Лекций по геодезий. Конспект лекций по геодезии' Ош Раздел общие сведения по геодезии лекция Основные понятия
 Скачать 0.67 Mb.
|
Раздел ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ГЕОДЕЗИИ Лекция 1. Основные понятия § 1. Предмет геодезии Г е оде з и я - наука о методах определения фигуры и размеров Земли и изображении ее поверхности на картах и планах, а также о способах проведения специальных измерений, необходимых для решения разнообразных задач при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений. Геодезия - греческое слово, в переводе на русский язык означает землеразделение. Обилие и разнообразие задач, решаемых геодезией, вызвало деление ее наряд относительно самостоятельных научных и научно-технических дисциплин. Так, разработка методов определения фигуры и размеров Земли, изучение горизонтальных и вертикальных движений земной коры, создание государственной геодезической сети страны - предмет высшей геодезии. Изучением методов изображения сравнительно небольших участков поверхности Земли на плоскости занимается топография, Разработка теории и способов изображения на плоскости значительных частей земной поверхности составляет предмет картографии Фото топография и аэрофототопография занимаются разработкой методов создания планов и карт по фотоснимками аэроснимкам местности. Инженерная прикладная) геодезия занимается изучением методов геодезических работ, выполняемых при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений, включая наблюдения за осадками и деформациями последних 2. Роль геодезии в народном хозяйстве и обороне страны Рост производительных сил страны невозможен без знания ее территории в топографическом отношении. Эта задача успешно решается при помощи карт различных масштабов, создаваемых по результатам геодезических работ. Геодезия играет важную роль при решении многих весьма ответственных задач, например при изыскании, проектировании и строительстве гидротехнических сооружений (ГЭС, судоходных, оросительных и осушительных каналов и пр, железных и автогужевых дорог, городов и сельских населенных пунктов, аэродромов, подземных сооружений (метрополитена, шахт, кабельных линий, различных трубопроводов, воздушных сетей (линий связи и электропередач большой объем геодезических работ выполняется при землеустройстве и лесоустройстве. Рост технического уровня производства и научных исследований положил начало созданию уникальных сооружений, как, например, автоматических линий большой протяженности, мощных ускорителей ядерных частиц и пр. Монтаж оборудования такого рода сооружений должен быть выполнен с весьма высокой точностью (10-20 мкм в плане и по высоте опыт показывает, что такие задачи успешно решаются методами геодезии. Геодезические методы измерений весьма высокой точности широко применяются при наблюдениях за деформациями и осадками инженерных сооружений в периоды их строительства и эксплуатации. Велико значение геодезии в обороне страны. Вся армия в целом нуждается в картах различных масштабов по ним изучают местность, разрабатывают боевые операции войск. Пуск ракет различной дальности действия осуществляется с использованием геодезической информации. Некоторые рода войск имеют в своем составе геодезические подразделения 3. Связь геодезии с другими научными дисциплинами Современная геодезия широко использует при решении стоящих переднею задач достижения в области математики, астрономии, физики, электроники, географии, геоморфологии и других научных дисциплин. Математика вооружает геодезию средствами математического анализа и методами обработки результатов геодезических измерений. Астрономия обеспечивает геодезию исходными данными. Достижения в области физики, механики и электроники помогают создавать новые оптические приборы. Знания в области географии и геоморфологии способствуют правильному пониманию и изображению на топографических планах и картах ландшафта местности. В свою очередь, планы и карты служат основой для изображения и анализа научных и практических результатов в географии, геологии и других науках о Земле. Картографические материалы необходимы для изучения природных ресурсов, планомерного размещения производительных сил страны Раздел СВЕДЕНИЯ О ФИГУРЕ ЗЕМЛИ И СИСТЕМАХ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОДЕЗИИ Лекция 2. Форма и размеры Земли § 4. Отвесная линия и уроненная поверхность Геодезические измерения, выполняемые в любой точке физической поверхности Земли, связаны с направлением отвесной линии в этой точке. Например, при измерении горизонтального угла теодолитом ось вращения его совмещают с отвесной линией, проходящей через вершину угла Геометрическое нивелирование выполняют горизонтальным лучом визирования, те. перпендикулярным отвесной линии в точке установки нивелира. Измеренное расстояние между точками местности проектируют на горизонтальную плоскость при помощи отвесных линий в этих точках. Простейший прибор - отвес показывает направление действия силы тяжести Земли подвешенный на нити груз под действием