конспект, план,. Конспект лекций Электрические заряды. Взаимодействие зарядов. Рух заряджених частинок у полі

• Название: Конспект лекций Электрические заряды. Взаимодействие зарядов. Рух заряджених частинок у полі
• Дата: 28.05.2018
• Размер: 483.31 Kb.
• Имя файла: конспект, план,.docx
• Тип: Конспект; #45186
• страница: 2 из 3

Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Еdl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как

. (1.4)

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Как известно из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю.

Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают .

Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т.е.

.

Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора Е.

Рис. 1.3

Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2b1 (рис. 1.3). Так как линейный интеграл (1.4) — обозначим его ₁₂ — не зависит от пути между точками 1 и 2, то С другой стороны, ясно, что



где — интеграл по тому же участку b, но в обратном направлении.

Поэтому

,

что и требовалось доказать.

Поле, для которого циркуляция вектора равна 0 () называют потенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.

Рассчитаем работу, совершаемую полем положительного точечного заряда q (рис. 1.4) по перемещению положительного пробного заряда q₀ из точки 1 в точку 2.

Рис. 1.4

В процессе его движения сила взаимодействия



зарядов q и q₀ будет меняться.

Сначала определим элементарную работу на малом участке пути dl, на котором эту силу можно считать постоянной:

,

где  — угол между перемещением и силой .

Учитывая, что dl cos = dr, найдем полную работу суммированием элементарных работ на всем пути 1  2:
. (1.5)

Отсюда видно, что работа кулоновских сил определяется только начальным и конечным положениями пробного заряда q₀. Это означает, что электростатическое поле является потенциальным, а кулоновские силы — консервативными.

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

.

Сопоставляя это равенство с выражением (1.5), получим формулу для потенциальной энергии заряда q₀, находящегося в поле заряда q:

.

Если принять в бесконечности W_p = 0, то постоянная С будет равна нулю. Тогда

. (1.6)

Отношение не зависит от значения пробного заряда q₀ и является энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом.
Потенциал — скалярная физическая величина, характеризующая способность поля совершать работу и измеряемая отношением потенциальной энергии пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к значению этого заряда. Можно также сказать, что потенциал данной точки поля равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного заряда из этой точки поля в бесконечность:

.

Потенциал поля точечного заряда q выражается формулой

.

Если заряд q перемещается из точки с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂, то силы поля совершают работу

, (1.7)

равную произведению заряда на разность потенциалов ₁ – ₂.

Знак потенциала определяется знаком заряда, создающего поле. Если поле образовано системой зарядов, то потенциал  равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

.

Точки пространства, в которых потенциал имеет одно и то же значение, образуют поверхность, называемую эквипотенциальной. Перемещение заряда вдоль этой поверхности не сопровождается работой ( = const, d = 0). Это означает, что силы электрического поля, а следовательно, и линии напряженности перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

За единицу потенциала принят вольт (В):

.

В атомной физике и химии широко применяется внесистемная единица энергии — электронвольт (эВ). За 1 эВ принимается энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов 1В. На основе формулы (1.7) находим:

1 эВ = 1,6  10^–19 Кл  1В = 1,6  10^–19Дж.

Для сравнения заметим, что энергия теплового движения молекул при комнатной температуре (Т  300 К) имеет порядок:

.

Здесь k = 1,38  10^–23 Дж/К — постоянная Больцмана.

Рис. 1.5

Потенциальные кривые на рис. 1.5 выражают зависимость потенциальной энергии двух точечных зарядов (1.6) от расстояния rмежду ними (для одноименных зарядов W_p > 0 и для разноименных W_p < 0). Так как обе потенциальные кривые не имеют минимума (потенциальной ямы), то система из двух неподвижных зарядов не может находиться в устойчивом равновесии: под действием кулоновских сил одноименные заряды расходятся на бесконечно большое расстояние, а разноименные — сближаются до слияния и нейтрализации. Это утверждение оказывается справедливым для любого числа зарядов при любом их расположении: всякая конфигурация покоящихся электрических зарядов неустойчива, если между ними действуют только кулоновские силы.

Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля

Рис. 1.6

Две основные характеристики электрического поля — напряженность и потенциал  — связаны между собой. Это можно показать, перемещая положительный точечный заряд q₀ на малое расстояние dl из точки 1 в точку 2 (рис. 1.6) в поле с напряженностью . Через точки 1 и 2 проходят эквипотенциальные поверхности с потенциалами ₁ и ₂ (пусть ₁ > ₂). Если перемещение dl составляет угол  с направлением вектора , то работу dA можно выразить так:

. (1.8)

С другой стороны, согласно формуле(1.7):

, (1.9)

где d = ₂ – ₁.

Приравняв выражения для работы (1.8) и (1.9) и учитывая, что dl cos  = dn есть кратчайшее расстояние между эквипотенциальными поверхностями, измеренное по нормали к ним, т.е. вдоль линии напряженности, получим:

. (1.10)

Это значит, что модуль напряженности поля в данной точке определяется быстротой падения потенциала вдоль линии напряженности. Знак «–» показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала. Величина называется градиентом потенциала.

Для однородного поля выражение (1.10) приобретает простой вид:

, (1.11)

где d — расстояние вдоль линии напряженности между точками с потенциалами ₁ и ₂.

Согласно формуле (1.10) напряженность электрического поля может выражаться в вольтах на метр, причем

1 В/м = 1Н/Кл.

III. Вирішування задач

Задача 1. Дві однакові кульки масою по 1,2 г кожна підвішені в повітрі в одній Згативного заряду, кульки розійшлися на відстань 60 см. Скільки електронів було передано кульці? Елементарний електричний заряд дорівнює 1,6 ∙ 10^-19 Кл. Вважайте, що g = 10 м/с².

