Элементы дискретной математики. К. Д. Ушинского Элементы дискретной математики Ярославль, 2005 па. Корнилов, ни. Никулина, Семенова О. Г. Элементы дискретной математики. Учебное пособие
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
k k n n n n n n n n n n C C C 2 1 2 1 1 − − − − ⋅ ⋅ ⋅ двумя способами. Сочетания с повторениями 87. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. · Сколькими способами можно купить 8 различных открыток · Сколькими способами можно купить 8 открыток · Сколькими способами можно купить 12 открыток · Сколькими способами можно купить 12 открыток, чтобы среди них оказались открытки 3 фиксированных типов · Сколькими способами можно купить 20 открыток, чтобы среди них были открытки всех типов 88. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7? 89. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10? 90. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? 91. Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2? 92. Сколько существует различных бросаний пяти одинаковых кубиков Разные задачи 93. Из двух спортивных обществ, насчитывающих пои бегунов соответственно, надо выбрать по одному бегуну для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор 94. На ферме есть 10 телят и 24 поросенка. Сколькими способами можно выбрать по одному теленку и поросенку А просто двух любых животных 52 95. В шахматном кружке занимаются 15 девочек и 20 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из двух человек, в которую обязательно должны входить одна девочка и один мальчик. Сколькими способами это можно сделать 96. У одного филателиста есть 5 марок для обмена, ау другого - 10. Сколькими способами они могут обменять марку одного на марку другого 97. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КАМЗОЛ 98. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиадах по пяти различным предметам, если известно, что все олимпиады проходят одновременно А если все олимпиады проходят в разное время 99. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиаде по математике 100. Сколько слов, содержащих по пяти букв каждое, можно составить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как пресс или ссора, не допускаются 101. Сколько вариантов итогов чемпионата по футболу из 20 команд, совпадающих в главном (то есть 3 призера и 4 вылетевшие команды 102. Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2? 103. Сколько существует десятизначных чисел, в которых пять цифр 1, три цифры 2 и две цифры 3? 104. Сколько слов можно составить из пяти букв Аи не более чем из трех букв Б 105. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум? 106. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи б) двух королей в) двух слонов г) двух коней д) двух ферзей 107. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано 108. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в 3 комнаты одно, двух- и четырехместную 109. На группу из 34 человек выделено две путевки в Сочи и Евпаторию. Сколькими способами можно распределить путевки Известно, что один человек не может получить две путевки сразу. 53 110. На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи, Евпаторию и Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу Если известно, что один человек может получить сразу несколько путевок. 111. На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу 112. На группу из 15 человек выделено 15 различных путевок. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу 113. На группу из 15 человек выделено 5 путевок в Сочи, 3 в Евпаторию ив Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу 114. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски 115. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране 116. Сколько диагоналей в выпуклом угольнике 117. В классе 30 человек. Сколько способов разбить класс на две группы ив каждой выбрать старосту 118. Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра 119. Сколько гирлянд можно составить и 5 красных шариков, 2 зеленых и 3 синих 120. Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеются хотя бы две одинаковые цифры 121. Сколько всего 6-значных чисел a) без единиц в записи. b) по крайней мере с одной единицей в записи. 122. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга 123. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция 124. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы а) среди них был ровно один туз б) ни одного туза в)среди них был хотя бы один туз 125. Сколько существует 6-значных чисел, у которых почетных и нечетных цифры 126. Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4? 54 127. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их 128. На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках 129. На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует а) треугольников б) четырехугольников с вершинами в этих точках 130. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки 131. Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из 5 слов 132. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских парно так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно 133. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе 134. