Вычислительная математика лекции. Конспект лекций. Санкт петербург 2011 2 Оглавление
 Скачать 3.86 Mb.
|
|
Теорема. Матрица простой структуры подобна диагональной. Доказательство. Выберем в качестве столбцов матрицы преобразования P собственные векторы матрицы A. матрица P не вырождена, т. к. матрица A простой структуры имеет n линейно независимых собственных векторов. Тогда Λ= P -1 AP, Требуется доказать, что AP=PΛ. Действительно, AP=A(e 1, e 2 , …, e n ) = (Ae 1, Ae 2 , …, Ae n )= (λ 1 e 1, λ 2 e 2 , …, λ n e n )= 1 0 0 n P . Т. е. 1 0 0 n 9.4.Приведение к канонической форме Жордана. 1. Произвольную матрицу А R n n с помощью подобного преобразования S -1 AS=J возможно привести к канонической форме Жордана. Матрица J есть блочно-диагональная матрица ( J C n n ). Её диагональные блоки называются клетками (ящиками) Жордана. Каждому собственному числу λ i может соответствовать одна или несколько клеток Жордана. Число таких клеток равно геометрической кратности γ(λ i ), а сумма их размеров алгебраической кратности α(λ i ). Так как для дефектной матрицы γ(λ i ) < α(λ i ), число диагональных блоков матрицы J меньше размера матрицы A. Однако размер J (суммарный размер всех блоков) совпадает с размером A. Клетка Жордана размера k для собственного числа λ i J ki C k k имеет вид 1 0 0 1 0 0 i ki i J . Если алгебраическая кратность α(λ i ) ≤ 3, то по известному значению γ(λ i ) однозначно 78 определяется количество и размер клеток Жордана для λ i . Пусть например α(λ i ) = 3. Тогда при γ(λ i ) = 1 имеем одну клетку размера 3, а в случае γ(λ i ) = 2 количество клеток равно 2, одна размера 2, а другая 1. При α(λ i ) > 3 не всегда удаётся однозначно определить размер клеток. Пусть например α(λ i ) = 4, γ(λ i ) = 2 . Тогда количество клеток равно двум, однако недостаточно информации для выбора из двух вариантов: размер обеих клеток равен 2 или размер одной 1, а второй 3. В подобных случаях можно воспользоваться ранговым критерием: число клеток g h размером h для кратных собственных чисел λ i g h = rank(A -λ i E) h-1 - -2rank(A -λ i E) h +rank(A -λ i E) h+1 , h = 1,2,∙∙∙,α(λ i ) . Для каждого λ i следует определить количество и размер клеток Жордана, после чего каноническая Жорданова форма может быть записана с точностью до перестановки Жордановых клеток. Если условится располагать клетки в порядке возрастания модулей собственных чисел, а клетки с совпадающими собственными числами в порядке возрастания их размеров, то каноническая форма Жордана будет определена единственным способом. Заметим, что диагональная матрица является частным случаем матрицы Жордана, все клетки которой имеют размер 1. Пример 1. 11 8 7 9 16 10 15 19 12 A . Используя разработанную выше методику, рассчитываем характеристический полином P 3 (λ) = -( λ + 5) 3 . Таким образом, λ = -5, α(λ ) = 3. Находим систему собственных векторов. 79 6 8 7 6 8 7 6 8 7 5 9 11 10 0 1 0.5 0 1 0.5 15 19 17 0 1 0.5 0 0 0 A E . Таким образом, решение системы (A+5E)е = 0 дает единственный вектор е = 1 1 2 , а Жорданова форма состоит из одной клетки 5 1 0 0 5 1 0 0 5 J Пример 2. 10 9 6 1 16 5 1 9 3 A ; λ 1 = 9, λ 2 = 10, α(λ 1 ) = 1, α(λ 2 ) = 2 , γ(λ 1 ) = 1, γ(λ 2 ) = 1, е(λ 1 ) = 3 1 2 , е(λ 2 ) = 3 2 3 . Таким образом, 9 0 0 0 10 1 0 0 10 J Пример 3. 2 4 4 1 2 2 . 2 4 4 A λ 1 = 0, α(λ 1 ) = 3, γ(λ 1 ) = 2. е(λ 1 ) 1 = 2 0 1 , е(λ 1 ) 2 = 2 1 0 . Таким образом, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 J 9.5.