силы тяжести натягивает нить, которая и указывает направление отвесной линии в данной точке. Из курса физики известно, что сила тяжести Сесть равнодействующая двух сил силы притяжения Земли Г и центробежной силы Р рис. Вектор силы Р направлен приблизительно к центру Земли Наибольшее значение сила К имеет на полюсах и наименьшее - на экваторе. Сила Р имеет максимальное значение на экваторе, где она составляет приблизительно 1:288 от величины Р. На полюсах сила Р равна нулю. Следовательно, сила Сна земной поверхности непрерывно увеличивается от экватора к полюсами на полюсах имеет максимальное значение. В свою очередь, сила земного притяжения Г есть равнодействующая притяжений всех масс, заключенных в теле Земли. Значит, величина и направление силы обусловлены распределением этих масс (рис. 2). Отсюда следует, что и направление отвесной линии тоже зависит от распределения масс в теле Земли. Из курса физики известно, что в гравитационном поле Земли работа силы тяжести не зависит от формы пути N04 (риса зависит только от положения начальной и конечной точек этого пути. Поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Во всяком потенциальном поле можно провести так называемые уровенные поверхности, те. такие поверхности, при движении материальной точки по которым сила поля работы не совершает. Нетрудно доказать, что в гравитационном поле Земли расстояние между уровенными поверхностями убывает к полюсам «si? Возьмём две точки Ми в плоскости земного меридиана, лежащие на разных, но близких одна к другой, уровенных поверхностях (рис. 4). Согласно сказанному выше о работе силы тяжести, можем написать выражения для работы по пути MaN и по пути MbN и приравнять их: где ДЛ] и bhi - расстояния между уровенными поверхностями, gi и gz - величины ускорений силы тяжести в точках Ми Сила тяжести G возрастает к полюсам, следовательно, gz >gi. Поэтому из равенства легко увидеть, что Ah 2 При равномерном распределении масс (рис. 7) эта поверхность будет занимать положение, показанное пунктиром. При наличии массы Мс преувеличенной плотностью уровенная поверхность будет иметь некоторый выгиб кверху. Рис. 7. Вид уровенной поверхности § 5. Основная уровенная поверхность. Геоид. Эллипсоид Как отмечалось выше, геодезические измерения связаны с направлением отвесной линии в тех точках, в которых они выполнялись. Значит, в каждой такой точке результаты измерений могут быть отнесены именно к той уровенной поверхности, которая проходит через данную точку. Нов таком случае результаты измерений на пунктах какой-либо геодезической сети окажутся отнесенными к различным уровенным поверхностями замкнутых фигур в сети не образуется. В связи с этим возникает необходимость приведения результатов всех геодезических измерений прежде всего к некоторой данной или принятой в качестве общей исходной уровенной поверхности. В качестве основной уровенной поверхности Земли принята поверхность вод морей и океанов в их невозмущенном (спокойном) состоянии, мысленно продолженная под материками таким образом, что в любой ее точке она нормальна (перпендикулярна) отвесной линии в этой точке. Тело, ограниченное основной уровенной поверхностью, называют геоидом, Вследствие неравномерного распределения масс внутри Земли поверхность геоида является весьма сложной и не выражается ни одной из рассматриваемых в математике поверхностей. Поэтому возникла необходимость замены поверхности геоида вспомогательной, возможно ближе подходящей к ней поверхности. В первом приближении уровенную поверхность Земли можно заменить сферой определенного радиуса. Но наиболее близкой к геоиду является фигура, образованная вращением эллипса РЕ РЕ (рис. 8) вокруг малой оси РР, называемой полярной осью • В связи с этим возникает необходимость в определении размеров земного эллипсоида, те. в определении его параметров, большой полуоси а, малой полуоси Ь, сжатия а = (а — Ь аи данных, определяющих положение эллипсоида относительно геоида Эллипсоид, наиболее близко подходящий к фигуре геоида в целом, называется общим земным эллипсоидом. Эллипсоид с определенными параметрами, ориентированный в теле Земли и принятый для производства всех карто-графо- геодезических работ в данной стране, называется рефе-ренц- эллипсоидом. В России и странах СНГ для производства картографических и геодезических работ принят эллипсоид, определение размеров которого и ориентировавание в теле Земли выполнены под руководством Ф.