Задачи. Олимпиадные задачи по математике за 6 класс - Погребникова Алена. Арифметика На карточках записаны цифры 1, 2, Из этих карточек составлены числа и записано неверное равенство. Покажите, как, переместив только одну карточку, сделать равенство верным. 1
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Арифметика 1. На карточках записаны цифры: 1, 2, 0. Из этих карточек составлены числа и записано неверное равенство. Покажите, как, переместив только одну карточку, сделать равенство верным.
Ответ: 101 – 102 = 1 2. МУХА + УХА + ХА + А = 2000. Решение: Со всей определенностью можно утверждать, что А = 5, и М = 1 или 2. Допустим А = 0, тогда Х · 3 должно оканчиваться на 0. Этого не может быть, так как при умножении любого числа на 3 результат не оканчивается на 0. В таком случае число Х = 6, так как при А = 5 и Х · 3 должно оканчиваться на 8. Сумма У + У должна оканчиваться на 8. Это возможно при У = 4 или 9. Итак, У = 4. М может быть равным только 1. Ответ:1465 + 465 + 65 + 5 = 2000. 3. Квадрат натурального числа состоит из цифр 0; 2; 3; 5. Найти его. Решение: Квадрат числа не может оканчиваться цифрами 2 или 3, или одним нулём. Значит, последняя цифра равна 5, тогда цифра десятков равна 2. Следовательно, искомое число 3025 = 552. 4. АТУ+ИАЗ=ИИТЕ НЕГ:ИОГ=Е ПАУ-НЗ=ППА Каждая буква здесь обозначает определенную цифру. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. Математические знаки показывают действия, которые производятся и по горизонтали и по вертикали. Определив числовое значение каждой буквы, расставьте буквы соответственно их числовому значению — от 0 до 9. При этом получится математический термин. Решение: Скорее всего, И=1, А = 9, Г=0 или Г=5. Значит, 9ТУ + 19З = 11ТЕ. Значит, У+З=1Е, в то же время из последнего примера П9У-НЗ=ПП9, имеем что У-З=9, то есть У=6,З=7 или У=7,З=8. Пусть У=7,З=8, тогда Е=5, а значит Г=0. Тогда из Н50 : 1О0=5, получим, что О=3, Н=6. Рассмотрим П97-68=ПП9 , П=2. Тогда Т=4. Итак, Г=0, И=1, П=2, О=3, Т=4, Е=5, З=6, А=9. Ответ: Гипотеза. 5. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета? Решение: Выясним, сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37. 6. Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, то каждый раз один оставался лишним, а когда построились в колонну по 7, лишних не осталось. Каким могло быть наименьшее количество солдат? Решение: следовательно, если от этого числа отнять 1, то разность должна делиться и на 4, и на 5, и на 6, то есть на 60. Числа 61, 121, 181, 241 на 7 не делятся. Значит, наименьшее число солдат 301. Ответ: 301 7. Крестьянин попросил взять у царя одно яблоко из его сада. Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и водит: весь сад огражден тройным забором, имеет одни ворота, вход в которые охраняет сторож. Подошел крестьянин к Первову сторожу и говорит: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». На что сторож ему сказал: «Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что возьмёшь и ещё одно». Эти же слова повторили крестьянину 2 и 3 сторожа, охранявшие другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко? Решение: Рассуждаю, начиная с конца, чтобы пройти из сада через последние ворота, крестьянин должен иметь 4 яблока, так как половина этих яблок и ещё одно 4 : 2 +1 = 3 яблока он отдаст сторожу и у него останется 4 – 3 = 1 яблоко. Подходя из сада ко вторым воротам, у крестьянина должно быть по условию задачи 2·(4 + 1) = 10 яблок, подходя к первым воротам яблок, было 2·(10 + 1) = 22. Ответ: 22 яблока должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко. 8. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова – за 3, овца – за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе? Решение: Лошадь съедает  копны сена за 1 сутки, корова – за  копны за сутки, овца –  копны в сутки. Значит, + + = 1 за одни сутки. Ответ: 1 копну за 1 сутки. 9. К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Ответ. 