Лекция 4 Связь между потенциалом и вектором напряженности электростатического поля

• Название: Лекция 4 Связь между потенциалом и вектором напряженности электростатического поля
• Дата: 19.04.2023
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: lke4.pdf
• Тип: Лекция; #1074016

Лекция № 4
Связь между
потенциалом и
вектором
напряженности
электростатического
поля

Содержание лекции:

Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля

Связь между потенциалом и
вектором напряженности
электростатического поля

Ротор вектора
электростатического поля

Уравнения Лапласа и Пуассона
2

Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля
Электростатическое поле образованное системой неподвижных зарядов – поле центральных сил т.е., консервативное.
Элементарная работа сил поля по перемещению пробного заряда из т.1 в т.2 будет равна
l
d
E
q
dA




А вся работа равна:


2 1
l
d
E
q
A


Такой интеграл по замкнутому контуру называют
циркуляцией вектора
.
E

Утверждение, что циркуляция вектора в электростатическом поле равна нулю
E



0
l
d
E


называют теоремой о
циркуляции вектора
E


Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что
,
1 2
2 1




Edl
Edl
тогда
0 1
2 2
1






l
d
E
q
l
d
E
q
l
d
E
q






Поле, обладающее такими свойствами, называется
потенциальным
Вывод:
линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми.
Линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).

Связь между потенциалом и
напряженностью
Потенциал

это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля.
Напряженность

векторная силовая характеристика электростатического поля.
)
(
2 1
12




q
A




2 1
2 1
12
l
d
E
q
l
d
F
A







2 1
2 1
l
d
E




и т.о.,

Если перемещение параллельно оси х, то
l
d

dx
i
l
d



dx
E
dx
i
E
l
d
E
d
x









dx
d
E
x




















k
z
j
y
i
x
E







Величина, стоящая в
скобках есть
градиент
потенциала




-
E


grad


E

gradφ

это вектор показывающий направление
наискорейшего возрастания потенциала

Знак минус говорит о том, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.



-
E


grad


E

Связь вектора напряженности и потенциала:
Компоненты вектора gradφ определяют скорость пространственного изменения потенциала: х-компонента

/

x показывает, как быстро φ изменяется в направлении х,

/

y

в направлении у,

/

z – в направлении оси z.

Линии напряженности направлены в сторону убывания потенциала и всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Геометрическое место точек постоянного потенциала называется поверхностью равного потенциала или
эквипотенциальной
поверхностью
)
,
,
(
const
z
y
x



Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности

Через равные приращения потенциала Δφ чертят эквипотенциальные поверхности, а затем для полноты картины проводят силовые линии, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Там, где расстояние между эквипотенциальными поверхностями мало, напряженность поля велика и наоборот.

k
z
j
y
i
x













- оператор набла или оператор Гамильтона
k
z
j
y
i
x



















grad


z
a
y
a
x
a
a
a
a
a
z
y
x
z
z
y
y
x
x

















a
div
a





z
y
x
a
a
a
z
y
x
k
j
i












]
a
,
[


a
rot
a




,

 

0
,









grad
rot


0




a
a
rot
div



Ротор вектора
Ротором называется вектор, проекция которого на направление n определяется формулой:
S
l
d
A
A
rot
S
Δ
lim
0
Δ






Ротор характеризует интенсивность
«завихрения» вектора.
Теорема
Стокса
(связь между контурным и поверхностным интегралами
)
:



S
L
S
d
A
l
d
A




rot

Для электрического поля



S
L
S
d
E
l
d
E




rot
,
0


l
d
E


Так как
0
rot

E

следовательно
- дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля.
Таким образом кулоновское
электростатическое поле – безвихревое.

Уравнения Лапласа и Пуассона
0
d i v E



Распишем дивергенцию вектора напряженности электрического поля:
Теорема Гаусса в дифференциальной форме g ra d
E
i
j
k
x
y
z


 
 
 
 
  











2 2
2 2
2 2
d iv d iv g ra d
E
x
y
z


 
 
 
 
  












2 2
2 2
2 2
0
,
,
x y z
x
y
z

 
 
 


 




Откуда или
0

   

Δφ ( φ) – оператор Лапласа (лапласиан)
0 2
ε
ρ




- уравнение Пуассона
2

В области пространства, где заряды отсутствуют

=0 0
2



- уравнение Лапласа

Теорема единственности
Определение потенциала сводится к нахождению такой функции

, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям
Лапласа или
Пуассона, а на поверхности проводников принимает заданные значения

1
,

2
и т.д.
Это утверждение называют
теоремой
единственности.
С физической точки зрения это утверждение очевидно: если решение не одно, то будет не один потенциальный рельеф. Это не возможно.