Вероятность. Решения задач из тренировочного задания №5. Комбинаторика и теория вероятностей в школьном курсе математики
 Скачать 434.41 Kb.
|
|
Комбинаторика и теория вероятностей в школьном курсе математики] Зотов И.Н. [Введение в теорию вероятностей января 2022 г. 1. Студент сдает два экзамена. Пусть событие A i = студент сдаст й экзамен = 1, 2. Используя операции над событиями, запишите событие D студент сдаст только один экзамен}. Решение. Событие D − студент сдаст только один экзамен − будет осуществлено, если произойдет любое из следующих двух несовместных событий A 1 A 2 − студент сдаст й экзамен и не сдаст й экзамен и студент сдаст й экзамен и не сдаст й экзамен. Поэтому = A 1 A 2 + Ответ. D = A 1 A 2 + A 2 A 1 В торговом центре два банкомата. Пусть событие A i = к концу дня в банкомате останутся деньги, i = 1, 2. Используя операции над событиями, запишите событие D = к концу дня хотя бы водном банкомате закончатся деньги}. Решение. Событие D − к концу дня хотя бы водном банкомате закончатся деньги − будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трёх несовместных событий к концу дня в м банкомате останутся деньги и во мне останутся, к концу дня во м банкомате останутся деньги ив мне останутся и к концу дня ив ми во м банкоматах не останутся деньги. Поэтому D = A 1 A 2 + A 2 A 1 + Ответ. D = A 1 A 2 + A 2 A 1 + A 1 A 2 В первом конверте находятся три карточки, которые имеют номера 15, 16, 18. Во втором конверте находятся пять карточек, которые имеют номера, 3, 5, 6, 7. Из каждого конверта случайным образом извлекают по одной карточке. Какова вероятность, что сумма чисел, написанных на этих карточках, будет четной Ответ округлите до сотых. Решение. Пусть A − сумма чисел, написанных на извлеченных шарах, будет четной. Благоприятных исходов, очевидно, 7: 15 + 3, 15 + 5, 15 + 7, 16 + 2, 16 + 6, 18 + 2, 18 + 6. Всего исходов 3 · 5 = 15. Поэтому p(A) = 7 15 ≈ 0, Ответ. 0, Впервой урне находятся три шара, которые имеют номера 13, 12, Во второй урне находятся 5 шаров, которые имеют номера 3, 4, 5, 6, Из каждой урны случайным образом извлекают по одному шару. Какова вероятность, что сумма чисел, написанных на этих шарах, будет четной? Ответ округлите до сотых Решение. Пусть A − сумма чисел, написанных на извлеченных шарах, будет четной. Благоприятных исходов, очевидно, 7: 13 + 3, 13 + 5, 13 + 7, 12 + 4, 12 + 6, 14 + 4, 14 + 6. Всего исходов 3 · 5 = 15. Поэтому p(A) = 7 15 ≈ 0, Ответ. 0, На девяти одинаковых карточках написано по одной цифре от 1 до 9. Наудачу берутся три карточки и выкладывают вряд. Найдите вероятность того, что получится четное число. Ответ округлите до сотых. Решение. Из постановки задачи следует, что опыт производится без возвращения и с упорядочиванием. Поэтому общее число возможных исходов 9 = 9! 6! = 504. Событию A − получится четное число благоприятствуют исходы, в которых на последнем месте находятся карточки с цифрами, 4, 6 или 8. Остальные две цифры выбирают из оставшихся 8 карточек и упорядочивают, то есть благоприятных исходов 4 · A 2 8 = 4 · 8! 6! = Следовательно, p(A) = 224 504 ≈ 0, Ответ. 0, На девяти одинаковых карточках написано по одной цифре от 1 до 9. Наудачу берутся три карточки и выкладывают вряд. Найдите вероятность того, что получится нечетное число. Ответ округлите до сотых. Решение. Из постановки задачи следует, что опыт производится без возвращения и с упорядочиванием. Поэтому общее число возможных исходов 9 = 9! 6! = 504. Событию A − получится нечетное число благоприятствуют исходы, в которых на последнем месте находятся карточки с цифрами или 9. Остальные две цифры выбирают из оставшихся 8 карточек и упорядочивают, то есть благоприятных исходов 5·A 2 8 = 5· 8! 6! = Следовательно, p(A) = 280 504 ≈ 0, Ответ. 