Глава 2.
Разработка законов управления
В данной главе рассматриваются несколько способов приближенного решения задачи (1.17). В первом параграфе формируется пропорциональный и пропорционально-дифференциальный регулятор. Второй параграф посвящен построению регулятора на основе теории
H
, а в третьем параграфе рассматривается задача оптимального демпфирования колебаний подвески.
2.1.
Пропорциональный и пропорционально-
дифференциальный регуляторы
Пропорциональный регулятор (P-регулятор). Поставим целью построение P-регулятора, который переводит систему в нулевое положение равновесия по углам
s
и
s
, т.е. демпфирует колебания кузова по крену и тангажу.
Для выравнивания кузова при наезде на препятствия будем формировать закон управления вида
,
4 4
3 3
2 2
1 1
1
g
g
K
g
g
K
g
g
K
g
g
K
u
m
m
m
m
(2.1) где
4
,
1
,
i
K
i
– настраиваемые коэффициенты,
4
,
1
,
max
i
g
g
i
m
Для перевода системы в положение равновесия по углам
s
и
s
построим следующее управление:
m
m
m
m
p
g
z
g
z
g
z
g
z
K
u
4 3
2 1
0
,
(2.2)
16 где
p
K – искомая диагональная матрица регулятора, а
i
z
− координата, описывающая точку на кузове (рис. 1).
Тогда результирующее управление имеет вид:
1 0
u
u
u
Матрицу коэффициентов
p
K целесообразно искать в виде:
,
min arg max
u
K
Q
K
p
где
i
i
u
i
u
u
,
4
,
1
),
max(
max
i-ая компонента вектора
u
, а допустимое множество Q задается исходя из требуемого поведения исходной системы:
}
,
|
{
a
a
K
Q
s
s
(2.3)
Поиск диагональной матрицы
p
K будем осуществлять методом перебора по конечной сетке. При этом результирующее управление с учетом ограничений имеет вид:
4
,
1
,
,
,
|
|
,
,
,
0 0
0 0
0
'
i
u
u
если
u
u
u
если
u
u
u
если
u
u
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(2.4)
Пропорционально-дифференциальный регулятор (PD-регулятор). В предыдущем пункте был рассмотрен синтез управления лишь для демпфирования по углам крена и тангажа. Однако остался нерешенным вопрос демпфирования вертикальных отклонений кузова автомобиля.
Рассмотрим процедуру настройки PD-регулятора для решения этой задачи.
Пусть целью является стабилизация скорости частей кузова, соответствующих каждому из колес. Как было обозначено выше (рис. 1), эти части соответствуют компонентам
4
,
1
,
i
z
ri
. Формально требуется обеспечить выполнение условия
4
,
1
,
0
i
t
при
t
z
ri
17 Если перейти к уже определенным компонентам системы, то имеют место равенства (1.5). Сформируем закон управления в форме PD-регулятора следующего вида: 4 3 2 1 4 3 2 1 rrrrregrrrrregzzzzDzzzzKu (2.5) Здесь диагональные матрицы коэффициентов regK и regD будем искать экспериментально методом поиска по конечной сетке. 2.2.Вопросы построения H-регулятора Основная предпосылка использования H- регулятора состоит в том, чтобы минимизировать максимум амплитудно-частотной характеристики замкнутой динамической системы. То есть требуется построить такой регулятор, который являлся бы решением задачи минимизации: ΩKKH min , s(2.6) Здесь ) ( sΚ – передаточная матрица регулятора (1.13), – допустимое множество передаточных матриц регуляторов, обеспечивающих устойчивость замкнутой динамической системы. Представим систему (1.8) как линейную систему с блочной матрицей: 22 21 12 11 2 1 DDCDD0BBAP, (2.7) где A – матрица при векторе состояний, 1B и 2B – матрицы при векторе возмущения и управления соответственно; матрицы 22 21 D,D,D,D1211 – нулевые. Как было показано в [4], для того, чтобы построить H ∞ -контроллер
18 необходимо, чтобы пара
2
B
A,
являлась стабилизируемой, а пара
A
C,
– детектируемой. Чтобы выяснить, является ли система стабилизируемой и детектируемой, перейдем к канонической форме как описано в [10].
Поскольку
n
k
rank
B
A
AB,...,
B,
1
n
, выберем
k линейно- независимых векторов. После этого дополним систему до совокупности
n
линейно-независимых векторов.
Тем самым получим матрицу преобразования T .
