Лекция №5-6. Классы моделей в тпр

• Название: Классы моделей в тпр
• Дата: 23.05.2023
• Размер: 1.79 Mb.
• Имя файла: Лекция №5-6.pptx
• Тип: Задача; #1153438

Классы моделей в ТПР

• Принятие решений в условиях риска.
• Принятие решений в условиях полной неопределённости.
• Принятие решений в условиях определённости.

• Модели в условиях риска характеризуются наличием нескольких альтернатив и нескольких состояний природы, относительно которых известны вероятности их наступления.

Оптимальные решения, найденные в задачах данного типа, являются объективными и не зависят от пристрастий и вкусов ЛПР, если только оно действует в рамках данного и единственного состояния природы.

Моделирование в теории принятия решений

Модель

Аналоговая модель

Физическая модель

Математическая

модель

Аналоговая модель

Аналоговая модель  это модель, основанная на аналогии или подобии между объектами, операциями или процессами, имеющими различную физическую природу.

Лекарственные препараты сначала проверяют на животных, чтобы понять реакцию человека

Схема метро

Часы - аналоговая модель течения времени.

Физическая модель

Физическая модель  это уменьшенная в несколько раз материальная копия исследуемого объекта в основных, наиболее существенных чертах, воспроизводящая реальный объект в искусственно созданных условиях, имитирующих реальные окружающие условия и воздействия.

Физическое моделирование

Физическое моделирование  это исследование поведения реального объекта в реальных условиях при реальных воздействиях путём проведения экспериментальных исследований на его физической модели, в условиях, имитирующих реальную внешнюю среду и реальные воздействия.

Примеры физических моделей

Моделирование перегрузки или невесомости на специальных установках.

Глобус – физическая модель планеты земля.

Примеры физических моделей

В аэродинамических трубах испытывают небольшие модели, представляющие собой по форме точную копию проверяемого самолёта

Когда применяют физические модели

• исследуемый объект слишком сложен для моделирования другими средствами;
• окружающие условия и воздействия при функционировании объекта не могут быть воспроизведены в реальности или не доступны для проведения исследований;
• изготовление реального объекта и его натурные испытания в реальных условиях сопряжены с огромными рисками, неоправданными затратами ресурсов и потерями, катастрофами и непредвиденными последствиями.

Математическая модель

Математическая модель – это идеализированный образ реального объекта, выраженный в математических понятиях и символах, с определённой степенью адекватности отражающий наиболее существенные свойства и характеристики реального объекта.

Математическое моделирование заключается в исследовании реального объекта с помощью построенной математической модели.

Линейное программирование в теории принятия решений

Линейное программирование (ЛП) – наука, изучающая линейные оптимизационные математические модели и разрабатывающая методы их решения

• Задачи линейного программирования, в которых переменные математической модели могут принимать любые значения (как дробные, так и целые) из области допустимых решений.



- задача планирования производства или задача об оптимальном использовании ресурсов;

• задача о составлении рациона питания;
• задача о составлении смеси;
• задача формирования инвестиционного портфеля.

Виды задач линейного программирования:

2. Транспортная задача - об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

3. Задачи, сводящиеся к задачам транспортного типа:

• задача формирования оптимального штата фирмы;
• задача оптимального распределения посевных площадей.

Целью (и критерием) задачи ЛП является получение максимальной суммарной прибыли от реализации произведенной продукции.

Неуправляемые факторы – заданные и неизменные нормы расхода ресурсов, предельные количества ресурсов и величины прибыли от реализации единицы всех видов продукции.

Совокупность неуправляемых факторов определяет ограничения.

Управляемые факторы (переменные математической модели) представляют собой объемы x1,x2,…,xn выпускаемой продукции n видов,

совокупность управляемых факторов x=(x1,x2,…,xn) – возможные решения (альтернативы).

Множество возможных решений формируется ограничениями.

ЛПР – руководитель предприятия.

Модель задачи ЛП включает

• совокупность переменных 𝑥1,…,𝑥𝑛;
• некоторую функцию 𝑧 = 𝑧(𝑥1,…,𝑥𝑛) (целевая функция);
• условия (систему ограничений)

𝑓𝑖(𝑥1,…,𝑥𝑛) ≤ 𝑏𝑖 или 𝑓𝑖(𝑥1,…,𝑥𝑛) = 𝑏𝑖, 𝑖=1,…𝑚,

• где 𝑧 и 𝑓𝑖 – заданные функции, а 𝑏𝑖-некоторые действительные числа.

Пример

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца, приведены в таблице.

Определить сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать		Запас корма
	лисица	песец
1	2	2	180
2	4	1	240
3	6	7	426
Прибыль от реализации одной шкурки, руб.	1600	1200

• Составим математическую модель задачи
• Переменные 𝑥1,𝑥2 будут выражать количество лисиц и песцов соответственно, которое нужно выращивать на звероферме.
• Прибыль можно задать функцией:

𝑧 = 16 𝑥1 +12 𝑥2.

