КМ_РГР_ПРО-328_ЯмалтдиноваАА. Компьютерное моделирование

• Название: Компьютерное моделирование
• Анкор: lab 2
• Дата: 20.04.2023
• Размер: 187.29 Kb.
• Имя файла: КМ_РГР_ПРО-328_ЯмалтдиноваАА.docx
• Тип: Анализ; #1075890

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Уфимский университет науки и технологий»
Факультет информатики и робототехники
Кафедра вычислительной математики и кибернетики

Расчетно-графическая работа

«Имитация СМО с одним устройством»

по дисциплине

«Компьютерное моделирование»
Выполнил:

студент группы ПРО-328

Ямалтдинова А. А.

Проверила:

Валеева А. Ф.

Уфа 2023

Оглавление

Постановка задачи 2

Пояснения к модели 2

Оценки модели 3

Описание модели 4

Анализ модели 9

Верификация имитационной модели 10

Вывод 10

1. Написать имитационный алгоритм и программу.

2. Выполнить верификацию имитационной программы.

3. Провести анализ очереди из клиентов в течение интервала времени [0, T].

Во всех моделях СМО предполагается, что клиенты прибывают согласно неоднородному Пуассоновскому процессу с ограниченной функцией интенсивности .

Постановка задачи

Имеется парикмахерская с одним устройством, куда пребывают клиенты. График с 8 до 20, в среднем в час поступает 3 клиента.

Допущения:

• 
  Клиенты пребывают в систему, имеющую одно устройство и одну очередь.
  
• 
  Когда клиенты поступают в систему, если устройство занято, то они образуют очередь, иначе поступают на устройство.
  
• 
  Когда обслуживание клиента заканчивается, он покидает систему и клиент, который дольше всех находится в очереди, начинает обслуживаться.
  

Пояснения к модели

• 
  Устройство обслуживания – робот-парикмахер
  
• 
  Требование – клиенты
  
• 
  Единица времени – час
  
• 
  Интенсивность – 3 человека в час
  
• 
  Функция интенсивности –
  
• 
  Время работы T – 12 часов (с 8 до 20)
  

Обеденный перерыв отсутствует, есть вероятность переработки (последний клиент уйдет после закрытия магазина).

Оценки модели

• 
  Оценка ожидаемой средней задержки клиентов в очереди:
  

, — время задержки клиента iв очереди, - число клиентов, которые прибыли в период времени

• 
  Оценку ожидаемого среднего числа клиентов в очереди:
  

- число клиентов в системе в период времени .

• 
  Оценка занятости устройства – ожидаемый коэффициент использования устройства (время, когда устройство занято/период моделированияT), где функция занятости В(t):
  

• 
  Среднее время, в течение которого клиент проводит в системе, вычисляется как:
  

,

где - это количество времени, в течение которого клиент проводит в системе; - общее число клиентов, которые пришли до времени .

• 
  (оценки для математических ожиданий , имитация проводится раз, - достаточно велико).
  

Описание модели

Вспомогательные функции

• 
  Функция интенсивности
  Входные данные:
  t – время в системе.
  Выходные данные:
  Значение функции интенсивности в момент времени t.
  Функция интенсивности:
  
  
• 
  Функция генерации неоднородного пуассоновского процесса
  Входные данные:
  s – время в системе
  L – интенсивность появления событий
  Выходные данные:
  t – время следующего события в системе
  Алгоритм (poisson(t, lambd)):
  

1. 
   Присвоить t = s
   
2. 
   Генерируем случайную переменную U1 = Uniform[0, 1]
   
3. 
   Присвоить t =
   
4. 
   Генерируем случайную переменную U2 = Uniform[0, 1], независимую от U1.
   
5. 
   Если , то:
   
   1. 
      T_s = t
      
   2. 
      Конец алгоритма
      
6. 
   Иначе повторить с шага 2.
   

• 
  Функция генерации случайной величины
  Входные данные:
  L – интенсивность появления событий
  Выходные данные:
  Y – значение показателей случайной величины
  Алгоритм (exponentional(lambd)):
  

1. 
   Генерируем случайное число U = Uniform[0, 1]
   
2. 
   Возвращаем величину Y =
   

Реализация алгоритма. Процедуры работы СМО.

Переменная времени:

Количественные переменные:

- число прибывших клиентов к моменту времени

- число уходов клиентов к моменту времени

Переменная состояния:

- число клиентов в системе к моменту времени

События: пребывания и уходы клиентов.

Список событий:

- время следующего прибытия клиента (после );

- время завершения работы устройства после обслуживания клиента

( если никакой клиент в данный момент не обслужен).

Случайные переменные:

— время поступления клиента ;

— время между поступлениями клиентов i - 1 и (t₀= 0);

— время, потраченное устройством на обслуживание клиентаi

(без учета времени задержки клиента в очереди);

— время задержки клиента iв очереди;

— время ухода клиента iпо завершении

обслуживания;

— время возникновения события j любого типа.