0, В корзине 5 яблоки груши. Наудачу берут 4 фрукта. Найдите вероятность того, что среди взятых фруктов, только 3 яблока. Ответ округлите до сотых. Решение. Пусть A − среди взятых 4 фруктов, только 3 яблока. Благоприятных исходов C 3 5 · C 1 3 = 10 · 3 = 30. Всего исходов C 4 8 = 70. Поэтому p(A) = 30 70 ≈ 0, Ответ. 0, На стеллаже в случайном порядке расставлено 14 учебников, причем из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найдите вероятность того, что только 2 учебника из взятых в переплете. Ответ округлите до сотых Решение. Пусть A − среди взятых 3 учебников, только 2 в переплете». Благоприятных исходов C 2 6 · C 1 8 = 15 · 8 = 120. Всего исходов C 3 14 = Поэтому p(A) = 120 364 ≈ 0, Ответ. 0, У деда Мороза есть 12 подарков с билетами в кино, 8 подарков с билетами в театр и 20 подарков с билетами в цирк. Найдите вероятность того, что случайно извлеченный подарок содержит билеты или в кино или в театр. Решение. Событие A − случайно извлеченный подарок содержит билеты или в кино или в театр − будет осуществлено, если произойдет любое из следующих двух несовместных событий B − подарок содержит билеты в кино и C − подарок содержит билеты в театр. Интересующее нас событие A можно представить в виде суммы событий A = B ∪ C. По теореме сложения, p(A) = p(B) + p(C) = 12 40 + 8 40 = 0, Ответ. 0, У деда Мороза есть 15 подарков с билетами в кино, 5 подарков с билетами в театр и 20 подарков с билетами в цирк. Найдите вероятность того, что случайно извлеченный подарок содержит билеты или в кино или в цирк. Решение. Событие A − случайно извлеченный подарок содержит билеты или в кино или в цирк − будет осуществлено, если произойдет любое из следующих двух несовместных событий B − подарок содержит билеты в кино и C − подарок содержит билеты в цирк. Интересующее нас событие A можно представить в виде суммы событий A = B ∪ C. По теореме сложения, p(A) = p(B) + p(C) = 15 40 + 20 40 = 0, Ответ. 0, Случайным образом выбирают одно из решений неравенства x 2 +6x−16 ⩽ 0. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства Решение. Решением неравенства x 2 +6x−16 ⩽ 0 является отрезок [−8; а неравенства 0 − полуинтервал [−6; 1). Веростноять того, что одно из решений неравенства x 2 + 6x − 16 ⩽ 0 окажется и решением неравенства равна 10 = 0, Ответ. 0, Случайным образом выбирают одно из решений неравенства x 2 +2x−24 ⩽ 0. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства Решение. Решением неравенства x 2 +2x−24 ⩽ 0 является отрезок [−6; а неравенства 0 − полуинтервал [−4; 2). Веростноять того, что одно из решений неравенства x 2 + 2x − 24 ⩽ 0 окажется и решением неравенства равна 10 = 0, Ответ. 0, Испытание состоит в случайном выборе двух чисел и из отрезка 2]. Найдите вероятность события {x 1 + x 2 > 1, x 1 x 2 < 0}. Ответ округлите до сотых. Решение. Построим область, которая соответствует множеству {x 1 +x 2 > 1, x 1 x 2 < 0}, где x 1 , x 2 ∈ [−1; Таким образом, искомая вероятность равна 2 ·1·1+ 1 2 ·1·1 3·3 = 1 9 = 0, Ответ. 0, Испытание состоит в случайном выборе двух чисел и из отрезка 3]. Найдите вероятность события {x 1 + x 2 > 2, x 1 x 2 < Решение. Построим область, которая соответствует множеству {x 1 +x 2 > 2, x 1 x 2 < 0}, где x 1 , x 2 ∈ [−2; 3]. Таким образом, искомая вероятность равна 2 ·1·1+ 1 2 ·1·1 5·5 = 1 25 = 0, Ответ. 0, Сухогрузы Альфа и Гамма для разгрузки должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих сухогрузов независимо и рав- новозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из сухогрузов придётся ожидать освобождения причала, если время разгрузки сухогруза Альфа равно 4 часам, а сухогруза Гамма − 6 часам. Ответ округлите до тысячных. Решение. Положим x − время прихода сухогруза Альфа (0 ⩽ x ⩽ 24), y − сухогруза Гамма (0 ⩽ y ⩽ 24). Если сухогруз Альфа подойдет раньше, то сухогрузу Гамма придется ждать при выполнении неравенства, те. y ⩾ 4 − x. Если раньше подойдет сухогруз Гамма, то сухогрузу Альфа придется ждать при выполнении неравенства y − x ⩾ 6, те. y ⩽ 6 − x. С геометрической точки зрения система этих двух неравенств будет выполняться для точек, принадлежащих выделенному шестиугольнику. Искомая вероятность равна 2 − 1 2 · (24 − 6) · (18 − 0) − 1 2 · (24 − 4) · (20 − 0) 24 2 = 107 288 = 0, Ответ. 