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более 3 юношей 135. Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных 136. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4. 137. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом 138. Сколько способов выстроить в шеренгу 213 группу (25 человек А если ребята (9 человек) не стоят рядом 139. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом 140. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить леди Дженивьеру. Сколькими способами это можно сделать, если среди выбранных рыцарей не должно быть врагов 141. Сколькими способами можно переставить буквы слова обороноспособность так, чтобы никакие две буквы о не шли подряд 142. Сколькими способами можно переставить буквы слова каракули так, чтобы никакие две гласные не стояли подряд 55 143. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз Комбинаторика разбиений 144. Сколькими способами можно разделить 14 конфет Мишки на севере, 25 конфет Ласточка и 34 конфеты Буревестник между двумя детьми Тот же вопрос, если каждый ребенок должен получить хотя бы пять конфет каждого вида. 145. Пусть р, р, …, р – различные простые числа. Сколько делителей имеет число q=p1 a1 p2 a2 … pn an , где а, а, … an – некоторые натуральные числа 146. Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами 147. Сколькими способами можно разбить m+n+p различных предметов на 3 группы так, чтобы водной было m, в другой n, а в третьей p предметов. Порядок предметов в группе неважен. При игре в преферанс 32 карты делятся между 3 игроками по 10 карт каждому, а две карты остаются в прикуп. Найдите число различных сдач? 149. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование 150. Сколькими способами можно разбить 6 человек на две команды по 3 человека в каждой 151. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по 5 человек в каждой 152. Сколькими способами можно разбить 15 человек натри команды по 5 человек в каждой 153. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих натри бригады по 10 человек в каждой бригаде На 10 групп по 3 человека 154. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказалось двое мужчин и двое женщин 155. Даны к предметов. Рассматриваются всевозможные разбиения их на пары, причем разбиения, отличающиеся друг от друга только порядком внутри пари порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует различных таких разбиений 56 156. Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек 157. Сколькими способами из группы в 19 человек можно сформировать 7 коалиций по 2 человека и 1 коалицию из 5 человек 158. Скольким способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза 159. Сколькими различными способами можно разделить 20 различных книг на 4 бандероли по 5 книг в каждой 160. Сколькими различными способами можно разделить 19 различных книг на 3 бандероли по 5 книги бандероль в 4 книги 161. Сколькими различными способами можно разделить 19 различных книг на 3 бандероли по 2 книги, 3 бандероли по 3 книги и 1 бандероль в 4 книги 162. Сколькими различными способами можно разделить 19 одинаковых книг на 3 бандероли по 2 книги, 3 бандероли по 3 книги и 1 бандероль в 4 книги 163. Сколькими способами можно разделить 7 одинаковых конфет между 3 детьми Тот же вопрос, но каждый ребенок должен получить хотя бы одну конфету. 164. Сколькими способами можно разделить 7 различных конфет между 3 детьми Тот же вопрос, но каждый ребенок должен получить хотя бы одну конфету. 165. Сколькими способами можно разбить число 10 на 4 слагаемых Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. 166. Сколькими способами можно представить натуральное число n в виде 3 натуральных слагаемых. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. 167. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует заодно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение 168. Сколькими способами можно надеть пять различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец 169. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг 170. Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти различным пакетам, если ни один из пакетов не должен оказаться пустым 171. 7 студентов поехали кататься на лыжах в горы и остановились в маленьком отеле на 7 комнат. Считая, что каждый из них выбирает себе комнату наугад, найти вероятность того, что в двух комнатах окажется по два студента, водной сразу три, а остальные будут пусты. 172. Сколькими способами можно рассадить n вновь прибывших гостей среди m гостей, уже сидящих за круглым столом 173. Сколькими способами 15 одинаковых пирожков можно раздать пяти различным детям, если ни ребенок не должен остаться без пирожка 174. Сколькими способами можно разбить 15 различных предметов натри группы так, чтобы водной было 3, в другой 5, а в третьей 7 предметов. 175. Сколькими способами можно разбить 15 одинаковых предметов натри группы так, чтобы водной было 3, в другой 5, а в третьей 7 предметов. 176. В комнате 3 окна. Сколькими способами можно распределить по ним 7 цветочных горшков, если каждое окно может вместить все 7 горшков, если порядок цветов на окне важен Если порядок цветов на окне неважен. Сколькими способами можно распределить 10 различных конфет между 3 детьми 178. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми 179. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми, так чтобы у каждого было хотя бы по две конфеты 180. Сколькими способами можно распределить 10 различных конфет между 3 детьми, так чтобы первому досталось 2 конфеты, второму 3, третьему 5? 181. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми, так чтобы первому досталось 2 конфеты, второму 3, третьему 5? 182. Сколькими способами можно поставить 10 различных ваз на 3 полках 183. Сколькими способами можно поставить 10 одинаковых ваз на 3 полках, так чтобы ни одна полка не оказалась пустой 184. Сколькими способами можно повесить 10 различных елочных игрушек натри гирлянды 185. Сколькими способами можно разложить 5 пятаков и 7 двухрублевых монет в 2 кармана 186. Сколькими способами можно рассадить 5 вновь прибывших гостей среди 7 уже сидящих за круглым столом 187. Сколькими способами можно распределить 10 синих, 5 красных и 12 зеленых шаров между двумя детьми так, чтобы каждому ребенку досталось хотя бы по одному шару каждого цвета 188. 36 карт делятся между 4 игроками, по 6 каждому и 12 остаются в колоде. Найдите число различных сдач? 58 189. Сколькими способами можно повесить 7 различных елочных игрушек между 4 уже висящими на одной гирлянде Вероятность 190. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый. 191. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета. 192. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. 193. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад пять шаров. Найти вероятность того, что два шара будут белыми, а три черными. 194. Из урны, содержащей n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку 1, 2, …, n. 195. Та же урна, что ив предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров 1, 2, …, n. 196. 10 шаров раскладываются по 4 ящикам. Чему равна вероятность того, что в первом ящике окажется 1 шар, во втором – 2, в третьем – 3 ив четвертом 4, если все шары одинаковые Если все шары различны 197. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется ровно один валет и ровно одна дама. 198. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна дама. 199. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется ровно один валет и по крайней мере одна дама. 200. Из полной колоды карт выбирают три. Найти вероятность, что среди них окажется по крайней мере один валет и по крайней мере одна дама. 201. Студент выучил 15 вопросов из 38. В билете 2 вопроса. Найдете вероятность, что студенту достанется 1 знакомый и один незнакомый вопрос. 202. В магазине электротоваров партия лампочек состоит из 800 изделий. Из ни 30 лампочек некачественные. Выкупили лампочек. Какова вероятность, что ровно 3 из них окажутся некачественными 59 203. В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будут дефектными. 204. Найти вероятность того, что при вытаскивании трех карт из полной колоды в 52 карты получится комбинация тройка, семерка, туз. 205. При игре в кости бросаются 2 кости и выпавшие на верхних гранях очки складываются. Какова вероятность выбросить 12 очков 206. (Генуэзская лотерея В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея. Суть её заключается в следующем. Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить и билеты с двумя (амбо), тремя (терн, четырьмя (катерн) и пятью (квин) числами. Вдень розыгрыша лотереи из мешка, содержащего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у кого все числа на билете были среди вынутых. Выигрыш по обычному билету составлял кратную сумму стоимости билета, выигрыш на амбо был враз больше стоимости билета, на терн – враз, на катерн – враз, на квин – враз. Вычислите вероятность выигрыша в каждом случае. 207. Компания из 10 человек садится за стол. Какова вероятность, что Таня и Ваня будут сидеть вместе, если места распределяются путем жребия 208. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятность событий А – все вышли из лифта на четвертом этаже В – все вышли из лифта на одном этаже С – все вышли из лифта на разных этажах 209. В розыгрыше по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнования имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий А – все команды экстракласса попадут в одну и туже группу В – две команды экстракласса попадут в одну группу, а три в другую. 210. На бочонках лото написаны числа от 1 до n. Из этих n бочонков случайно выбираются два. Найти вероятности следующих событий А – на обоих бочонках написаны числа, меньшие, чем k (2 А – в каждой из пачек не окажется по два туза Вводной из пачек не будет ни одного туза, а в другой окажутся все четыре Сводной из пачек будет один туза в другой три. Бином Ньютона. Полиномиальная формула. 212. Раскрыть скобки (а+в) 5 , (3х+2у) 6 213. Найти коэффициент при х в выражении (х 214. Найти коэффициент при х в выражении (х 215. В выражении (x+2y) 10 раскрыли скобки и привели подобные члены. Какой коэффициент будет стоять при выражения x 4 y 6 216. Доказать с помощью треугольника Паскаля • свойство симметричности биноминальных коэффициентов • основное свойство биноминальных коэффициентов • свойство биноминальных коэффициентов |