Выходные переменные:

- время прибытия клиента

- время ухода клиента

- время после , когда последний клиент уходит

- количество времени, в течение которого клиент проводит в системе

- оценка среднего времени после , когда уходит последний клиент

- оценка среднего времени, в течение которого клиент проводит в системе

,

- наблюдаемое значение (время после , когда ушел последний клиент)

- число клиентов в системе в период времени

Amount – количество клиентов за смену

Tp – время задержки закрытия

– среднее время клиентов в очереди

– среднее время клиента в системе

1-Work/T – коэффициент занятости устройства

– средняя длина очереди

События:

• 
  прибытие клиента
  
• 
  уход клиента
  
• 
  клиент ушел – но очередь не пуста
  
• 
  клиент ушел – и время работы закончилось
  

Общая схема алгоритма имитации СМО с одним устройством:

Пусть - случайная переменная – время обслуживания устройства с распределением .

Инициализация переменных

Присвоить

Присвоить

Генерировать и присвоить =

Изменения системы будут происходить в зависимости от того, какое событие будет следующим – прибытие или уход клиента, при этом рассматриваются различные случаи.

Случай 1 – прибытие клиента(t_A t_D, t_A T)

Алгоритм:

1. 
   Присвоить t = t_A (движение вдоль оси времени ко времени t_A)
   
2. 
   Присвоить N_A = N_A+1 (подсчитано более одного прибытия к моменту времени t_A)
   
3. 
   Присвоить n = n+1 (в настоящее время имеется более одного клиента)
   
4. 
   Запустить функцию генерации неоднородного пуассоновского процесса (poisson(t, lambd)) и присвоить полученное значение t_{A (}время следующего прибытия клиента)
   
5. 
   Если n = 1, генерировать случайную переменную Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределение и присвоить t_D= t+ Y(exponentional(lambd))
   
6. 
   Запомнить выходные данные A(N_A) = t (время прибытия клиента N_A)
   

Случай 2 – уход клиента (t_D t_A, t_D T)

Алгоритм:

1. 
   Присвоить t = t_D (движение вдоль оси времени до времени t_D)
   
2. 
   Присвоить N_D = N_D+1 (подсчитано более одного ухода клиента)
   
3. 
   Присвоить n = n-1 (имеется меньше одного клиента)
   
4. 
   Если n= 0, присвоить t_D = , иначе генерировать случайную величину Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределение и присвоить t_D= t+ Y(exponentional(lambd))
   
5. 
   Запомнить выходные данные D(N_D) = t(время ухода клиента N_D)
   

Случай 3 – время работы закончилось, а клиенты еще есть в системе (min(tA , tD,)> T, n>0)

Алгоритм:

1. 
   Присвоить t = t_D (движение вдоль оси времени до времени t_D)
   
2. 
   Присвоить N_D = N_D+1 (подсчитано более одного ухода клиента)
   
3. 
   Присвоить n = n-1 (имеется меньше одного клиента)
   
4. 
   Если n>0, генерировать случайную величину Y(exponentional(lambd)) имеющую показательное распределениеи присвоить t_D= t+ Y(exponentional(lambd))
   
5. 
   Запомнить выходные данные D(N_D) = t(клиент N_Dушел)
   

Случай 4 – время работы закончилось, клиентов в сети нет (min(tA, tD)>T, n=0)

Алгоритм:

1. 
   Запомнить выходные данные
   

После того, как время работы закончилось и клиентов в сети нет, выводим:

Amount – количество клиентов за смену

Tp – время задержки закрытия

– среднее время клиентов в очереди

– среднее время клиента в системе

1-Work/T – коэффициент занятости устройства

– средняя длина очереди

Анализ модели

После тестового запуска программы получены следующие результаты:

Верификация имитационной модели

Для проверки правильности программы необходимо проверить выходные данные имитации с результатами, полученными вручную. В качестве примера возьмем среднее время, проведенное клиентами в системе.

Используя значения из таблицы, а именно последний столбец, посчитаем среднее время, проведенное клиентами в системе:

S_T=(0,02+0,22+0,189+0,06+0,582+0,685+0,012+0,049+0,256+0,673+0,87+0,746)/12=0,3635

Программа показала результат: 0,3635318350220285

∆=|0,3635318350220285-0,3635|=0,0000318350220285 часов. Расхождения значений возникли из-за погрешности округления.

Используя значения таблицы, посчитаем среднюю задержку клиентов в очереди:

=(0,218+0,181)/12=0,03325

Программа показала результат: 0,033259528932400396

∆=|0,03325-0,033259528932400396|=0,000009528932400396 часов. Расхождения значений возникли из-за погрешности округления.

Вывод

В ходе расчетно-графической работы была спроектирована модель работы центра выдачи заказов с одним устройством обслуживания.

На основе выходных данных посчитаны оценки:

• 
  среднего времени, в течение которого клиент проводит в системе
  
• 
  среднего времени после, когда уходит последний клиент
  
• 
  ожидаемой средней задержки клиентов в очереди
  
• 
  занятости устройства.
  

Также были проведены верификация модели и оценка неизвестного параметра.