Вычисление матрицы преобразования. J = S -1 AS; AS = SJ; A 1 2 ( , ,..., ) n S S S =S 1 1 2 ( , ,..., ) 0 0 p p J SJ SJ SJ J . Здесь k J k– ый столбцовый блок матрицы J ( 1, k p ), i S i – ый столбец матрицы S( 1, i n ), p n, где n – размер A. 80 Последовательно для каждой клетки Жордана вычисляем набор линейно независимых векторов, число которых должно совпадать с размером клетки. Эти векторы будут столбцами искомой матрицы S. Для матрицы простой структуры α(λ i ) = γ(λ i ) и в качестве столбцов матрицы S берутся собственные векторы. При этом гарантируется независимость столбцов и, следовательно, не вырожденность S. Однако, если α(λ i ) ≠ γ(λ i ) , возникает необходимость доопределить недостающее число векторов α(λ i ) - γ(λ i ) . Вектор – столбцы матрицы S в этом случае вычисляют в результате решения набора систем линейных уравнений, получаемых приравниванием соответствующих столбцов справа и слева в уравнении AS=SJ. Пример. Пусть A R 5×5 , её характеристический полином (λ-λ 1 ) 3 (λ-λ 2 ) 2 Следовательно, α(λ 1 ) = 3, α(λ 2 ) = 2. Дополнительно рассчитаны геометрические кратности γ(λ 1 ) = 1, γ(λ 2 ) = 1. Матрица Жордана содержит две клетки и имеет вид J= 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . Система AS =SJ выглядит следующим образом 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ( ) ( ) A s s s s s s s s s s 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 81 Двум клеткам Жордана соответствуют две независимые системы. Первая содержит три уравнения (1'), (2'), (3'), вторая два уравнения (1''), (2''). 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 3 1 3 2 4 2 4 2 4 1 4 2 5 2 5 4 ; ( ) 0 (1') ; ( ) (2 ') ; ( ) (3') ; ( ) 0 (1'') ; ( ) (2'') As s A E s As s s A E s s As s s A E s s As s A E s As s s A E s s Гарантируется существование линейно независимых векторов, удовлетворяющих обеим системам уравнений. Вычислим соответствующие векторы для первой системы. Из (1') и (2') следует 2 2 ( ) 0 4' i A E s Из уравнений (3') и (4') 3 3 ( ) 0 (5') i A E s В общем случае, если бы размер клетки был равен "к" , вместо трёх уравнений (1') (2') (3') пришлось бы записать "к" аналогичных уравнений, а вместо уравнений (4') (5') "к-1" соответствующих уравнений. Последнее уравнение имело бы номер (2к-1) и выглядело бы следующим образом 1 ( ) 0 k k A E s . Вычислив s k из последнего уравнения, последовательно из уравнений с номерами к, к-1,…,2 находят s k-1, s k-2,…, s 1. Последовательность решения.(Вариант 1). 1. Решаем систему однородных уравнений (5'). В качестве 3 s выбираем одно из линейно-независимых решений. 2. Из (3') находим 2 s 3. Из (2') находим 1 s 4. Проверяем невырожденность матрицы 1 2 3 ( ) S s s s Если матрица S оказалась вырожденной, в п.1 82 выбираем в качестве 3 s другое линейно независимое решение и возвращаемся к п.2. ВТОРОЙ ВАРИАНТ. Из (1') вычисляем собственный вектор s 1 .Векторы s 2 и s 3 находим, последовательно решая неоднородные системы уравнений (2') и (3') с вырожденной матрицей. Этот вариант работает только в том случае, если собственное число λ 1 содержится в единственной клетке Жордана. Система уравнений (1'') и (2''), соответствующая другой клетке матрицы Жордана, решается аналогичным образом. Количество независимых систем равно числу клеток в форме Жордана. Проиллюстрируем расчёт матрицы S, взяв исходные данные из Примера1 в предыдущем разделе. ВАРИАНТ 1. Уравнения (1) (2) (3) (4) (5) будут выглядеть следующим образом: 1 2 1 3 2 2 2 3 3 ( 5 ) 0 (1') ( 5 ) (2 ') ( 5 ) (3') ( 5 ) 0 (4 ') ( 5 ) 0 (5 ') A E s A E s s A E s s A E s a E s 3 0 0 0 ( 5 ) 0 0 0 0 0 0 A E . Следовательно, существуют три линейно независимых решения 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Выберем в 83 качестве 3 1 0 0 s . Тогда из (3') следует 2 3 6 8 7 1 6 ( 5 ) 9 11 10 0 9 15 19 17 0 15 s A E s . Аналогично из (2') 1 3 3 6 s Таким образом 3 6 1 3 9 0 6 15 0 S . det(S) ≠ 0, следовательно, S не вырождена.. Контрольная проверка AS = SJ 11 8 7 3 6 1 3 6 1 5 1 0 9 16 10 3 9 0 3 9 0 0 5 1 15 19 12 6 15 0 6 15 0 0 0 5 ВТОРОЙ ВАРИАНТ. Из (1') найдем 1 1 1 2 s Применяя метод исключения Гаусса, из (2') получаем 84 B=(A+5E|s 1 )= 6 9 7 1 6 9 7 1 1 1 9 11 10 1 0 1 2 2 15 19 17 2 1 1 0 1 2 2 6 9 7 1 1 1 0 1 2 2 0 0 0 0 В качестве свободной переменной используем последнюю компоненту искомого вектора. Приравняв значение свободной переменной нулю, получим 2 1 2 1 2 0 s Аналогичным образом из (3') получим 3 19 12 5 4 0 s Для