• Тот факт, что нам необходимо максимизировать функцию обозначается так:

𝑧 = 16 𝑥1 +12 𝑥2 →𝑚𝑎𝑥.

• Для того, чтобы прокормить 𝑥1 лисицу и 𝑥2 песцов нам понадобится:
• корма I вида 2𝑥1+3𝑥2,
• корма II вида 4𝑥1+𝑥2,
• корма III вида 6𝑥1+7𝑥2.

• Запасы корма ограничены

2𝑥1+3𝑥2 ≤ 180,

4𝑥1+𝑥2 ≤ 240,

6𝑥1+7𝑥2 ≤ 420.

• Кроме того, число животных не может быть отрицательным и нецелым

• Математическая модель задачи

𝑥1,𝑥2 - количество лисиц и песцов.

Пример.

• Задача формирования инвестиционного портфеля.
• Инвестор располагает суммойв 100 тыс.ден,ед. и желает сформировать свойинвестиционный портфель, вложив ее вакции трёх компаний I&J, K&L, M&N. Акции каждой компании характеризуются ожидаемым годовым доходом на одну акцию и ценой акции

Акции компаний	Цена одной акции, ден. ед./ед.	Ожидаемый годовой доход на одну акцию, ден. ед./ед.
I &J	80	15
К &L	25	6
M&N	30	9

• Инвестор предполагает вложить в акции все свои средства, причём

в акции компании I&J – не менее 20 тыс.ден.ед., в акции компании К&L – не менее 35 тыс.ден.ед., а в акции компании М&N – не более 45 тыс.ден.ед.

• Инвестору необходимо определить, акции каких компаний и в каком количестве ему следует приобрести, чтобы ожидаемая годовая прибыль инвестиционного портфеля была максимальной

• Составим математическую модель задачи
• 𝑥1- количество акций компании I&J,
• 𝑥2- количество акций компании K&L,
• 𝑥3 - количество акций компании M&N.

• Математическая модель задачи

• Пример. Планирование производства

Небольшая семейная фирма занимается переработкой яблок и производством из них трех видов продукции: яблочного сока, джема и яблочного пюре.

Для производства сока используются яблоки только первого сорта, а для производства джема и яблочного пюре используются яблоки как первого, так и второго сорта.

На производство сока, джема и пюре затрачиваются сахарный песок и лимонная кислота.

Количество яблок первого и второго сорта, сахарного песка и пищевых добавок, которыми располагает фирма, ограничены.

Нормы расхода всех видов сырья и их запасы на складе компании приведены в таблице.

• Глава фирмы оценил значения прибыли, которую он получит от реализации 1 кг каждого вида продукции, она составила: 45 ден. ед. для сока, 18 ден. ед. для джема и 24 ден. ед. для пюре.
• Необходимо принять решение, какую продукцию и в каком объеме следует выпускать фирме, чтобы суммарная прибыль от их реализации была максимальной.

Сырье	Расход сырья (кг) на выпуск 1 кг продукции, кг/кг			Запасы сырья на складе фирмы, кг
	сок	джем	пюре
Яблоки 1-го сорта	0,44	0,1	0,15	5000
Яблоки 2-го сорта	0	0,65	0,75	10 000
Сахарный песок	0,05	0,35	0,25	5500
Пищевые добавки	0,002	0,004	0,003	60

Пусть

𝑥1 - количество кг производимого сока;

𝑥2 - количество кг производимого джема;

𝑥3 - количество кг производимого пюре.

• Математическая модель задачи

Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования.

• Рассмотрим задачу 2-х переменных

• Алгоритм графического метода:
• 1. Строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки равенств.
• 2. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
• 3. Находим область, удовлетворяющую все неравенства системы ограничений (многоугольник решений).
• 4. Строим вектор ,где – коэфф.целевой функции.
• 5. Строим линию c1x1+c2x2 = 0

6. Передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора

Первая встретившаяся вершина точка - точка min. Находим ее координаты и вычисляем значение целевой функции в этой точке .

Последняя встретившаяся вершина является точкой максимума функции.

Пример. Решить ЗЛП графическим методом

Граничные прямые:

минимальная точка – С,

максимальная точка – А, найдем координаты точки А решив систему уравнений

Пример.

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количестве, соответственно равных 24, 31 и 18 штук.

Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указаны величины отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

• Определить, сколько листов фанеры и каким способом нужно раскроить так, чтобы было получено не менее нужного числа заготовок при минимальных отходах.

Вид заготовки	Количество заготовок(шт) при разкрое по способу
	1	2
1	2	6
2	5	4
3	2	3
Величина отходов (см3)	12	16