Задачи. Олимпиадные задачи по математике за 6 класс - Погребникова Алена. Арифметика На карточках записаны цифры 1, 2, Из этих карточек составлены числа и записано неверное равенство. Покажите, как, переместив только одну карточку, сделать равенство верным. 1
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Решение: а) прямой подсчет – перебор возможных способов: 0 лампочек (все выключены) – 1 случай, 1 лампочка – 3 случая, по 2 лампочки – 3 случая, все 3 – 1 случай – то есть 1 + 3 + 3 + 1 = 8; б) рассмотрение ситуации по отдельности для каждой лампочки – либо «вкл», либо «выкл»; правило произведения: 2 × 2 × 2 = 8; графическое отображение в виде дерева возможностей. 4. В гардеробе в беспорядке лежат 20 пар ботинок. 10 пар черных и 10 пар белых. Сколько нужно взять ботинок, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (правый и левый ботинок) одного цвета? В гардеробе темно и нельзя отличить правый ботинок от левого. Решение: Мы можем вытащить по 10 ботинок разного цвета (10 белых левых и 10 черных левых) получается вытянули 20 ботинок и останутся ещё 20 ботинок ( 10 белых правых и 10 черных правых) и соответственно следующий 21 ботинок в любом случае окажется. Ответ. 21 5. В темной комнате 10 арбузов и 8 дынь (дыни и арбузы не различимы на ощупь). Сколько нужно взять фруктов, чтобы среди них было не менее 2 арбузов? Решение. Для того, чтобы достать не менее 2 арбузов, нужно взять не менее 10 фруктов. Если взять меньше, то среди них могут оказаться 8 дынь и арбузов будет меньше, чем 2. 6. Сколько диагоналей у тридцатичетырехугольника ? Решение. Каждая вершина многоугольника соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме двух соседних. Таким образом, каждая диагональ 34-хугольника соединена диагоналями с 31 вершиной. Поэтому диагоналей у 34-хугольника 34*32:2=17*31=527. 7) Математические игры 1. В двух кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для второго игрока. Решение: Второму игроку достаточно повторять ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, только после ходов второго в количество предметов в кучках становится равным, следовательно, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, также может наступить только после хода второго, а, значит, он не проиграет. Поскольку с каждым ходом количество предметов в кучках уменьшается, игра закончится, и так как второй не проиграет – он выиграет. 2. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Решение: В обоих случаях выигрывает второй. Своим первым ходом он разбивает лепестки на две одинаковых группы, а дальше действовать симметрично. 3. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит нуль. Решение: Первый игрок постоянно вычитает из числа его последнюю (ненулевую!) цифру. 4. Имеется две кучи конфет: в первой – 40, во второй – 45. За ход нужно одну кучу съесть, а другую разделить на две (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Решение: В этой игре выигрывает первый игрок. Он всегда съедает нечётную кучку, а чётную делит на две нечётных – в результате после его хода оказываются две нечётных кучки, а после хода второго – снова одна нечётная и одна чётная кучка. Единственная позиция, в которой невозможно сделать ход – позиция (1,1), которая могла получиться только после хода первого игрока. 5. Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки ровно за 20 ходов? Решение. Предположим, что нужно собрать все селедки в 1 секторе, тогда селедку второго сектора можно передвинуть или 1 или 5 ходами; из третьего сектора – или 2 или 4 ходами; из пятого сектора – 2 или 4 ходами; из четвертого сектора - 3 ходами; из шестого – 1 или 5 ходами. В любом случае количество ходов будет нечетным, значит, за 20 ходов собрать селедки нельзя. 8) разные 1. В токарном цехе завода вытачиваются детали из металлических заготовок. Из одной заготовки вытачивают одну деталь. Стружку, которая остается при изготовлении шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 металлических заготовок? Решение. Из 36 заготовок - 36 деталей. Так как стружка из каждых 6 деталей дает еще одну заготовку, то получаем из стружек 36 деталей еще 6 заготовок. Это еще 6 деталей. 36+6=42 детали. Но можно забыть, что от 6 последних заготовок остается стружка на еще одну деталь. Итого 36+6+1=43 детали. 2. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число ее цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера? Решение: Начнём с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день. Ответ: за 19 дней. 3. Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу? Решение: Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит, Ваня съел не менее 24 бананов. Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов. Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов. А значит Олег 1 банан. 4. Пассажир проехал половину пути и лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир спал? Ответ: Спал пассажир на протяжении двух третей от половину всего пути, то есть на продолжении одной трети всего пути. 5. От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани. Решение. Когда теплоход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани ( по течению реки), за сутки он проходит 1/5 пути, а когда обратно- 1/7 пути. Поэтому 1/5-1/7=2/35- «2 скорости течения», откуда 1/35 часть пути в сутки- скорость течения. Следовательно, плоты будут плыть от Нижнего до Астрахани 35 суток. 6. Гриша с папой пошли в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель. Решение. Гриша сделал на 12 выстрелов больше, чем первоначальные 5 по уговору, значит, он попал в цель 6 раз, т.к. именно за 6 попаданий полагается 12 лишних выстрелов. 7. На день рождения Малыша Фрекен Бок испекла торт. Малыш и торт весили столько же, сколько Карлсон и Фрекен Бок. Когда торт съели, Карлсон весил столько же, сколько Фрекен Бок и Малыш. Докажите, что Карлсон съел кусок торта, весивший столько же, сколько Фрекен Бок до дня рождения. Решение. М – Малыш, Б - Фрекен Бок, Т- торт, К - Карлсон , Тк – кусок торта, который съел Карлсон, Тб - кусок торта, который съела Фрекен Бок, Тм - кусок торта, который съел Малыш. Т + М = К + Б. Тк + Тм + Тм + М = К + Б. К + Тк = Б + Тб + М + Тм. Прибавим к обеим частям этого равенства Тк, получаем: К + 2Тк = Б + М + Т. Так ка М + Т = К + Б , то К + 2Тк + 2Б + К, 2Тк = 2Б, Тк = Б. Литература заочный математический конкурс (6-8 классы, г. Москва) http://www.mccme.ru/zmk/; зимний турнир Архимеда (6-7 класс, г. Москва) http://www.arhimedes.org/ олимпиада по геометрии памяти И. Ф. Шарыгина (8-11 классы, г. Москва); http://www.geometry.ru/olimp.htm барнаульский турнир математических боев (8-11 классы, г. Барнаул); http://edu.antroponika.ru/library/9/turnir-matematichesk-80.html уральский турнир юных математиков (8-11 классы, г. Киров); http://www.cdoosh.kirov.ru/urtur.html международный конкурс-игра «Кенгуру» (3-10 классы, по всем регионам); http://www.kenguru.sp.ru/ экономико-математическая олимпиада (9-11 классы, г. Москва); http://www.finec.ru/entrant/faculty_of_pre-university/olympics_/ международная олимпиада школьников «Туймаада» (8-11 классы, г. Якутск); http://www.tuymaada.sitc.ru/ турнир им. М. В. Ломоносова (6-11 классы, г. Москва); международный математический Турнир городов (8-11 классы, г. Москва); http://olympiads.mccme.ru/turlom/ Кубок памяти А. Н. Колмогорова (9-11 классы, г. Казань); http://www.cdoosh.kirov.ru/kolm.html олимпиада по математике и криптографии (9-11 классы, г. Москва). http://www.cryptolymp.ru/ Олимпиада им. Леонарда Эйлера (8 класс, г. Киров); http://www.matol.ru/ ЗАОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА (6-11 классы, г. Москва); http://avangard-school.nm.ru/ http://www.eidos.ru/olymp/mathem/index.htm http://www.develop-kinder.com/katalog-razviv/category-middle_pupils-6_7_class-konkurs_601.html http://weblicey.ru/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=41&Itemid=35-в данном разделе выложены задачи республиканских олимпиад для школьников Татарстана по математике. http://eek.diary.ru/p96191018.htm-литература по подготовке к математическим олимпиадам http://www.turgor.ru/ - турнир Городов http://www.math-on-line.com/olympiada-math/ - математика он-лайн Олимпиада «Сократ http://intelmath.narod.ru/olymp3marathon13sol3.html http://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/olimpiadnye_zadachi/onlajn_olimpiada_po_matematike/8-1-0-16 http://mathem.hut1.ru/z_all/z_r.htm#1 http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/1040fa23-ac04-b94b-4a41-bd93fbf0d55a/? Приложение Логические задачи http://www.rcub.ru/problems.html 1. В токарном цехе завода вытачиваются детали из металлических заготовок. Из одной заготовки вытачивают одну деталь. Стружку, которая остается при изготовлении шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 металлических заготовок ? Ответ. Из 36 заготовок - 36 деталей. Так как стружка из каждых 6 деталей дает еще одну заготовку, то получаем из стружек 36 деталей еще 6 заготовок. Это еще 6 деталей. 