2430, 6435 10. Три рыбака решили сообща сварить на костре уху. Первый дал два окуня, второй четыре, а третий рыбак внес свою долю деньгами, дав 60 рублей. Как должны разделить между собой эти деньги первые два рыбака? Решение. На уху пошло 6 окуней, то есть каждому досталось по 2. Первый съел свои 2 окуня, то есть сколько дал, то и съел. Значит, третий съел два окуня из улова второго рыбака. Следовательно, все деньги должен взять второй рыбак. 11. Охотник встретил двоих пастухов. У одного пастуха было три куска хлеба, у второго - пять кусков. Все куски хлеба одинакового размера. Все трое разделили и съели весь хлеб поровну. Охотник дал пастухам после еды 8 монет на двоих. Как пастухи разделили эти деньги? Решение: каждый съел по 2 и 2/3 куска хлеба. Поэтому первый пастух дал охотнику только 1/3 куска, а второй еще 2 и 1/3 куска. Ответ: Первый получил 1 монету, второй 7. 12. Было совершено 52 распила и получили 72 полена. Сколько всего было бревен? Т.к. после каждого распила число бревен увеличивается на 1. Значит 72-52=20 Ответ: 20 бревен. Задачи на составление уравнения 1. Количество отсутствующих в классе составляло 1/6 всех присутствующих. После того, как один ученик вышел, количество отсутствующих стало составлять 1/5 присутствующих. Сколько учеников в классе? Решение: Пусть сейчас в классе х человек, тогда отсутствующих  . После того, как вышел 1 человек, отсутствующих стало , что по условию задачи составляет 1/5 присутствующих, т.е.  . Получили уравнение = , т.е. х=36. Значит, сейчас присутствуют 36 человек, а отсутствуют 6. Следовательно, в классе 42 человека.2. Петя съел 1/3 всех яблок и ещё 2 яблока, Сеня съел 1/4 всех яблок и ещё 1 яблоко, а Коля — половину тех яблок, которые остались после Пети и Сени. После этого осталась 1/6 часть первоначального числа яблок. Сколько яблок было вначале? Решение: х – всего яблок.  , х=36.3. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет и младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет его детей? Решение: Обозначим искомое количество лет через х. Составим уравнение: 13+х+10+х +6+х=41+х. Тогда х=6. Ответ: через 6 лет. 4. На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально? Решение: Пусть x – количество воробьёв на первом кусте. Тогда x–5=2·(25–x–7+5). Решаем, и получаем, что x = 17. Задачи на проценты 1. Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число? Решение: Первоначальное = х, новое = 1,25х. 1,25х = 100% х = ?% Получили 80%, значит, надо уменьшить на 20%. 2. У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы денег у них стало поровну? Решение: Пусть у младшего х рублей, тогда у старшего 1,25х. Чтобы у них стало одинаково, старший должен отдать 0,125х рублей. Итак, 1,25х = 100% 1,125 х = ?% Получили 90%, значит отдать старший брат должен 10% своих денег. 3. Картофель подешевел на 20%. На сколько больше можно купить картофеля на ту же сумму? Решение. Т.к. картофель подешевел на 20% , то на весь купленный ранее картофель надо затратить 80% имевшихся денег, а на оставшиеся 20% купить еще 1/4 часть картофеля, что составляет 25%. 4. Первый множитель увеличился на 10%, а второй множитель уменьшился на 10%. Как при этом изменилось произведение? Решение. Пусть множимое х, а множитель у, тогда новое множимое 1,1х, а 0,8у – новый множитель. Новое произведение равно 0,99ху, следовательно, произведение уменьшилось на 1%. 4. Числовая задача (построение примера, доказательство невозможности его построения). 1. Половина — это его треть. Что же это за число? Решение: если половина есть треть числа х, то все число х содержит 3 раза по половине, то есть 0,5 · 3 = 1,5 2. Найдите сумму чисел 1+2+…+870+871. Решение. Запишем сумму S=1+2+…+871 так: S= 871+… +2+1. Сложив эти равенства, получим 2S=(1+871)+(2+870)+…(436+436). Откуда 2 S =872·871, S=379756. 3. Какой цифрой заканчивается сумма 135х+31у+56х+у , если х и у натуральные числа? Решение. Число 135х оканчивается на 5; 31у оканчивается на 1, число 56х+у оканчивается на 6; следовательно, сумма 135х+31у+56х+у оканчивается на 2. 4. Продолжите ряд чисел: 10,8,11,9,12,10 до 8 числа. По какому правилу он составлен? Решение. 10,8,11,9,12,10,13,11,…Правило следующее: на нечетных местах ряда стоят последовательно натуральные числа, начиная с 10, а на четных, начиная с 8. 5. На какую цифру оканчивается число 2100? Решение. Представим число 2100 в виде 2100= (24)25=1625, следовательно, оно оканчивается на 6. 