как находится доверительный интервал. Как находится доверительный интервал(монте карло). Как находится доверительный интервал, внутри которого находится оценка интеграла с достаточной степенью уверенности

• Название: Как находится доверительный интервал, внутри которого находится оценка интеграла с достаточной степенью уверенности
• Анкор: как находится доверительный интервал
• Дата: 09.01.2022
• Размер: 1.3 Mb.
• Имя файла: Как находится доверительный интервал(монте карло).doc
• Тип: Документы; #326845

Как находится доверительный интервал, внутри которого находится оценка интеграла с достаточной степенью уверенности?

• 
  Выполнив испытаний методом Монте-Карло, получаем оценку интеграла , где - сумма случайных переменных с одним и тем же распределением, - выборочное среднее.
  
• 
  Не можем точно ожидать, что выборочное среднее будет «близко» или равно - математическому ожиданию!
  
• 
  Выход: Пусть - независимые случайные переменные с одним и тем же распределением, математическим ожиданием и дисперсией .
  

Ищут доверительный интервал, внутри которого находится с достаточной степенью уверенности.

• 
  Что означает «с достаточной степенью уверенности»?
  

Находится доверительная вероятность, которая позволяет утверждать, что выборочное среднее будет таковым, что математическое ожидание будет лежать между границами доверительного интервала.

• 
  По центральной предельной теореме (ЦПР):
  

,

- функция распределения стандартной нормально распределенной случайной переменной с математическим ожиданием =0 и дисперсией =1:

• 
  (Значение может быть вычислено с помощью специальной таблицы (есть в книге по теории вероятностей)).
  
• 
  Плотность стандартной нормально распределенной случайной переменной
  

• 
  По ЦПТ: сумма большого числа независимых случайных переменных имеет приблизительно нормальное распределение и имеет приблизительно нормальное распределение.
  
• 
  и выборочное среднее - имеет нормальное распределение по ЦПТ
  
• 
  Если - нормально распределенная случайная переменная , ее плотность распределения равна:
  

Функция распределения равна :





Нормальная функция плотности распределения вероятностей

• 
  Если - нормально распределенная случайная переменная, то для любых констант - нормально распределена.
  
• 
  Рассмотрим случайную переменную , она имеет =0, , говорят, что имеет стандартное нормальное распределение (или ).
  

• 
  Как найти доверительную вероятность?
  
  • 
    Все вероятности, касающиеся , могут быть вычислены с помощью .
    
  • 
    Теорема: Если - непрерывная случайная переменная, то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :
    

, - плотность распределения.

• 
  Выразим функцию распределения случайной переменной через :
  

• 
  Для любого пусть (см. рис.1).
  

Плотность стандартного нормального распределения Рис.1.

• 
  Задавая определенную доверительную вероятность , где - это уровень значимости, значение может быть получено из таблицы значений .
  

Пример. , =1.64, т.е. и

, =1.96, т.е. и

• 
  Нахождение доверительного интервала
  

Из ЦПТ следует:
.

Если заменить неизвестное стандартное отклонение на его оценку , то для больших

.

(рис.1 и 2).

.

Таким образом, с доверительной вероятностью математическое ожидание будет лежать в интервале

.

Определение. Если наблюдаемые значения выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения являются , то интервал называется доверительным интервалом оценки .

Замечание. « доверительный интервал» означает следующее. Пусть , тогда . Имея наблюдаемые значения, с доверительной вероятностью 0.95 выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение будут таковыми, что будет лежать между значениями .