиын аламыз. Бұл ішкі жиын 1- ші топтан алынған элементтер санымен, 2- ші топтан алынған элементтер санымен және т.т анықтаймыз. Бұл сандар 0- ден n- ге дейінгі мәндерді қабылдайды және олардың қосындысы n- ге тең.

n- элементті жиынды құрудың әртүрлі тәсілдерінің саны қайталанбалытерулер санын табу формуласымен табылады.

Анықтама: Берілген n элементтен k элемент бойынша қайталанбалы терулер деп бір- бірінен құрамы бойынша өзгешеленетін комбинацияларды айтамыз. Мұнда бір элемент комбинацияға бірнеше рет кіруі мүмкін.

Қайталанбалы терулер саны _{ }.

Есеп 4. Поштада марканың 8 түрі бар. Айман 12 марканы неше әртүрлі тәсілмен сатып алуға болады?

Шешуі: Марканың 8 түрі бар. Әр түрдегі маркалар өзгеше, ал бір түрдегі маркалар өзгеше емес. Сонымен, n_{ } топ. Сатып алынатын12 марка, k_{ } элементтен ішкі жиын құрайды. Бұл жиын сатып алынған1- ші, 2- ші, ..., 8- ші түрдегі маркалар санымен анықтаймыз. Бұл 8 сан да бүтін, теріс емес, олардың қосындысы12- ге тең. Сондықтан маркаларды сатып алудың тәсілдерінің саны қайталанбалы теруге тең.

_{ }.


Орналастырулар

Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен k элемент бойынша қайталанбайтын орналастырулар деп әрқайсысы бір-бірінен не құрамындағы элементтермен, не элементтердің орналасу ретімен өзгеше болатын комбинацияларды айтады.

Орналастырулардың жалпы саны:

_{ }

формуласымен анықталады.

Әртүрлі ретпен орналасқан бірдей элементтерден тұратын екі комбинацияны әртүрлі деп есептейді.

Есеп 1. 9 оқушыдан 3 оқушыны Астанаға, Мәскеуге, Лондонға жіберу керек. Осы оқушыларды таңдаудың неше түрлі тәсілі бар?

Шешуі: n=9 әртүрлі элементтер-оқушылар. Қалаларға кететін оқушылар үшеу, k=3. Элементтердің құрамында да, орналасу ретінде де өзгешелік болу керек. 9 элементтен 3 элемент бойынша қайталанбайтын орналастырулар саны:

_{ }

Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен k элемент бойынша қайталанбалы орналастырулар деп белгілі бір ретпен жазылған k элементтен тұратын комбинацияларды айтамыз. Мұнда әрбір элемент комбинацияға бірнеше рет кіруі мүмкін.

Қайталанбалы орналастырудың жалпы саны _{ } формуласымен анықтаймыз.

Есеп 2. Қонақ үйінде 5 бөлме бос тұр. Келген үш кісіні бөлмелерге орналастырудың неше әртүрлі тәсілі бар?

Шешуі: n=3 адамды k=5 бөлмеге қайталанбалы орналастыру керек.

_{ }

Есеп 3. Құпия құлып 4 ұяшықтан тұрады, олардың әрқайсысына 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрларының бірін таңдайды. Шифрды таңдаудың әртүрлі неше нұсқасы бар?

Шешуі: Әрбір ұяшыққа 10 цифрдың бірін басқаларға тәуелсіз 10 тәсілмен таңдауға болады. Көбейту ережесін қолданамыз:

_{ } Жауабы: 10000.

Есеп 4. 7 және 3 цифрлары көмегімен неше әртүрлі үш таңбалы сан құрауға болады?

Шешуі. Екі цифрдан құралатын үш таңбалы санда цифрлар қайталанады, сондықтан қайталанбалы орналастырулар формуласын қолданамыз. Таңдама үшін элементтер саны n_{ } цифр, бір элементтің мүмкін қайталануыныңсаны k_{ } рет. Үш таңбалы санда бір цифр үш рет қайталанады, мысалы 333. Нұсқалар саны: _{ } Басқаша да шығаруға болады: 2 цифрдың бірін таңдауды 2 тәсілмен жүргіземіз, сонда _{ }

Жауабы: 8.
Алмастырулар

Анықтама. Берілген n элементтен n элемент бойынша қайталанбайтын алмастырулар деп, әрқайсысы бір-бірінен тек элементтерінің орналасу ретінде өзгеше болаты комбинацияларды айтады.

Алмастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады:

_{ }

Есеп 1. Ән конкурсындағы 7 қатысушының орындау реті жеребемен анықталады. Жеребе тартуда неше әртүрлі нұсқа болуы мүмкін?

Шешуі: Жеребе тартудың әрбір нұсқасы конкурсқа қатысушылардың ретімен ғана өзгешеленеді, яғни 7 элементтің орналасуында.

Олардың саны: _{ }.

Есеп 2. 2, 5, 7 фифрлары көмегімен неше әртүрлі бөлшек құруға болады? Санның алымында және бөлімінде ғана бірдей цифрлар емес, цифрлар қайталанбайды. Айталанатын болса, есептің мағанасы болмайды. _{ }, _{ }, _{ }, _{ } және т.т. Мұндай нұсқалар шексіз көп. «Цифрларды қолданып» деген мәтінді бірмәнді емес түсінетінімізді байқаймыз: барлық үш цифрды немесе олардан цифрларды таңдау арқылы қолданамыз. Жалпы жағдайы- таңдауды қарастырамыз. Таңдама екі цифрдан аз бола алмайды, себебі алымы мен бөліміне жету керек. Бөлшектер дұрыс және бұрыс болады. Сонда _{ }, _{ }, _{ } түріндегі бөлшектер болуы мүмкін. Мұндағы *- берілген цифрлардың біреуінің орны белгіленген. Бөлшектің әрбір түрі үшін нұсқаулар санын санаймыз, содан кейін қосу ережесі бойынша қосамыз.

_{ } жағдайы 3- тен 2- еу бойынша орналастырулармен анықтаймыз, себебі берілген цифрлардың барлығын қолданбаймыз және орналасу реті маңызды. _{ 
 } жағдайы 3- тен жасалған алмастырумен анықтаймыз, себебі мұндай бөлшек үшін берілген цифрлардың барлығын қолданамыз. Бөлшектер цифрлардың позицияда орналасуымен ғана өзгешеленеді.


_{ } жағыдай алдыңғы жағдайдағыдай, 3- тен жасалған алмастырумен анықтаймыз: _{ }

Нұсқаларының жалпы саны: 6 + 6 + 6_{ }.

Алмастырудың, орналастырудың және терулердің сандарын есептеудің формулаларының арасындағыбайланыс:

_{ }.

_{ } элемент берілсін. Осы элементтерді k топқа бөлейік. Әрбір топтағы элементтер өзара бірдей, ал әртүрлі топтағы элементтер бір- бірінен өзгеше. Енді әрбір топтағы элементтер санын сәйкес _{ },_{ },…, _{ } арқылы белгілейміз, сонда _{ }+_{ }+…+ _{ } орындалады.

_{ } n элементтен k элемент бойынша қайталанбалы алмастырулар деп n элементтен тұратын комбинациялардыайтамыз. Қайталанбалы алмастырулар саны: _{   }, _{ } формуласымен анықтаймыз.