36+6=42 детали. Но можно забыть, что от 6 последних заготовок остается стружка на еще одну деталь. Итого 36+6+1=43 детали. 2. Поезд шел из Москвы в Петербург без остановок со скоростью 120 км/ч. Другой поезд также без остановок шел ему навстречу из Петербурга в Москву со скоростью 80 км/ч. Вопрос: на каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи ? Ответ: за 1 час до встречи они будут на расстоянии 200 км (120+80) 3. У мальчика есть столько же братьев, сколько и сестер, а у его сестры в два раза меньше сестер, чем братьев. Вопрос: сколько в семье сестер и братьев? Ответ: 3 сестры и 4 брата. 4. Половина — это его треть. Что же это за число? А ответ очень прост: если половина ? есть треть, то все число содержит 3 раза по ?, то есть ? х 3 = 1 ? (1,5) 5. Пассажир проехал половину пути и лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир спал? Ответ: Спал пассажир на протяжении двух третей от половину всего пути, то есть на продолжении одной трети всего пути. 6. Охотник встретил двоих пастухов. У одного пастуха было три куска хлеба, у второго - пять кусков. Все куски хлеба одинакового размера. Все трое разделили и съели весь хлеб поровну. Охотник дал пастухам после еды 8 монет на двоих. Как пастухи разделили эти деньги? Ответ: Первый получил 1 монету. Второй 7. Объяснение: каждый съел по 2 и 2/3 куска хлеба. Поэтому первый пастух дал охотнику только 1/3 куска, а второй еще 2 и 1/3 куска. 7. В пруду растет 1 лист лилии. К вечеру каждого дня число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями наполовину, если полностью он будет покрыт лилиями через 100 дней? Ответ: через 99 дней 8. На конференцию в Мадагаскаре приехали 10 делегатов. Они не понимают языки друг друга. Какое минимальное число переводчиков понадобится для обслуживания этой конференции, если известно, что каждый переводчик знает только два языка. Ответ: 9 9. Во дворе дети катались на велосипедах. Самые маленькие на 3-хколесных. Школьники на 2-хколесных. Миша сосчитал, что у всех велосипедов было 12 колес. Сколько на 3-х и 2-х колесных велосипедов было на улице? Ответ: два трехколесных и три двухколесных 10. В пакетике находятся конфеты трех разных сортов. На ощупь они одинаковые. Вопрос: какое минимальное число конфет надо взять наугад из пакетика, чтобы среди взятых конфет были хотя бы а) две конфеты одного сорта; б) три конфеты одного сорта. Ответ: а)4 б)7 11. Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу? Ответ: Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит, Ваня съел не менее 24 бананов. Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов. Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов. А значит Олег 1 банан. 12. Было совершено 52 распила и получили 72 полена. Сколько всего было бревен? Ответ: 20 бревен. Т.к. после каждого распила число бревен увеличивается на 1. Значит 72-52=20 13. В гардеробе в беспорядке лежат 20 пар ботинок. 10 пар черных и 10 пар белых. Сколько нужно взять ботинок, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (правый и левый ботинок) одного цвета? В гардеробе темно и нельзя отличить правый ботинок от левого. Ответ: Когда мы возьмем 21 ботинок, то обязательно в руках у нас окажется какая-то пара. Всё просто 21 ботинок будет парным одного цвета. …Мы можем вытащить по 10 ботинок разного цвета (10 белых левых и 10 черных левых) получается вытянули 20 ботинок и останутся ещё 20 ботинок ( 10 белых правых и 10 черных правых)и соответственно следующий 21 ботинок в любом случае окажется нужным 14. Две мухи между собой соревнуются. Они бегут от пола к потолку, а затем обратно. Первая муха бежит и вверх и вниз с одинаковой скоростью. Вторая муха бежит вниз вдвое быстрее, чем первая. А вверх она бежит вдвое медленнее. Какая из мух победит? Ответ: первая. Чтобы решить эту задачку нужно нарисовать первый этап. Первая муха достигнет потолка, а вторая будет только на половине пути к потолку. И первая уже достигнет пола, когда вторая только достигнет потолка. http://www.rcub.ru/zadachki-s-podvoxom.html Задачки с подвохом 1. Как может куриное яйцо, которое бросили, пролететь два метра и не разбиться? Ответ: яйцо подкинули больше чем на два метра, поэтому оно разобьется не когда пролетит 2 метра, а когда упадет на землю. 2. Три ласточки вылетели из гнезна. Какова вероятность того, что через 10 секунд они будут находиться в одной плоскости? Ответ: 100%. Потому что три точки всегда образуют одну плоскость. 