Н. Красовского. • • i Эллипсоид Красовского имеет следующие размеры' • а =1/(298 ,3 ± 1 ,0 ); а = 6378245 ± 60 мВ настоящее время за фигуру Земли принимается тело, ограниченное физической поверхностью Земли, те на суше - поверхностью ее твердой оболочки, а на территории океанов и морей - их невозмущенной поверхностью. Изучение фигуры физической поверхности Земли производится путем определения положения точек местности в избранной системе координат на поверхности фигуры относимое, те. на поверхности рефе- ренц-эллипсоида Красовского. Отметим, что при решении многих задач геодезии за фигуру Земли с достаточной для практических целей точностью принимается шар, равновеликий по объёму эллипсоиду Красовского, с радиусом R = 6371,11 км. Для сравнительно небольших участков земной поверхности в качестве поверхности относимости можно принять горизонтальную плоскость. Горизонтальной называют плоскость, которая нормальна (перпендикулярна) отвесной линии в данной точке поверхности Земли 6. Расчёт размеров участка сферической (уровенной) поверхности Земли для обобщения её до горизонтальной плоскости Пусть ABD (рис. 9) - часть уровенной поверхности Земли, принимаемой за сферу с центром си радиусом R. Обозначим длину дуги ABD через s. Проведем в средней точке В дуги ABD касательную к ней и продолжим радиусы С Аи до пересечения с касательной в точках Аи. Рассчитаем, какая погрешность произойдёт от замены дуги у отрезком касательной A'D' = d. Для этого определим разность С учетом равенства (2.7) вычислим s = Vl2R /1000 « 22 Л км при = 6371,11 км. Следовательно, участок сферической поверхности Земли диаметром 22,1 км, площадью 383,6 км можно с практически неощутимой погрешностью принять за плоский, а кривизной поверхности Земли в пределах указанного участка можно пренебречь. Лекция 3. Определение положения точек земной поверхности и применяемые для этого в геодезии системы координат. Метод проекций в геодезии. Величины, подлежащие измерению Физическая поверхность Земли - сочетание различного рода пространственных форм холмов, котловин, хребтов, лощин, балок, оврагов и т.д. Для изучения такой сложной поверхности в геодезии применяют метод проекций. Так как фигуру Земли в первом приближении принимают за шар, рассмотрим способ проектирования земной поверхности на сферу. Допустим, что поверхности геоида и эллипсоида на некотором участке совпадают, образуя одну уровенную поверхность MN (риса, Пространственный многоугольник ABCDEF физической поверхности Земли проектируют на поверхность MN отвесными линиями. Точки а, Ь, св которых отвесные линии пересекают уровенную поверхность MN, называют горизонтальными проекциями соответствующих точек местности, а многоугольник abcdef - горизонтальной проекцией многоугольника Чтобы по горизонтальной проекции можно было судить о форме пространственного многоугольника, очевидно, необходимо знать вели Аа, Bb, Cc,..., Ff, те. расстояния точек местности по отвесным ли уровенной поверхности Земли, называемые высотами было показано, что небольшой участок сферической и уро поверхностей Земли можно заменить горизонтальной плоско касающейся поверхности в центре этого участка. Поэтому, если местности, заключенный в многоугольнике небольшие размеры, то при проектировании уровенную поверх заменяют горизонтальной плоскостью Р. Линии проектирова и т.д. перпендикулярны плоскости Р, стороны ab ними являются горизонтальными проекциями соответствую углов местности, а плоский многоугольник abcdef проекцией многоугольника ABCDEF, расположенного на фи поверхности Земли. Непосредственными измерениями на мест получают расстояния АВ, ВС,..., FA, горизонтальные углы ними, превышения h углы наклона v линий. От непосредст измеренной длины линии местности, например длине ее проекции на горизонтальную плоскость cos v . Длина ортогональной проекции линии местности на горизонтальную плоскость называется горизонтальным проложением этой линии. Углом наклона (вертикальным углом) зывается Линейный угол в отвесной плоскости между этой линией и ее проекцией на горизонтальную плоскость. По измеренным превышениям вычисляют высоты точек местности. Например, по известной высоте точки Аи превышению И получим высоту § 8. Понятия о плане, карте, профиле линии местности Карта, план - чертежи поверхности Земли, выполненные в той или иной проекции. Планом местности называется уменьшенное и подобное изображение на плоскости (на бумаге, лавсане и пр) горизонтальной проекции небольшого участка земной поверхности. Уменьшенное и искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение на плоскости горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности, построенное по определенным математическим законам, называется картой местности В пределах небольшого участка местности отвесные линии можно счи параллельными 12 Карты и планы называются контурными, если на них изображены лишь контуры и предметы местности. Если кроме перечисленного изображен и рельеф местности, те. совокупность неровностей земной поверхности, то карты и планы называют топографическими. Сечение поверхности Земли отвесной плоскостью, проходящей через концы отрезка линии АВ (рис. 12), называется профилем линии АВ местности. Его уменьшенное изображение на бумаге также называется профилем. Отвесной называют плоскость, содержащую отвесную линию 9. Астрономические и геодезические координаты. Высоты точек поверхности Земли Для определения формы и размеров Земли, изображения поверхности ее на планах и картах необходимо) определить параметры и выполнить ориентирование в теле Земли достаточно простой в геометрическом отношении фигуры