Розв'язок:

Кількість електронів можна знайти, якщо модуль заряду кульки розділити на модуль заряду електрона: N = .

Кульки однакові, тому під час взаємодії заряд, який набула одна з кульок, ділиться порівну, отже, Q₁ = Q₂ = .

Під час розв'язування цієї задачі звернемо увагу на три основні моменти, що можуть бути корисними.

Якщо під час взаємодії тіло отримує електричний заряд, то воно віддає або одержує певну кількість електронів. Модуль заряду, якого набуває тіло, у будь-якому разі розраховується за формулою |q| = N|e|,

де N — кількість електронів;

|е| — модуль заряду електрона (елементарний заряд).

На кульку 1 діють три сили: сила тяжіння m сила натягу нитки  і сила Кулона _к (див. рисунок).

Запишемо векторне рівняння та знайдемо проекції сил на осі координат:

_к +  + m = 0;



Поділимо почленно перше рівняння системи на друге:

 =    =   tga = .

У замкненій системі виконується закон збереження електричного заряду: під час взаємодії повний заряд системи залишається незмінним.

• Якщо взаємодіють два (або декілька) однакові за розміром тіла, то після взаємодії їх заряди також будуть однакові (за модулем і знаком).

• Якщо взаємодіють різні за розміром тіла, то найбільше тіло набуває більшого за модулем заряду.

tga =  =  =  = ;

діелектрична проникність повітря наближається до 1, тому F_к = k .

Врахуємо, що q₁ = q₂ = : Fк = k = .

Отже, маємо:

 =   q² =   |q| =  = 1,2 ∙ 10^-6 (Кл).

Розрахуємо кількість електронів, яку передано кульці:

N =  =7,5 . 10¹².

Задача 2. Дві невеликі заряджені кульки (див. рисунок) перебувають у повітрі на відстані 0,9 м одна від одної. Модулі зарядів кульок відповідно дорівнюють 2 і 5 мкКл. Точка А розташована на відстані 0,3 м від кульки із зарядом q1. Встановіть відповідність між знаками зарядів кульок і напруженістю поля у точці А.



1 Обидва заряди позитивні

2 Обидва заряди негативні

3 Заряд q₁ — позитивний, заряд q₂ — негативний

4 Заряд q₁ — негативний, заряд q₂ — позитивний

А 0

Б 7,5 ∙ 10⁴ (), ліворуч

В 3,25 ∙ 10⁵ (), ліворуч

Г 7,5 ∙ 10⁴ (), праворуч

Д 3,25 ∙ 10⁵ (), праворуч

Під час розв'язування подібних задач слід пам'ятати, що модуль напруженості електричного поля, створеного точковим зарядом q, розраховується за формулою

Е = k.

Напрямок напруженості поля у деякій точці збігається з напрямком кулонівської сили, що діяла б на пробний позитивний заряд, якщо його помістили у цю точку поля.

Розв'язання

Кульки невеликі, тому заряди можна вважати точковими.

Визначимо модулі напруженості полів, створених зарядами q₁ і q₂, врахуємо, що кульки перебувають у повітрі, отже,  = 1.

Кулька із зарядом q₁ : |q₁| = 2 ∙ 10^-6Кл, r₁ = 0,3 м;

 = 2 ∙ 10⁵ () .

Кулька із зарядом q₂:

|q₁| = 5 ∙ 10^-6 Кл, r₂ = 0,9 - 0,3 = 0,6 (м);

 = 1,25 ∙ 10⁵ ().

Скориставшись принципом суперпозиції, знайдемо напруженість поля у точці А для кожного випадку. Для визначення напрямку вектора напруженості подумки помістимо у точку А позитивний заряд.

1)   , тому

E = E₁ - E₂ = 2 ∙ 10⁵ - 1,25 ∙ 10⁵ = 7,5 ∙ 10⁴ ().

Відповідність: 1 Г.

2)   , тому

E = E₁ - E₂ = 2 ∙ 10⁵ - 1,25 ∙ 10⁵ = 7,5 ∙ 10⁴ ().

Відповідність: 2 Б.

3)   , тому

E = E₁ - E₂ = 2 ∙ 10⁵ - 1,25 ∙ 10⁵ = 3,25 ∙ 10⁵ ().

Відповідність: 3 — Д.

4)   , тому

E = E₁ - E₂ = 2 ∙ 10⁵ - 1,25 ∙ 10⁵ = 3,25 ∙ 10⁵ ().

Відповідність: 4 — В.

Bідповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — В.

IV.Підбиття підсумків заняття

1) Оцінювання студентів

2) Аналіз досягнення мети пари

V. Домашнє завдання

1. Невелика крапля, що втратила 5 ∙ 10⁹ електронів, перебуває в рівновазі в однорідному вертикальному електричному полі у вакуумі. Визначте (у міліграмах) масу краплі, якщо напруженість поля дорівнює 500 В/м. Вважайте, що g = 10 м/с². Елементарний електричний заряд дорівнює 1,6 ∙ 10^-19 Кл.

Рекомендації до розв'язання. Сила, з якою однорідне електричне поле діє на заряд q, однакова в будь-якій точці однорідного електричного поля і розраховується за формулою

 = q.

2. В однорідному електричному полі, утвореному двома вертикальними пластинами (див. рисунок), на тонкій шовковій нитці підвішена кулька масою 1 г. Після того як кульці передали заряд 2 мкКл, вона відхилилася на кут 45° від вертикалі. Визначте (у кілоньютонах на кулон) напруженість поля між пластинами. Вважайте, що g = 10 м/с².