Для системы (1.8) выполним преобразование координат
Tx
z
(2.8)
После подстановки (2.8) в (1.8) получится система следующего вида:
CTx
y
Gg
T
Bu
T
ATx
T
x
1 1
1
(2.9)
Как известно из теории управления, можно расписать структуру получившихся матриц:
2 1
1 1
1 1
2 3
1 1
,
,
,
C
C
C
0
G
G
T
0
B
B
T
A
0
A
A
AT
T
,
k
n
l
k
l
m
k
m
k
k
n
k
n
k
n
k
k
k
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
2 1
1 1
2 3
1
,
,
,
,
,
,
C
C
G
B
A
A
A
; в рассматриваемом случае
3.
=
4,
=
11,
=
,
14
l
m
k
n
Система является также не полностью наблюдаемой. Ненаблюдаемой переменной является
s
z
. Но так как ненаблюдаемая переменная уже содержится в неуправляемой части вектора состояния, то второе разбиение можно не проводить.
Полученные пары
1 1
,
B
A
и
1 1
,
A
C
являются полностью управляемой и полностью наблюдаемой соответственно.
Система после преобразования примет окончательный вид:
19
,
,
2 2
1 1
2 2
2 1
1 2
3 1
1 1
g
D
x
C
x
C
y
x
A
x
g
u
G
B
x
A
x
A
x
(2.10)
Поскольку матрица
2
A
– гурвицева, то неуправляемая часть системы
(2.10) является асимптотически устойчивой. Отсюда следует, что возможно подобрать стабилизирующее управление [5]. В результате, на основе уравнений
(2.10), было установлено, что неуправляемыми, но стабилизируемыми компонентами являются
s
s
s
z
,
,
В [4] было рассмотрено построение H
∞
-контроллера. В данной работе синтез H
∞
-регулятора выполняется с использованием стандартных методов пакета MATLAB.
2.3.
Демпфирование колебаний подвески
Пусть задана управляемая система:
Cx
y
Gg
Bu
Ax
x
(2.11)
Пусть задана начальная точка
0
x и момент времени
0
t
. Тогда каждому управлению
U
u
отвечает движение
),
,
,
,
,
(
0 0
t
t
x
g
u
x
x
(2.12) проходящее через точку
0
x
при
0
t
t
. Пусть S – некоторая поверхность в пространстве переменных
n
x
x
t
,...,
,
1
задаваемая уравнением
0
,...,
,
1
n
x
x
t
S
Задача управления состоит в наискорейшем достижении поверхности S .
Пусть задана функция
n
x
x
t
V
,...,
,
1
, характеризующая расстояние от движущейся точки до желаемого конечного состояния на поверхности S .
20
Целью управления является уменьшение этого расстояния.
Необходимо вычислить значение функции V на движении (2.12) и найти полную производную по t от полученной функции. Получается
u
x,
,
1
t
W
f
x
V
t
V
dt
dV
n
s
s
s
(2.13)
Поскольку демпфирование проводится по переменным
s
s
s
z
,
,
, то будем формировать функцию V в следующем виде
s
s
s
z
V
V
,
,
Пусть функцией V является евклидова норма:
2 3
2 2
2 1
s
s
s
a
a
z
a
V
(2.14) где числовые параметры
3 2
1
,
,
a
a
a
– это неотрицательные весовые коэффициенты при переменных
s
s
s
z
,
,
Поскольку функция (2.14) характеризует степень близости компонент
s
s
s
z
,
,
к нулю, то введем некоторую малую окрестность нулевого положения равновесия по указанным компонентам. Это нужно для того, чтобы можно было отключить управление при выполнении ограничения
2 3
2 2
2 1
s
s
s
a
a
z
a
(2.15)
Далее, необходимо найти управление
c
u , которое минимизирует (2.13).
Для этого следует выписать функцию
u
x,
,
t
W
в явном виде:
g
G
u
B
z
A
z
V
a
g
G
u
B
z
A
z
V
a
g
G
u
B
z
A
z
V
z
a
W
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
z
z
z
s
s
s
s
)
,
,
(
*
*
)
,
,
(
)
,
,
(
3 2
1
(2.16)
От управления в (2.16) зависят только строки матрицы B из (1.9), соответствующие компонентам
s
s
s
z
,
,
. Поэтому остальные слагаемые можно опустить, поскольку они не будут влиять на искомое решение.
После тривиальных преобразований, получим:
21
4 1
3 2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
i
i
s
s
s
s
i
s
s
s
s
i
z
s
s
s
s
i
s
s
s
B
z
V
a
B
z
V
a
B
z
V
z
a
u
W
(2.17)
Индексы в
i
i
i
z
s
s
s
B
B
B
,
,
обозначают i-ую компоненту рассматриваемых строк.
Тогда, искомый закон управления, с учетом ограничений (2.3) и с учетом структуры (2.17), имеет вид:
4
,
1
,
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
0 3
2 1
i
u
B
z
V
a
B
z
V
a
B
z
V
z
a
sign
u
i
s
s
s
s
i
s
s
s
s
i
z
s
s
s
s
c
i
s
s
s
(2.18)
22
Глава 3
.