относимо-сти - реферещ-эллипсоидсг, 2) из результатов геодезических, астрономических и гравиметрических измерений на поверхности Земли получить величины (координаты, однозначно определяющие положение множества точек поверхности Земли относительно поверхности эллипсоида 3) по результатам математической обработки материалов геодезических измерений определить вид физической поверхности Земли и фигуры Земли в целом. Положение точки на поверхности Земли определяется ее географическими координатами широтой и долготой. По способу определения географические координаты могут быть астрономическими и геодезическими Астрономические координаты определяют поданным наблюдений небесных светили зависят они от направления отвесной линии в данной точке земной поверхности. Примем в качестве уровенной поверхности сферу с центром с (риса. РР - ось вращения Земли. Исходными в указанной системе координат являются плоскость экватора QBDQ' и плоскость начального меридиана PEDP. Согласно международному соглашению, в России за начальный меридиан принят Гринвичский'. Астрономической широтой уточки К называется угол КСВ, образованный отвесной линией КС в точке К с плоскостью QBDQ 1 небесного экватора (тес плоскостью, перпендикулярной оси вращения Земли. Этот угол измеряется дугой меридиана точки Кот' гпнм/iuu К на экваторе) дона полюсе. Широта бывает северная и южная, в зависимости оттого, в каком полушарии расположена точка (в северном или южном). Астрономической долготой /. точки К называется двугранный угол, образованный плоскостями астрономических меридианов данной точки и начального. Плоскостью астрономического меридиана данной точки называется плоскость, проходящая через отвесную линию в этой точке и параллельная оси вращения Земли. Счет долгот ведется от гринвичского меридиана на восток и запад их величина может изменяться от 0 до 180°; так, точка К имеет восточную долготу, а точка М -западную. Геодезические координаты относятся к принятому земному эллипсоиду и определяются в данной точке положением нормали к поверхности эллипсоида относительно плоскостей экватора и начального меридиана (рис. Геодезической широтой В точки К называется угол КОВ, который образует нормаль КС 1 с плоскостью экватора. Геодезической долготой L точки К называется двугранный угол, образованный плоскостями геодезических меридианов данной" точки и начального Меридиан, проходящий через центр главного зала. Гринвичской обсерватории Гринвич - городской округ г. Лондона 15 Плоскостью геодезического меридиана данной точки называется плоскость, содержащая нормаль к поверхности эллипсоида в этой точке и полярную ось PP. Сечение поверхности эллипсоида этой плоскостью называется геодезическим меридианом. Геодезические меридианы - эллипсы. Сечения поверхности эллипсоида плоскостями, перпендикулярными нормальными) полярной оси, - геодезические параллели. Геодезические параллели - окружности. Счет и название геодезических широт аналогичен астрономическим. Счет геодезических долгот ведется от гринвичского меридиана на восток от 0° до Положение точки на поверхности земного эллипсоида вполне определяется геодезическими координатами геодезической широтой В и геодезической долготой L. Для определения положения точки А, находящейся на физической поверхности Земли (см. риса, необходимо знать третью величину - высоту см. риса ирис. Счет абсолютных высот ведется от ноля Кронштадского футштока*. Условной высотой точки земной поверхности называется расстояние этой точки до уровенной поверхности, не совпадающей с основной, измеренное по отвесной линии в данной точке. Превышением h относительной высотой) точки В над точкой А называется расстояние точки В до уровенной поверхности точки А, измеренное по нормали к этой поверхности. Геодезические измерения по определению высот точек земной поверхности называются нивелированием. Численное выражение высоты точки называется высотной отметкой или просто отметкой. Влияние кривизны Земли на определение высот точек При замене небольшого участка BD (рис. 13) уровенной поверхности Земли касательной BD 1 (см. §6 ирис) точка D перемещается в D', в связи с чем меняется ее высота на величину р. Величина р выражает влияние кривизны Земли на высоты точек и назывется поэтому поправкой за кривизну Земли. Определим ее величину. Из прямоугольного треугольника CBD' имеем + d 2 = (R + p) 2 . (2.8) Далее получим d 2 = 2Rp + p 2 , (2.9) откуда p = d 2 /(2P + p). (Так как р весьма мало по сравнению сто в знаменателе правой части равенства его можно отбросить. Тогда окончательно получим р = d z / Рис. 12. Высоты точек Высоты бывают абсолютные Н ВВ Ь условные И' = ВВ 2 и относительные или превышения) И = ВВ 3 . Абсолютной высотой точки земной поверхности называется расстояние ее до основной уровенной поверхности Земли, измеренное по нормали к поверхности эллипсоида. В России и странах СНГ в качестве основной уровенной поверхности принята поверхность, совпадающая со средним уровнем воды Финского залива Балтийского моря. 16 Легко подсчитать, что при d