0, Сухогрузы Альфа и Гамма для разгрузки должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих сухогрузов независимо и рав- новозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из сухогрузов придётся ожидать освобождения причала, если время разгрузки сухогруза Альфа равно 7 часам, а сухогруза Гамма − 9 часам. Ответ округлите до тысячных Решение. Положим x − время прихода сухогруза Альфа (0 ⩽ x ⩽ 24), y − сухогруза Гамма (0 ⩽ y ⩽ 24). Если сухогруз Альфа подойдет раньше, то сухогрузу Гамма придется ждать при выполнении неравенства, те. y ⩾ 7 − x. Если раньше подойдет сухогруз Гамма, то сухогрузу Альфа придется ждать при выполнении неравенства y − x ⩾ 9, те. y ⩽ 9 − x. С геометрической точки зрения система этих двух неравенств будет выполняться для точек, принадлежащих выделенному шестиугольнику . Искомая вероятность равна 2 − 1 2 · (24 − 9) · (15 − 0) − 1 2 · (24 − 7) · (17 − 0) 24 2 = 319 576 = 0, Ответ. 0, В небольшой парикмахерской работают два мастера − Марина и Ирина. Каждая из них в случайный момент может быть занята обслуживанием клиента с вероятностью 0, 6. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0, 4. Найдите вероятность того, что в случайный момент оба мастера свободны. Решение. Введём обозначения событий A − с клиентом занята Марина с клиентом занята Ирина. Требуется найти вероятность события. На диаграмме Эйлера этому событию соответствует внешняя часть. Расставим на диаграмме вероятности и получим ответ 0, 2. Ответ. 0, В небольшом отделении банка два сотрудника − Пётр и Анатолий − принимают клиентов. В случайный момент каждый из них может оказаться занят обслуживанием клиента с вероятностью 0, 5. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0, 4. Найдите вероятность того, что в случайный момент оба сотрудника свободны. Решение. Введём обозначения событий A − с клиентом занята Марина с клиентом занята Ирина. Требуется найти вероятность события. На диаграмме Эйлера этому событию соответствует внешняя часть. Расставим на диаграмме вероятности и получим ответ 0, Ответ. 0, Так как в результате бомбежки связь была нарушена, для передачи срочного донесения с поля боя командир батальона послал двух связистов в штаб бригады разными дорогами. В силу различного боевого опыта и условий продвижения вероятность доставки донесения составляла 0, и 0, 75. Какова вероятность доставки донесения в штаб бригады Ответ округлите до тысячных. Решение. Событие A − доставка донесения первым связистом B − доставка донесения вторым связистом. События A и B независимые p(A) = 0, 65; p(B) = 0, 75. Пусть C − событие хотя бы один из связистов доставит донесение, те. C = A ∪ B. Так как p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ и p(A ∩ B) = p(A) · p(B), получим p(C) = 0, 65 + 0, 75 − 0, 65 · 0, 75 = 1, 4 − 0, 4875 = 0, 9125 ≈ 0, Ответ. 0, Так как в результате бомбежки связь была нарушена, для передачи срочного донесения с поля боя командир батальона послал двух связистов в штаб бригады разными дорогами. В силу различного боевого опыта и условий продвижения вероятность доставки донесения составляла 0, и 0, 85. Какова вероятность доставки донесения в штаб бригады Ответ округлите до тысячных. Решение. Событие A − доставка донесения первым связистом B − доставка донесения вторым связистом. События A и B независимые p(A) = 0, 75; p(B) = 0, 85. Пусть C − событие хотя бы один из связистов доставит донесение, те. C = A ∪ B. Так как p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ и p(A ∩ B) = p(A) · p(B), получим p(C) = 0, 75 + 0, 85 − 0, 75 · 0, 85 = 1, 6 − 0, 6375 = 0, 9625 ≈ 0, Ответ. 0, 963. |