второй иллюстрации используем Пример2 предыдущего раздела. Уравнения (1) (2) (3) записываются следующим образом 1 2 3 2 ( 9 ) 0 (1'') ( 10 ) 0 (2 '') ( 10 ) (3'') A E s A E s A E s s 85 Уравнение (1'') изолировано от двух других и решается независимо. Поэтому в качестве 1 s можно принять вычисленный ранее собственный вектор 1 s = е(λ 1 ) = 3 1 2 . Векторы 2 s и 3 s ищутся для Жордановой клетки размера 2. Из (2'') и (3'') следует 2 3 2 ( 10 ) 0 4 '' ; 0 9 6 10 1 6 5 1 9 3 3 0 3 ( 10 ) 1 0 1 2 0 2 A E s A E A E Уравнение (4'') имеет два линейно независимых решения 3 1 0 0 1 1 0 s . Примем 3 0 1 0 s . тогда из (3'') получим 2 9 6 9 s Соответственно 3 9 0 1 6 1 2 9 0 S Использование в а р и а н т а 2 дает следующий результат 1 2 3 3 1 0 2 1 2 1 , s , s = 2 3 9 1 1 0 s Воспользуемся п р и м е р о м 3 предыдущего раздела. Уравнения (1), (2) и (3) выглядят следующим образом: (1) As 1 = 0 86 (2) As 2 = 0 (3) As 3 = s 2 Уравнение (1) изолировано. В качестве s 1 можно взять один из ранее рассчитанных собственных векторов, например, s 1 = е(λ 1 ) 1 = = 2 0 1 Попытка решать сначала (2), а потом (3) приводит к неудаче: (3) оказывается несовместным. Поэтому (2) и (3) заменяем парой эквивалентных уравнений: (2') As 3 = s 2 (3') A 2 s 3 = 0. Решая (3'), находим три линейно независимых вектора 3 0 0 1 0 , 1 , 0 . 1 0 0 s В качестве s 3 выбираем первый вектор из набора 3 0 0 . 1 s Из (2') следует 2 4 2 . 4 s Следовательно, 2 4 0 0 2 0 1 4 1 S Проверка подтверждает правильность расчета S -1 AS = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 87 9.6. Функции от матриц. 9.6.1. Введение, замечания, определения и теоремы. Пусть задан многочлен m-ой степени P m (x)=a m x m + a m-1 x m-1 +…+ a 0 и квадратная матрица A n×n . Будем называть матричным полиномом P m (A) матрицу, получающуюся из P m (x) при подстановке в него матрицы А вместо x. Теорема1. Собственные значения многочлена от квадратной матрицы являются аналогичными многочленами от собственных значений исходной матрицы. Доказательство. Ax=λx. Умножим обе части равенства слева на матрицу А: A 2 x=λAx=λ 2 x. Продолжая эти операции, получаем A k x=λ k x. Таким образом, λ(A k )=[λ(А)] k . Другими словами, собственные числа матриц А и А к равны λ и λ k , а собственные векторы совпадают. Если две матрицы А и В имеют одинаковые собственные векторы x, то (А+В)x=Ax+Bx=λ A x+ λ B x =( λ A + λ B )x. .Таким образом, 0 0 ( ) m m i i i i i i a A a Теорема 2.( теорема Кели – Гамильтона). Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. χ n (λ)= λ n + a n-1 λ n-1 +…+ a 0 λ 0 =0 χ n (A)= A n + a n-1 A n-1 +…+ a 0 E. Умножая обе части равенства на собственный вектор x матрицы А, получаем χ n (A)x= (A n + a n-1 A n-1 + +…+ a 0 E)x= (λ n + a n-1 λ n-1 +…+ +a 0 λ 0 )x=0x =0. Так как собственный вектор x не равен нулю, то χ n (A)=0. С л е д с т в и е 1. Если существует А -1 , то А -1 (A n + a n-1 A n-1 +…+ +a 0 E) =(A n-1 + a n-1 A n-2 +…+ a 0 А -1 )=0. Таким образом, А -1 =(A n-1 + +a n-1 A n-2 +…+ a 1 E)/a 0 88 Говорят, что характеристический многочлен является аннулирующим многочленом матрицы А. Приведенный аннулирующий многочлен наименьшей степени называется м и н и м а л ь н ы м многочленом матрицы А. Перечислим некоторые свойства минимального многочлена. 1. Любой аннулирующий многочлен матрицы А делится на её минимальный многочлен. 2.Для любой матрицы её минимальный многочлен единственен. 3.Подобные матрицы имеют один и тот же минимальный многочлен. Следующие свойства указывают способы вычисления минимального многочлена. 1.Характеристический и минимальный многочлены матрицы простой структуры совпадают. 2.Пусть λ 1 ,…,λ r попарно различные собственные значения матрицы А, s 1 ,…,s r максимальные размеры соответствующих им клеток Жордана. Тогда минимальный многочлен матрицы А имеет вид 1 2 1 2 ( ) ( ) ....( ) r s s s r Если для некоторых λ i существуют несколько клеток одинакового размера, этот размер выбирается один раз. |