Рис. 13. Поправка за кривизну Земли - 1 км и R = 6371 км р = 78,5 мм, а прим мм. Следует иметь ввиду, что высоты точек местности часто необходимо знать с точностью до 1,0 мм. Поэтому даже при коротких расстояниях (50 -гм) влияние кривизны Земли на высоты точек необходимо учитывать Он представляет собой медную пластину, замурованную в один из устоев моста обводного канала в Кронштадте нанесенная на пластину черта является нулем футштока Название образовалось путем соединения английского слова^оо/ (фуг) с немецким stock палка, шест. ; , 17 (2.11) Лекция 4. Зональная и условная системы плоских прямоугольных координат. Проекция Гаусса - Крюгера* В СССР с 1928 г. для составления топографических карт используется равноугольная (конформная) поперечно-цилиндрическая проекция, предложенная К.Ф. Гауссом. Сущность проекции Гаусса состоит в следующем. Представим, что земной шар вписан в цилиндр (рис. 14), который касается его по центральному (осевому) меридиану зоны ГОТ. Ось цилиндра НН 1 расположена в плоскости экватора Q'OQ и проходит через центр С шара. Плоское изображение-каждой зоны получают путём проектирования ее определенным образом на боковую поверхность цилиндра, касающегося осевого меридиана зоны. После чего цилиндр разрезается по образующей КК' и его боковая поверхность развёртывается на плоскости. При проектировании зоны Гаусс поставил условие, чтобы изображение малого участка на цилиндре было подобно соответствующему участку на сфере следовательно, углы между соответствующими линиями на шаре и на плоскости равны между собой. Рис. 14. К проекции Гаусса - Крюгера * Проекция разработана Гауссом в х годах XIX в в 1912 г. Крюгер в работе "Конформное изображение земного эллипсоида на плоскости" предложил формулы для вычисления в этой проекции. 18 Выполнение этого условия приводит к увеличению длин линий на плоскости. Величину искажения As линий проекции можно вычислить по формуле = y2 где As = S - s; s - длина линии на шаре S - длина проекции линии Y - расстояние от осевого меридиана зоны до средней точки линии R - радиус земного шара (R = 6371,11 км). Рис. 15. Проекции зон Для территории СНГ на широтах 36° <. ср :£ 70° величина линейного искажения на краях зоны меняется от 1 /1100 до 1 / 6000. Такие величины не превышают графических погрешностей построения карт масштаба 1:10 000, поэтому масштаб изображения на таких и более мелкого масштаба каргах в проекции Гаусса остается постоянным. Для планов масштабов 1:5000 и крупнее применяются трехградусные зоны. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Проектируя последовательно одну зону за другой, получают изображение поверхности земного шара в виде шестидесяти плоских двуугольников (рис, 15). 19 § 12. Зональная система плоских прямоугольных координат Данная система образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями, представляющими изображения осевого меридиана зоны и экватора на плоскости. Изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс с положительным направлением на север. Осью ординат является изображение экватора с положительным направлением на восток. Рис. 16, Системы прямоугольных координат Для территории СНГ, расположенной в северном полушарии, абс- сы любых точек положительны. Чтобы сделать положительными и ординаты точек, условились перенести начало счета ординат к западу от осевого меридиана на 500 км (рис. 16). Эти ординаты называются преобразованными. Номер зоны, к которой относятся координаты, указывается перед численным значением преобразованной ординаты. Например, точка с координатами хи у = 9652,66 км находится в зоне №9 на расстоянии 152,66 км к востоку от осевого меридиана этой зоны 13. Условная система плоских прямоугольных координат Для инженерно-геодезических работ, выполняемых на небольших площадях, применяют условную систему прямоугольных координат (рис. 16, б. Ось абсцисс (оХ) такой системы совмещают с меридианом некоторой обычно крайней юго-западной) точки участка либо располагают параллельно основным осям сооружений Положительное направление оси абсцисс (оХ) выбирают на север (на чертеже - вверх, оси ординат (oY) - на восток (на чертеже Применяемая в геодезии система прямоугольных координат называет левой. В ней поворот от оси оХ коси (на наименьший угол) до их совмещения осуществляется по движению часовой стрелки. Раздел ОРИЕНТИРОВАНИЕ ЛИНИЙ Лекция 5. Ориентирование. Ориентирующие углы Ориентировать линию местности - значит определи Под направлением линии понимают горизонтальный угол, образо данной линией и другой, положение которой известно. Линии, которых известно или может быть весьма точно определено в земной поверхности, - меридианы истинные или географи магнитные. Горизонтальные углы, определяющие направления местности, называются ориентирующими. Это истинные (геогра и магнитные азимуты и румбы дирекционные углы и румбы 14. Истинные азимуты и румбы линий местности Истинным азимутом линии местности в данной точке называется горизонтальный угол А (рис. 17), отсчитываемый по движению часовой