Вычислительная математика лекции. Конспект лекций. Санкт петербург 2011 2 Оглавление
 Скачать 3.86 Mb.
|
|
Пример. Пусть задана табличная функция x 0 x 1 x 2 f 0 f 1 f 2 Требуется найти оценку производной функции в узле x 0 , полагая что узлы таблицы расположены с постоянным шагом h. Интерполяционный полином для заданной таблицы 1 2 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x p x f f f x x x x x x x x x x x x , и погрешность интерполирования (3) 0 1 2 2 ( )( )( ) ( , ) ( ) 6 x x x x x x R f x f Учитывая, что 1 0 2 1 x x x x h и 2 0 2 x x h , можно записать 2 2 0 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ( ( ) ). 2 f f p x x x x x x x x x x x x x h h f x x x x x x h 44 Используя равенства 2 2 ( ) ( ) ( , ) f x p x R f x и 2 2 ( ) ( ) ( , ) f x p x R f x , найдем 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 (2 ) 2 (2 ) (2 ) ( ) 2 f x x x f x x x f x x x p x h и остаточный член (3) 2 1 2 0 2 0 1 ( ) ( ) ( , ) [( )( ) ( )( ) ( )( )] 6 f r x R f x x x x x x x x x x x x x Найдем оценку производной и остаточного члена в узле x 0 : 0 0 1 2 0 2 3 4 ( ) 2 x x f f f f p x h , 0 (3) (3) 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) [2 ] 6 3 x x f f r r x R f x h h Аналогичным образом можно получить для n=2 (интерполяционный полином p n (x) второй степени при использовании 3 узлов) оценки производных первого порядка в разных узлах: 2 (3) 0 0 1 2 1 ( 3 4 ) ( ) 2 3 h f f f f f h ; 2 (3) 1 2 0 1 ( ) ( ) 2 6 h f f f f h ; 2 (3) 2 0 1 2 1 ( 4 3 ) ( ) 2 3 h f f f f f h , разумеется во всех приведенных соотношениях символом ξ обозначались разные значения интервала. При использовании n=3 (4 узлов): 45 3 (4) 0 0 1 2 3 1 ( 11 18 9 2 ) ( ) 6 4 h f f f f f f h ; 3 (4) 1 0 1 2 3 1 ( 2 3 6 ) ( ) 6 12 h f f f f f f h ; 3 (4) 2 0 1 2 3 1 ( 6 3 2 ) ( ) 6 12 h f f f f f f h ; 3 (4) 3 0 1 2 3 1 ( 2 9 18 11 ) ( ) 6 4 h f f f f f f h Используя (4), можно найти оценки производных большего порядка ( m=2, n=2): (3) 0 0 1 2 2 1 ( 2 ) ( ) f f f f hf h ; (3) 1 0 1 2 2 1 ( 2 ) ( ) 12 h f f f f f h Анализируя полученные соотношения можно отметить следующее: 1. С ростом числа узлов n при соответствующей гладкости функции порядок точности формул увеличивается. 2. С ростом порядка производной (с ростом m) порядок точности формул уменьшается. 3. В средних узлах промежутка точность формул выше, чем на краях его. 8. Численное интегрирование. 8. 1.Постановка задачи численного интегрирования . 46 Требуется вычислить ( ) ( ) ( ) , b b a a F x dx f x p x dx где p(x) – весовая функция (заданная, известная функция), имеющая те же особенности, что и F(x); f(x) – гладкая функция без особенностей. Для численного решения задачи используются квадратурные формулы (КФ): 1 ( ) ( ) ( ), b n k k n k a F x dx A f x R f где n – число узлов КФ. x k , 1, k n - узлы КФ. A k – коэффициенты КФ. Определение. Говорят, что квадратурная формула с n узлами имеет степень точности m, если она точна для любого многочлена m – ой степени p m (x)и неточна хотя бы для одного многочлена степени m+1. Теорема. Для того, чтобы квадратурная формула с n узлами имела степень точности (n-1), необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной. В основе построения КФ лежит замена интегрируемой функции более простой, её аппроксимирующей. При использовании интерполяционных квадратурных формул (ИКФ) функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом (полиномом (n-1) степени в данном случае) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ), ( ) ( ). ( ) '( ) n n k n i k i k k x f x f x r f x x x x x x x Тогда 47 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) '( ) ( ) ( ) ( ); [ , ]. ! b b b n n k k k a a a b n k n k k k a b n n a x F x dx p x dx p x r f x dx x x x x f x p x dx R f x x x x R f f a b n Тем самым получили ИКФ 1 ( ) ( ) ( ), b n k k n k a F x dx A f x R f где ( ) ( ) ( ) '( ) b k k k a x A p x dx x x x .