ывыв. Война с ОДЗ. Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось, конечно же, не сразу, а прошло долгий путь развития
 Скачать 27.42 Kb.
|
|
Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось, конечно же, не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе Пьера Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (опубликованной в 1679 году) сказано: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». Как можно догадаться, здесь ведётся речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости между двумя переменными величины. Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако сам термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 году у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696 года) термин «функция» не употребляется. Первое определение функции, близкое к современному, встречается у И. Бернулли (в 1718 году): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. В итоге я пришёл к определению ОДЗ для функции. Областью определения (допустимых значений) функции Y называется совокупность значений независимой переменной X, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента). Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III века) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых с помощью составления уравнений. Есть в ней такая задача: «Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96». Чтобы обезопасить себя от решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой, и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + x и 10 - x (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100 - х2 = 96, для которого подходил только положительный корень 2. Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V века нашей эры. Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 — 850 года). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались лишь положительные корни уравнений. В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739 года) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них: «Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колик оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»? В древневавилонских текстах (3000 — 2000 лет до нашей эры) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих уравнения второй степени. Вот одна из них: «Площади двух своих квадратов я сложил: 25 . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5». Соответствующая система в современной записи имеет вид: Данную задачу вавилонский автор решает правильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще не пользовался алгебраической символикой. И только в XVII веке после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид. историю возникновения функции и неравенств?» Ответ очень прост. ОДЗ – это лишь следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях. ОДЗ в неравенствах и уравнениях. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств: Знания с 1 по 9 класс не позволяют мне производить деление на 0. «На 0 делить нельзя, так как на пустоту что-либо поделить невозможно», - говорили мне учителя в начальной школе. Решение иррациональных уравнений и неравенств:
Исследование. Я провёл исследовательскую работу для выяснения, как часто ученики учитывают ОДЗ при решении задач, уравнений, неравенств и т. д. Для этого я подобрал 4 задания и решил их сам, затем предложил их 35 девятиклассникам, в первых трёх из которых не обязательно было учитывать ОДЗ, а в четвёртом – обязательно. Целью исследовательской работы являлось доказательство того, что люди не уделяют должного внимания ОДЗ. Задания, предложенные девятиклассникам: 1) Из пункта А в пункт Б выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час вслед за ним в пункт Б выехал автомобиль, и через 4 часа догнал автобус в пункте Б (Приехали одновременно). Какая скорость у автомобиля? 2) (х+3)2+10=(х-2)2 3) 1/(х-2) = х-4 4) х-4= 2х+2 При проверке данных заданий я обнаружил, что решения можно разделить по некоторым критериям. Критерии отбора решений и количество входящих в них человек: Справились со всеми заданиями – 5 человек; написали ОДЗ в 4 задании, но допустили ошибку в 1 задании – 2 человека, в 2 примерах – 8 человек, в 3 примерах – 3 человека; Не писали ОДЗ в 4 примере – 17 человек. Основные ошибки: Забывают о своём ОДЗ (написали, но забыли учесть); Неправильно составили ОДЗ; Неправильно домножили уравнения; Не используют подходящие формулы сокращённого умножения; Путают знаки (*, +, -, :); Делают не все примеры; Забывают о смене знаков, при переносе через равно. И я пришёл к тому, что около половины учеников 9-х классов, к сожалению, не учитывали, либо неправильно записали ОДЗ в представленных заданиях, вследствие чего допустили ошибки. Далее я буду отталкиваясь от исследования аргументировать свои утверждения. Где встречается ОДЗ в реальной жизни. Мы, на самом деле, так часто встречаемся с условиями ОДЗ, что их просто не замечаем. Например, при покупке чего-либо; с определением действий, при различной температуре на улице. Пример №1 из исследования (задача) может быть моделью реальной ситуации, но слишком обобщённой (ни один автобус и ни одна машина не может всё время ездить с постоянной скоростью из-за различных факторов, таких как качество асфальта на дороге, углы и количество поворотов, количество бензина и др.). Вот более подходящий пример: Нам дали 200 рублей на корм коту, который стоит 18 рублей за пакетик, и буханку белого, по стоимости 24 рубля. Нужно рассчитать, сколько рублей мы потратим на корм. Возьмём за X – количество пакетиков с кормом. ОДЗ: х ≥ 0 x = (200-24)/18 x = 9 (остаток 14) Значит, мы купим 9 пакетиков корма с остатком равным 14 рублей, что соответствует нашему ОДЗ. Необязательность ОДЗ. Как я убедился на собственном опыте, ОДЗ, зачастую, необязательно указывать в примерах, хотя именно указание ОДЗ требуют задания в ОГЭ и ЕГЭ, иначе получишь меньше баллов. Это можно увидеть на примере 1 и 2 заданий из исследования. И действительно, при решении этих номеров мы замечаем, что область допустимых значений можно не указывать, так как её отсутствие никак не повлияет на ответ. Но очень часто в таких случаях хорошо сделанную работу оценивали на тройку. Поиски ОДЗ являются, зачастую, просто лишней работой, без которой спокойно можно обойтись. Тут можно привести массу других примеров. Они хорошо известны, и поэтому я их опускаю. Главным способом решения являются равносильные преобразования при переходе от одного уравнения к другому, то есть к более простому. Примеры-ловушки. Среди заданий, использующих уравнения или неравенства, есть задачи-ловушки (задания, в которых ОДЗ может сыграть над вами злую шутку). Известно, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, мы можем прийти к неверным решениям. Можно привести пример 3 и 4 заданий из исследовательской работы, но вот ещё 1 пример таких уравнений: x5 2x1 = х2 + 3. Из ОДЗ имеем х ≥ 5 (потому что подкоренное выражения не может быть отрицательным). Так как справа стоит положительное выражение, то x 5 2x 1 , а значит, x - 5 > 2x - 1. Решая последнее неравенство, получим x < -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет. Заключение. Подводя некоторый итог всей исследовательской работе, я с уверенностью могу сказать, что некоторые условия ОДЗ для уравнений и неравенств – схожи. ОДЗ, как я доказал, встречается в реальной жизни, притом очень часто; также я показал то, что универсального ответа на вопрос «обязательно ли указывать ОДЗ во всех примерах?» в школьном курсе нет. Также я доказал свою гипотезу, которая звучала так: «ОДЗ, в действительности, - это следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях». Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает вопрос: а какой способ решения лучше всего выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я полагаю, что в ходе своей работы частично ответил на этот вопрос. Причина учёта ОДЗ кажется очевидной, но люди всё равно будут противиться тому, чтобы лишний раз записать ОДЗ. И сколько бы ни было различных презентаций, пояснений в учебниках и объяснений со стороны учителей, война, не смотря ни на что, ещё не завершилась и даже не собирается завершаться, что и подтверждает актуальность и важность данной темы. Но я бы хотел посоветовать всем, всегда учитывать ОДЗ, так как сразу сказать, что в какой-то определённой задаче нет подвоха, удаётся далеко не всегда. Представленный мной доклад может использоваться не только учениками, но и педагогами для объяснения важности ОДЗ. |