стрелки от северной части истинного (географического) меридиана этой точки до ориентируемой линии. Истинные азимуты принимают значения 0° до 360°. В геодезии принято различать прямое и обратное линий местности. Так, если KL считать прямым направлением ли будет обратным направлением той же линии. В соответствии угол А является прямым азимутом линии KL в точке М, а угол А Из рис. 17 видно, что те. прямой и обратный азимуты линии в данной точке разнятся на 180°. разных точках Земли меридианы не параллельны между собой, поэто азимуты одной и той же линии в различных ее точках будут неодина Так, в точках Ми линии KL (см. рис. 17) истинные меридианы CiK)i не параллельны меридиану СЮ точки М. Поэтому азимуты точках Ми равны соответственно Аи. Если провес линии С Ю, параллельные меридиану СЮ точки М, то А. Поэтому А ' = Ау где у - угол сближения меридианов - угол между меридианами различных точек местности условились, для точек, расположенных к востоку (в точке MI ) отданной точки (М, считать положительным, а для точек, расположенных к западу отданной точки (в точке М, - отрицательным. Азимут линии KL (см. рис. 17) в точке MI согласно (3.1) будет 4 =4 ±180*. Подставив в эту формулу значение А по (3.2), получим 4 = 4 ±180°+ 7,, (3.4 ) те. прямой и обратный азимуты линии местности в разных ее точках разнятся на 180° + у ь Истинные азимуты определяются из астрономических наблюдений. Формулы для вычисления угла сближения меридианов приведены в § 17,) Во многих случаях при ориентировании линий местности вместо азимутов пользуются румбами. Истинным румбом линии местности называется острый горизонтальный угол между ближайшей (северной или южной) частью истинного меридиана в данной точке и этой линией. Численное значение румба сопровождают названием четверти, в которой находится линия. На рис. 18 показаны истинные румбы линий во всех четырех четвертях. Так, линия MG имеет румб г = ЮЗ:40°; линия МН имеет румб > г = СЗ:30°. Из этого же рисунка видно, что Г АЬ (3.4) ,. г 2 =180°-А 2 ; (3.5) г = А (3.6) г = 360°- А. (3.7) Эти формулы позволяют осуществлять переход от азимутов к румбами обратно. § 15. Магнитные азимуты и румбы линий местности Известно, что под влиянием земного магнетизма свободноподвешенная магнитная стрелка устанавливается в плоскости магнитного меридиана данной точки. Это свойство магнитной стрелки позволяет ориентировать относительно нее линии местности. Магнитным меридианом называется линия, соединяющая магнитные полюсы свободноподвешенной в горизонтальном положении магнитной стрелки 22 Магнитным азимутом линии местности называется горизонтальный угол, отсчитываемый от северной части магнитного меридиана походу часовой стрелки доданной линии. Этот угол принимает значения от 0° до 360°. Магнитным румбом линии местности называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшей части (северной или южной) магнитного меридиана доданной линии. На рис. 19: NS - магнитный меридиан, Ат - магнитный азимут линии KL в точке М, r m - магнитный румб этой линии, СЮ- истинный меридиан точки МА- истинный азимут линии KL в точке МВ каждой данной точке магнитный и истинный меридианы образуют между собой угол & (см. рис. 19), называемый склонением магнитной стрелки. Северный конец магнитной стрелки может отклоняться от истинного меридиана к востоку или западу. В зависимости от этого различают восточное и западное склонение. Восточное склонение принято считать положительным, западное - отрицательным. Из рис. 19 видно, что А = А ш + 5. (3.8) В различных точках Земли склонение магнитной стрелки имеет разную величину. Так, в пределах территории СНГ величина его колеблется от 0° до ± 15°. Но ив одной и той же точке она постепенно меняется. Различают суточные, годовые и вековые изменения склонений. Вследствие этого ориентирование линий с помощью магнитной стрелки допускается при топографо-геодезических работах, не требующих высокой точности. Форма записи магнитного румба соответствует форме записи истинного румба, включая формулы связи с азимутами. § 16. Дирекционные углы и румбы линий местности То обстоятельство, что азимуты линии в разных ее точках неодинаковы, ограничивает их использование для ориентирования геодезических построений, поэтому в большинстве случаев практики для этой цели используют дирекционные углы. Дирекционным углом линии местности называется горизонтальный угол а, отсчитываемый походу часовой стрелки от северной части осевого меридиана зоны или линий, ему параллельных, доданной линии. Пусть СЮ см. рис. 17) - осевой меридиан зоны, а СТО' - линии, ему параллельные дирекционный угол линии KL в любой ее точке ММ и др) равен а . Следовательно, в отличие от азимута дирекционный угол линии в любой ее точке сохраняет свою величину. Из рис видно, что прямой и обратный дирекционные углы линии разнятся между собой нате. а' = а 0 (3.9) Понятие дирекционного румба г ш, форма записи, связь с дирекци- онным углом - полностью соответствуют истинному и магнитному румбам. Для перехода от дирекционного угла а к дирекционному румбу г и обратно применяют формулы связи истинных азимутов Аи румбов. В связи стем, что дирекционный румб используется широко и часто, слово «дирекционный» в его названии обычно опускают. Зависимость дирек- ционных углов с истинными и магнитными азимутами видна на рис. 17, 19 и выражается формулами а Ага А ш + у. (3.11) Средние величины у и 6 для территории, изображенной на листе топографической карты, приводятся за южной рамкой в виде текста и специальной диаграммы, показывающей взаимное расположение истинного, магнитного и осевого меридианов. § 17. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости ' ' Прямая геодезическая задача. По известным координатам ХА, Y A одного из концов отрезка линии местности АВ, длине горизонтального проложения d и дирекционному углу а, азимуту А или румбу г этой линии определить координаты другого конца отрезка (рис. По знакам приращений координат (табл. 1) определяют название четверти, в которой расположен отрезок линии. От румба переходят к значению дирекционного угла а. Таблица 1 Связь румбов и дирекционных углов Знаки приращений координат Номер четверти Название четверти АХ A Y Значения дирекционных углов I СВ + а = г II ЮВ - а = 180° - 1- III ЮЗа+ г IV СЗ + а = 360° - г Раздел ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Лекция 6. Измерения в геодезии § 18. Общие сведения об измерениях . Объектом изучения науки Геодезия является планета Земля - ее форма, размеры, внешнее гравитационное поле. Эти характеристики получают из различных измерений, выполняемых на поверхности Земли. Под измерением физической величины X понимают процесс сравнения этой величины с другой, однородной с ней величиной q, принятой в качестве меры - единицы измерения. Например, длину отрезка линии местности сравнивают с единицей линейных измерений - метром горизонтальный угол, образованный отрезками линий на местности, сравнивают с градусом, градом, радианом. Измерения различают- прямые- косвенные- равноточные; - неравноточные. Под прямыми измерениями понимают такие, при которых определяемую величину получают путём непосредственного сравнения (сопоставления) её с единицей измерения или её производной. Например, длина отрезка линии измеряется стальной лентой или горизонтальный угол на местности измеряется теодолитом, а на бумаге транспортиром и т.д. Косвенными называют измерения, определяемая величина в которых является функцией других непосредственно измеренных величин. Так, для определения длины окружности или площади круга необходимо непосредственно измерить радиус окружности. Равноточными называют измерения, выполненные приборами одного класса точности, специалистами равной квалификации, по одной и той же технологии, в идентичных внешних условиях. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных условий измерения считаются нерав- ноточными. Результатом измерения 1 является число, показывающее, во сколько раз определяемая величина больше или меньше величины, с которой её сравнивали, те. величины, принятой за единицу измерения. 27 т Результаты измерений подразделяют на необходимые и добавочные или избыточные. Так, если одна и та же величина (длина линии, угол треугольника и т.п.) измерена п раз, то один из результатов измерений является необходимым, а п - 1) - добавочными. Добавочные измерения имеют весьма важное значение их сходимость является средством контроля и позволяет судить о качестве результатов измерений они дают возможность получить наиболее надежное значение искомой величины по сравнению с любым отдельно взятым результатом измерения 19. Погрешности результатов измерений Результаты многократных измерений одной и той же физической величины (линии, угла, превышения и т.п.), как правило, различаются между собой и не совпадают сточным (истинным) значением измеряемой величины, те. содержат неизбежные погрешности, вызываемые различными причинами. Под погрешностью А- результата измерения / понимают разность между результатом измерения / физической величины и точным (истинным) значением X этой величины, те = /i.-X, (4.1 ) где, 3,...., п : п - число выполненных измерений. По своим свойствам, характеру возникновения я влияния на результаты измерений, их функции, погрешности подразделяют на грубые, систематические и случайные. Грубые погрешности (промахи) возникают вследствие невнимательности наблюдателя, неисправности прибора, несоблюдении технологии работ, неуч та влияния изменяющихся внешних условий температуры, ветра, видимости и т.п. Обнаружить грубые погрешности можно, используя геометрические свойства наблюдаемого объекта (например, сумму внутренних углов плоского многоугольника, а также выполнением повторных измерений. Так, например, при линейных измерениях пропуск целого пролета, равного длине мерного прибора, можно обнаружить измерением отрезка линии нитяным дальномером, иногда - даже шагами. К систематическим относят такие погрешности результатов измерений, которые входят в эти результаты по определенному закону. Так, если известна длина меры при температуре t 0 , а измерение длины линии местности выполнены при температуре t, то результат измерения длины линии будет содержать систематическую погрешность, пропорциональную разности температур (t - t a ) и длине линии. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключают или сводят до пренебрегаемо малого значения выбором методики измерений или введением поправок в результаты. Случайные погрешности результатов измерений характеризуются тем, что при одинаковых условиях измерений они могут меняться по величине и знаку их нельзя заранее предусмотреть, определить закон воздействия на результат. Статистический анализ, те. анализ результатов больших рядов измерений, позволил для случайных погрешностей выявить ряд их свойств. Первое свойство. Для данных условий измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела (свойство ограниченности, т.е. |А|< Второе свойство. Равные по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные погрешности равновозможны, те. встречаются одинаково часто (свойство симметрии. -. Третье свойство. Малые по абсолютной величине случайные погрешности при измерениях встречаются чаще, чем большие (свойство плотности). Четвертое свойство. Среднее арифметическое из случайных погрешностей и их попарных произведений стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации ), т.е. где/'=1,2,3,...., и j= 1, 2, я, £=2, 3,4,...., л; п- число измерений [ Гауссов символ суммы. . ,.. §20. Задачи теории погрешностей измерений Как было отмечено выше, в результатах измерений неизбежно содержатся погрешности. Поэтому одной из задач теории погрешностей является изучение видов и свойств погрешностей измерений, причин их возникновения. Далее, выполнив измерения, всегда стремятся определить точность полученных результатов. Поэтому в теории погрешностей измерений устанавливаются критерии для оценки точности результатов измерений. Так как результаты измерений вследствие влияния погрешностей разнятся между собой, то возникает задача отыскания наиболее точного по вероятности значения определяемой величины из результатов многократных ее измерений 29 Во многих случаях геодезической практики по результатам измерений вычисляют другие интересующие нас величины. Например, измерив сторону треугольника и два его угла, можно по известным формулам вычислить третий угол и две другие стороны. В таких случаях результаты вычислений являются функциями измеренных величин. По указанной причине, перед теорией погрешностей возникает задача по оценке точности функций измеренных величин. Перечисленные задачи, которые решаются теорией погрешностей измерений, имеют большое значение для правильной организации, проведения геодезических работ и использования их результатов. Кроме того, теория погрешностей геодезических измерений позволяет обоснованно выбрать необходимые для измерений приборы и инструменты, рассчитать ожидаемую точность измерений и окончательного результата, правильно выбрать метод обработки результатов измерений. Лекция 7. Равноточные измерения 21. Вычисление наиболее точного по вероятности значения результата измерений одной и той же величины Пусть некоторая величина, истинное (точное) значение которой X, измерена равно точно п рази получены результаты этих изме- /1, / 2 , з, 4- Составим разности = /i-A; (4.4) i = l , 2,3,..., я истинные случайные погрешности результатов Д измерений, те. уклонения результатов измерений от истинного (точного) значения измеряемой величины. Найдем сумму уравнений (4.4) и разделим ее на число измерений. Величину х = [/] / » называют простой арифметической серединой или средним арифметическим из результатов / ; равноточных измерений. Выражение ТА п = х - X есть истинная случайная погрешность про арифметической середины, те. это уклонение простой арифметической середины от истинного (точного) значения X измеряемой величины. По четвертому свойству случайных погрешностей Таким образом, среднее арифметическое из результатов точных измерений стремится к истинному (точному) значению ряемой величины при неограниченном возрастании числа измерений. Величину х называют еще вероятнепшим значением величины 22. Равноточные измерения. Средняя квадратическая погрешность результата отдельного измерения. Предельная и относительная погрешности В качестве критерия при оценке точности результатов геодезических измерений принята предложенная К.Ф. Гауссом ческая погрешность, вычисляемая по формуле: где А - истинная случайная погрешность результата; п - число измерений. По величине средней квадратической погрешности можно определить предельную погрешность А пред, возможную для данного ряда измерений. В качестве предельной погрешности в геодезии принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность Ь пред . = т. Если в ряду случайных погрешностей результатов равноточных измерений встречаются такие, которые по абсолютной величине превышают предельную, то такие погрешности считают грубыми. Измерения, в которых обнаружены эти погрешности, выполняют заново. 31 |