Доказательство необходимости. Необходимость означает, что ИКФ с n узлами должна быть точной для любого многочлена (n-1) – ой степени. В качестве такового возьмем 1, ( ) ( ) ( ) '( ) n i i i k i i k i x x x f x x x x x x Любой многочлен (n-1) – ой степени можно записать указанным способом. Заметим, что в этом случае f(x k )=0, если k ≠i, f(x i )=1. Учитывая вышеизложенное, имеем 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )=A . ( ) '( ) b b n k k i k i i a a x p x f x dx p x dx A f x x x x Доказательство достаточности. Пусть f(x) произвольно заданный полином (n-1) – ой степени. Требуется доказать, что ИКФ точна для этого полинома. Интерполируем его по n узлам. Интерполирование будет точным в силу теоремы существования и единственности интерполяционного полинома 1 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) n k k k k x f x f x x x x 48 Тогда 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b n n k k k k k k k a a x p x f x dx f x p x dx f x A x x x 8. 2. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами (формулы Ньютона – Котеса). Требуется вычислить ( ) b a f x dx , полагаем p(x) = 1. Далее будем использовать обобщенную теорему о среднем. Теорема. Если u и v непрерывны на [a,b], причем функция v не меняет знака на отрезке [a,b], то существует точка ξ [a,b] такая, что ( ) ( ) b b a a uvdx u v x dx Пусть n=1 (n – число узлов) a) x 1 =a. a b f x Используя интерполяционный полином нулевой степени 1 1 2 1 ( ) ( ) '( ), [ , ]. 1! ( ) Следовательно, ( ) ( ) ( ) '( ). 2 b a x a f x f a f a b b a f x dx b a f a f Формула левых прямоугольников: I л.п. = (b-a)f(a); Погрешность 2 1 ( ) '( ). 2 л п b a R f б) Положив x 1 = b, аналогичным образом получим формулу правых прямоугольников 49 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ]. 2 п п п п b a I R b a f x dx b a f b f a b в) Формула центральных прямоугольников a f x b (a+b)/2 Рассмотрим степенное разложение функции относительно узла x 1 = : 2 a b 2 1 1 1 1 3 3 ( ) ( ) ( ) '( ) ''( ), [ , ]. 1! 2! x x x x f x f x f x f a b Интегрируя, получаем 3 3 ( ) ( ) ( ) ''( ). 2 24 ц п b a R Iц п a b b a f x dx b a f f n=2 Положим x 1 = a, x 2 = b. Получим формулу трапеций. f a b x 50 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 ( )( ) ( ) ( ) ''( ) ''( ). 2! 12 b тр a b тр a x b x a f a f b I f a f b dx b a a b b a x a x b b a R f f dx f n=3. Положим x 1 = a, x 2 =(a+b)/2, x 3 = b. Получим квадратурную формулу Симпсона или формулу парабол 2 3 1 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( )( ) ( )( ) ( ) 4 ( ) . 6 2 b сим a x x x x x x x x x x x x a b I f a f f b dx a x a x x x x x b x b x b a a b f a f f b Оценка погрешности определяется соотношением 5 (4) 5 ( ) ( ). 2880 симп b a R f 8.3 .Составные квадратурные формулы. Возможны два пути увеличения точности квадратурных формул. 1) Повышение порядка точности за счет увеличения числа узлов n. Это ведет к существенному усложнению КФ. 2)Разделение отрезка [a,b] на n малых промежутков длиной h=(b-a)/n, на каждом из которых используется ИКФ с малым числом узлов. Такие ИКФ называются большими или составными. 51 Отрезок [a,b] разбит на n элементарныx отрезков [x i-1 ,x i ], i=1,…,n точками a=x 0 < x 1 < … < x n =b . Тогда 1 n i i I I , где 1 ( ) , 1, i i x i x I f x dx i n При численном расчёте I i применяют одну из возможных квадратурных формул. Полученная таким образом конструкция называется составной квадратурной формулой. 8.3.1 .Простейшие составные квадратурные формулы. Введём обозначения f i =f(x i ), f i-1/2 = f(x i-1/2 ), где 1 1/ 2 2 i i i x x x Для простоты принимаем h = x i – x i-1 = const. Однако, результаты легко обобщаются для переменного шага. 52 8.3.1.1. Составная формула левых прямоугольников. Xi-1 Xi f x 1 1 0 1 1 0 ( ) i i n n i i I hf I h f f f h f 2 1 1 ( ) ( ) '( ) 2 b n n л п i i a h f x dx I R f I f ; ξ i [x i-1 ,x i ]. Теорема о среднем. Если f(x) C [a,b] , то существует ξ [a,b] такое, что 1 1 ( ) ( ), [ , ]. n i i f f x x a b n Следовательно, 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) '( ) '( ) '( ) 2 2 2 n n сост л п i i h b a b a R f f f h n n , ξ [a,b]. Порядок точности (показатель степени h в формуле погрешности) формулы равен 1. |