6. Из числа 12345678910111213…5960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы полученное число было наибольшим? Решение. Наибольшее возможное число должно начинаться с наибольшего количества девяток . Будем двигаться по числу слева направо, вычеркивая все цифры, кроме 9. вначале мы вычеркнем 27 цифр: 12345678 - 8 цифр 101112112314151617181- 19 цифр и получим число 9920212223242526272829…5960 (еще 19 цифр)и т.д. Таким образом, до каждой очередной девятки мы вычеркиваем 19 цифр. Сделав еще 2 шага, мы вычеркиваем 38 цифр и получим число 999995051525354555657585960( до следующей 9 еще 19 цифр). За предыдущие шаги было вычеркнуто 84 цифры (осталось вычеркнуть еще 16), следовательно, до очередной 9 мы не доберемся. Наибольшая цифра, до которой можно добраться, вычеркнув 15 цифр - это 7. Вычеркнув далее цифру 5, мы получим наибольшее возможное число 99999785960. 7. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543,142 и 562 совпадает с одним из разрядов, а 2 других не совпадают. Какое число задумано? Решение. Если первая цифра искомого числа 5, то либо вторая цифра 4, либо третья 2 (т.к. требуется совпадение разряда со вторым числом). И то и другое приводит к противоречию: совпадение либо с 1, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра не 5. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что вторая цифра искомого числа не 4, а третья не 2. Остается единственная возможность: число 163. 8. К трехзначному числу слева приписали 3 и оно увеличилось в 9 раз. Что это за число?
Проверкой убеждаемся, что 87*9=873, т.е. искомое число 87 9. Какое число больше: 2379*23782378 или 2378*23792379? Решение. Пусть, а=2378, б=2379, тогда можно составить таблицу:
Из которой следует, что 2379*23782378=2378*23792379. 10. Верно ли что число 1 234 537 896 543 является квадратом некоторого натурального числа? Решение. Число 1234537896543 не является квадратом натурального числа, т.к. квадрат натурального числа может оканчиваться только цифрами 0,1,5,6,9. 5. Фигуры, нахождение многоугольника с указанными свойствами или на площади и разрезания. 1. Коридор длины 6 м покрыт тремя трёхметровыми ковровыми дорожками, причём нигде дорожки не лежат в три слоя. Докажите, что какие-то две из них перекрываются не меньше, чем на 1,5 м. Решение: Занумеруем дорожки слева направо. Закрасим все такие участки, где первая дорожка перекрывается со второй, а вторая с третьей. Суммарная длина таких перекрытий равна 3 м: три дорожки длины 9 м должны уместиться на коридоре длины 6 м. Следовательно, какое-то из этих трёх перекрытий не меньше 1,5 м (а какое-то другое – не больше 1,5 м). 2. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?    3. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники размером 3х1? Решение. Пусть шахматную доску 8х8 удалось разрезать на п прямоугольников размером 3х1, тогда сумма площадей всех многоугольников равна 3п=64, что неверно, т.к. п – целое число. Ответ. Нет. 4. У шахматной доски отпилили 2 поля: левое нижнее и правое верхнее. Можно ли покрыть такую шахматную доску «костями» домино размером 2х1? Решение. Каждая кость домино накрывает одно черное и одно белое поле шахматной доски. От шахматной доски отпилили 2 черных поля. Следовательно , осталось на 2 белых больше и, покрыть доску костями домино нельзя. 5. Посередине участка квадратной формы устроена квадратная клумба. Площадь участка равна 100 м2. Сторона клумбы в 2 раза меньше стороны участка. Чему равна площадь клумбы? Решение. Т.к. площадь квадрата 100м2, то его сторона равна 10 м, тогда сторона клумбы - 5 м , а ее площадь 25 м 2. 6. Как разрезать прямоугольник со сторонами 4х9 на минимальное число частей, чтобы из них сложить равновеликий квадрат? Решение. Поскольку площади прямоугольника и квадрата должны быть равны, то сторона квадрата 6. Поэтому откладываем по 6 на больших сторонах прямоугольника и делаем ступенчатый разрез, о котором можно догадаться, вспомнив о центральной симметрии прямоугольника.  7. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр «звездочки», нарисованной жирной линией?  Ответ: 64 см |