Программный комплекс
3.1.
Имитационное моделирование подвески в среде
MATLAB/Simulink
Модель в системе Simulink состоит из набора связанных между собой блоков. В данной модели присутствует блок («Suspension model»), который описывает модель подвески (1.7), а также содержится блок, производящий генерацию дорожного профиля («Disturbances»). На рис. 5 представлена модель пассивной подвески автомобиля.
Рис. 5. Модель пассивной подвески автомобиля.
Также будет рассматриваться Simulink-модель, соответствующая управляемой системе. На рис. 6 представлены управляемая («Active model») и неуправляемая модели («Passive model»). Структура данной модели будет одинаковой для всех видов законов управления. Изменения могут происходить в блоке, соответствующему конкретному закону управления.
23
Рис. 6. Модели активной и пассивной подвесок.
3.2.
Реализация законов управления
Пропорциональный регулятор. Как было установлено в (2.1), для устойчивости кузова целесообразно в качестве
i
K
выбирать значения жесткостей пружин.
Оптимальный коэффициент
p
K из (2.2) был установлен как
1000
=
K
p
На рис. 7 и 8 представлены траектории компонет
s
s
s
z
,
,
Рис. 7. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели.
24 Рис. 8. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели. Из рисунков видно, что для обоих случаев корпус автомобиля резко отвечает на наезжаемые препятствия, однако для угловых скоростей в управляемой модели картина выглядит лучше: демпфирование по крену и тангажу улучшилось. Уменьшился также процесс демпфирования движения по времени, по сравнению с неуправляемым случаем. Рисунок 9. График величин сигналов управления при использовании пропорционального регулятора.
25
PD-регулятор. Основной момент – это нахождение
reg
K
и
reg
D из (2.5).
При варьировании коэффициентов по конечной сетке в диапазоне параметров
[-10 6
,10 6
], было установлено оптимальное значение коэффициентов. Они равны соответственно
10 0
0 0
0 10 0
0 0
0 10 0
0 0
0 10
,
10 0
0 0
0 10 0
0 0
0 10 0
0 0
0 10 2
2 2
2 5
5 5
5
reg
reg
D
K
Рис. 10. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели.
Рис. 11. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
26
Рис. 12. График величин сигналов управления при использовании пропорционально-дифференциального регулятора.
При использовании данного регулятора улучшились показания как по вертикальной скорости смещения, так и по крену и тангажу. Можно заметить, что демпфирование по углам в управляемой модели уменьшилась на полсекунды, но пришлось пожертвовать демпфированием по скорости вертикального смещения. Но это выглядит не так плохо, поскольку в момент
2
=
t
секунды стремится малыми колебаниями к нулю, однако в неуправляемой модели наблюдается перерегулирование.
H
∞
-регулятор. Как было сказано ранее, благодаря [4], имеется возможность построения H
∞
-контроллера, решающего задачу (2.6).
Если сравнивать H
∞
-регулятор с P- и PD-регуляторами, то можно заметить некоторые различия. H
∞
-регулятор демпфирует одновременно по всем требуемым переменным, когда в двух последних регуляторах порой происходит усиление одного(нескольких) из сигналов за счет уменьшения сигнала других(другого).
27
Рис. 13. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели.
Рис. 14. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
В моделировании управления на базе используемого регулятора было учтено ограничение по управлению. Можно увидеть на рис. 15 , что в интервале времени [1,1.5] секунды происходит наезд на препятствия. В этот промежуток подвеска смягчается. В интервале [1.5,2] секунды происходит съезд с препятствий, а соответствующее этому временному промежутку
28 управление делает подвеску жестче, чтобы наискорейшим образом демпфировать кузов.
Отработка актуаторов изображена на рис. 15.
Рис. 15. График величин сигналов управления при использовании
H
∞
-регулятора.
Демпфирование колебаний кузова. Из структуры формулы (2.18) видно, что управление может принимать только три значения.
Рис. 16. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели.
29
Рис. 17. График изменения вертикальной скорости центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
Значение
из (2.15) было взято в качестве
0,015
=
Рис. 18. График величин сигналов управления.
Управление (2.18) является импульсным. Для актуаторов этот аспект несет разрушительный характер - за короткий промежуток времени им придется менять состояние в широком диапазоне значений. Другой аспект –
30 это произвольность подбора функции расстояния V . В работе [6] были представлены результаты моделирования при использовании LQR-регулятора. Функция внешних возмущений в работе представлена в виде (3.1). иначеttatg0 75 0 5 0 8 cos 1 (3.1) При использовании пропорционального регулятора получаются следующие траектории движения кузова (рис. 19) и (рис. 20). Рис. 19. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели.