3. Шесть кошек ловят шесть мышей за шесть минут. Сколько времени нужно одной кошке для ловли одной мышки. Ответ: шесть минут 4. Двое подошли к реке. У берега реки стоит одна лодка. На лодке можешь переправиться только один человек. Как этим двум удалось переправиться на другой берег без посторонней помощи? Ответ: Они находились на разных берегах реки. 5. У треугольника стороны равны 13, 18 и 31 сантиметр. Чему же равна площадь этого треугольника? Ответ. Площадь этого треугольника равна 0. Т.к. такого треугольника не существует, получается линия (сумма двух любых сторон в треугольнике всегда больше длины третей) 6. Как то солдат в Древнем Риме, который был в карауле, подошел к центуриону и сказал, что этой ночью видел сон, в котором варвары нападали на крепость с юга. Центурион в это особо не поверил, но меры принял. Тем же вечером варвары действительно напали на крепость с юга и их атака была отбита. После сражения центурион поблагодарил солдата за предупреждение, а затем взял его под стражу. За что был взят солдат под стражу? Ответ: солдат видел сон, а значит он спал во время караула. В это время он был обязан не спать. 7. На столе стоит 6 стаканов. Первые три полный, вторые три пустые. Как сделать, чтобы полные стаканы и пустые чередовались между собой? При этом трогать можно только один стакан. Ответ: Нужно взять второй стакан и перелить его содержимое в пятый. http://www.rcub.ru/zadachi-na-sootvetstvie.html Задачи на соответствие 1. В семье 4 ребенка. Младшему 5, старшему 15 лет. Двум другим 8 и 13 лет. Имена детей: Боря, Галя, Вера и Аня. Какой возраст каждого ребенка, если одна девочка ходит в детский сад. Аня старше Бори. Сумма лет Ани и Веры делится на 3. Ответ: Аня 13, Боря 8, Вера 5, Галя 15 2. В банке работают: заведующий, контролер и кассир. Их имена: Борис, Иван, Саша. У кассира нет братьев, сестер и он меньше всех ростом. Саша женат на сестре Бориса и ростом выше контролера. Какое имя у кассира, контролера и заведующего? Ответ: Иван - кассир, Саша - заведующий, Борис - контролер. 3. У четырех школьников следующие имена: Петр, Андрей, Федор и Иван. Фамилии: Петров, Андреев, Федоров, Иванов. Ни у кого из них собственные имя и фамилия не одинаковые. У Андреева имя не Иван. Имя школьника с фамилией Федоров - фамилия школьника, чье имя фамилия Петра. Ответ: Петр Андреев, Андрей Иванов, Федор Петров, Иван Федоров. 4. Михаилу в викторине предложили выбрать один из ящиков. В одном из ящиков спрятан приз. Михаил получил 4 подсказки - приз в желтом или красном ящике - приз в зеленом или синем ящике - приз в зеленом ящике - в желтом ящике приза нет Три подсказки ошибочны, но только одна правильная. Андрей подумал и открыл правильный ящик. Какого цвета? Ответ: Желтый 5. В пассажирском поезде Петербург-Москва едут пассажиры. Сидоров, Петров и Иванов. У машиниста, электрика и кондуктора такие же фамилии. Подсказки: - В Москве живет Иванов - Пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Питере - Кондуктор живет на половине пути от Питера до Москвы - Пассажир, который ближе к месту жительства кондуктора, чем другие пассажиры - в три раза старше кондуктора - 20 лет в тот день исполниломь пассажиру Петрову - У электрика Сидоров (из бригады) выиграл в биллиард Какая фамилия у машиниста? Ответ: Сидоров 6. Три сестры: Полли, Сара и Ада. Они приехали из деревни в большой город учиться. Одна сестра стала строителем, одна архитектором, а третья поваром. Позже все сестры вышли замуж. Одного мужа звали господин Адамсон, второго просто Педро, а третьего величали доктором Смитом. Ни у кого в семьях не совпали первые буквы профессии, имени мужа и жены. (Сара не стала строителем и ее муж не Смит). Жена Педро не строитель. Как зовут жену доктора? Ответ: Ада. Она же повар. 7. Царь призвал ко двору трех богатырей. И спрашивает: - Кто убил Змея Горыныча? Илья Муромец сказал: — Змея убил Добрыня Никитич. Добрыня Никитич сказал: — Змея убил Алёша Попович. Алёша Попович сказал: — Я убил змея. Только один богатырь сказал правду, остальные два слукавили. Так кто же убил Змея Горыныча? Правду сказал Илья Муромец: Змея убил Добрыня Никитич. Вывод: 2 слукавили заведамо известно, т.е. если правду сказал "Алёша Попович сказал: — Я убил змея.", то высказывание "Добрыня Никитич сказал: — Змея убил Алёша Попович." тоже правда, а это исключают условия задачи! Все просто!!! |