31
Рис. 20. График изменения вертикальной ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
Использование пропорционально-дифференциального регулятора.
Моделирование автомобильной подвески при использовании данного регулятора показывает хорошее демпфирование по всем трем рассматриваемым компонентам.
Рис. 21. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели при использовании пропорционального регулятора.
Сходимость к положению равновесия по сравнению с неуправляемой
32 моделью происходит заметно быстрее (рис. 21 и рис.22).
Рис. 22. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
Рис. 23. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели при использовании пропорционально-дифференциального регулятора.
Использование H
∞
-регулятора. В результате моделирования было замечено демпфирование по всем трем переменным, но в меньшей степени
33 по сравнению с пропорционально-дифференциальным регулятором.
Замечено, что демпфирование по тангажу лучше в неуправляемом случае
(рис. 23 и рис. 24).
Рисунок 24. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
Использование регулятора, реализующего демпфирование кузова автомобиля. Как оказалось, худший результат выявлен при моделировании с использованием регулятора, реализующего демпфирование кузова (рис. 25).
Модель при использовании регулятора ведет себя очень резко на наезжаемые неровности: наблюдается усиление входного сигнала. Поскольку возмущения имеют широкий спектр значений, необходимо функцию V(x)
(2.14) и значение
(2.15) настраивать под ограниченный диапазон значений возмущения.
34
Рис. 25. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае управляемой модели при использовании регулятора, реализующего демпфирование колебаний кузова.
Как видно из двух серий экспериментов, лучший результат показал пропорционально-дифференциальный регулятор. После него можно отметить
H
∞
-регулятор, а последнюю позицию делят между собой пропорциональный регулятор и регулятор, реализующий демпфирование кузова.
В целом, сравнивая полученные результаты с представленными в работе [6], можно заметить, что разработанные пропорционально- дифференциальный регулятор и H
∞
-регулятор обладают более лучшими демпфирующими свойствами относительно LQR-регулятора.
35
Рис. 26. График изменения вертикального ускорения центра масс, крена и тангажа кузова в случае неуправляемой модели.
Пропорционально-дифференциальный и H
∞
-регулятор являются более универсальными. Два оставшихся регулятора качественно демпфируют при небольших частотах по входному возмущению.
36 ВыводыПри выполнении работы были получены следующие результаты: 1. разработана математическая модель продольной динамики автомобильной подвески; 2. синтезированы пропорциональный и пропорционально- дифференциальный регуляторы; 3. построен регулятор, демпфирующий колебания кузова; 4. рассмотрен вопрос о построении H ∞ -регулятора; 5. проведено сравнение результатов имитационного моделирования при использовании регуляторов, построенных в данной работе, с иными результатами, имеющимися по данной тематике; В будущем предполагается рассмотреть модель в более детальном виде: отрыв колеса от поверхности, учет изменения скорости движения и учет физики поворота.
37
Список литературы
1. H. Imine, Y. Delanne, N.K. M’Sirdi. Road profile input estimation in vehicle dynamics simulation // Vehicle System Dynamics: International Journal of
Vehicle Mechanics and Mobility, 2006, 44:4, P. 285-303.
2. Sam Y.M., Ghani M.R.A and Ahmad, N. LQR Controller for Active Car
Suspension // IEEE Control System. 2000. P. 1441-1444 3. Shariati A., Taghirad H.D. & Fatehi A. Decentralized Robust H-∞ Controller
Design for a Full Car Active Suspension System Control. University of Bath,
United Kingdom. 2004, ID-216, P. 1-5.
4. John C. Doyle, Keith Glover, Pramod P. Khargonekar, Bruce A. Francis. State-
Space Solutions to Standard H
2
and H
∞
Control Problems.// IEEE Transactions on automatic control, vol. 34. No 8. August 1989, P. 831-847.
5. Anantha Karthikeyan and Michael G. Safonov. Simplified Matrix Pencil All-
Solutions H
∞
Controller Formulae.// SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration, Vol. 1, No. 2, March 2008, P. 1-6.
6. Rosheila Binti Darus. Modeling and control of active suspension for a full car model. A project report submitted in partial fulfillment of the requirements for the award of the degree of Master of Engineering (Electrical – Mechatronics and Automatic Control). 2008.
7. В.И. Зубов. Лекции по теории управления. Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975, стр. 127-130.
8. Н.Н. Бухгольц. Основной курс теоретической механики (часть первая).
Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 486 стр.
9. MATLAB function “hinfsyn”. http://mathworks.com/help/robust/ref/hinfsyn.html
10. P.E. Moraal, J.W. Grizzle. Asymptotic Observes for Detectable and Poorly
Observable Systems. //Proceedings of the 34
th
Conference on Decision &
Control New Orleans, WA04, LA - December 1995, P. 1-7.
|
Скачать 0.74 Mb.