кр. Вар5. Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Задание 1

• Название: Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Задание 1
• Дата: 07.04.2023
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: Вар5.doc
• Тип: Контрольная работа; #1044669

Контрольная работа №1.

Элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа.

Задание 1.

3.2.1–3.2.10. Применяя метод Гаусса (метод исключения неизвестных), решить систему линейных уравнений. Сделать проверку.

3.2.25.

Решение.

Вычисления будем производить в таблице. В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы.

1	-1	2	3	0
0	1	-2	1	7
2	-3	1	-1	-3
2	-2	-1	2	6

Изменяем третью и четвертую строки: ко третьей­ строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-2), к четвертой– первую строку, умноженную на (-2). В результате получим таблицу.

1	-1	2	3	0
0	1	-2	1	7
0	-1	-3	-7	-3
0	0	-5	-4	6

Изменяем четвертую строку: к четвертой строке по элементам прибавляем вторую строку. В результате получим таблицу.

1	-1	2	3	0
0	1	-2	1	7
0	0	-5	-6	4
0	0	-5	-4	6

Изменяем четвертую строку: к четвертой строке, умноженной на (-1) по элементам прибавляем третью строку. В результате получим таблицу.

1	-1	2	3	0
0	1	-2	1	7
0	0	-5	-6	4
0	0	0	-2	-2

Делим последнюю строку на (-2):

1	-1	2	3	0
0	1	-2	1	7
0	0	-5	-6	4
0	0	0	1	1

Так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то система совместна.

Прямой ход метода Гаусса был пройден при нахождении ранга матриц.

Обратный ход метода Гаусса.



Подставим во все уравнения.



Подставим в первое и второе уравнения.



Подставим в первое уравнение.



Таким образом, решением системы являются .

Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему



Ответ:

Задание 2.

1.1.71–1.1.80. Даны координаты вершин пирамиды . Найти угол между ребром и гранью , уравнения высоты опущенной из вершины на грань , уравнение плоскости . Сделать чертеж.

1.1.75.

Решение.

1) Угол между прямой и гранью находят по формуле:

, где - нормальный вектор плоскости.

Составим уравнение плоскости по формуле:

, где - точки данной плоскости.

В нашем случае для плоскости имеем:





- уравнение грани .

Из уравнения грани .





2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид:

Направляющим вектором высоты, опущенной из вершины на грань является нормальный вектор плоскости .

Тогда - уравнения высоты, опущенной из вершины на грань .

3) найдено в пункте 1.

- уравнение грани .

Делаем чертёж.



Задание 3.

7.3.1–7.3.20. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

7.3.5. .

Решение.

Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

1. 
   найти область определения функции;
   
2. 
   исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;
   
3. 
   исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;
   
4. 
   найти точки пересечения графика функции с осями координат;
   
5. 
   исследовать функцию на монотонность и экстремум;
   
6. 
   найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
   
7. 
   найти асимптоты графика функции;
   
8. 
   по полученным данным построить график функции.
   

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

1. 
   .
   
2. 
   Функция определена и непрерывна при всех . Следовательно, точек
   

разрыва у функции нет.

3. 
   .
   

Функция является нечетной. Функция не периодическая.

4. 
   С осью Ох: .
   

Точка - точка пересечения с осью Ох.

С осью Оу: .

Точка - точка пересечения с осью Оу.

5. 
   Находим производную.
   

при .

Критическая точка: .




+ +




0

Функция возрастает на всей области определения, т.к. .

6. 
   Находим вторую производную.
   

при , и .
+ – + –



0

Функция выпукла на интервалах , функция вогнута на интервале .

Находим точки перегиба и значения функции в этих точках:

7. 
   Так как точек разрыва нет, то вертикальных асимптот нет.
   

Найдем наклонные асимптоты

Вычисляем пределы:





Тогда - наклонная асимптота графика функции.

8. 
   По полученным данным строим график функции.
   

Задание 4.

8.2.61–8.2.70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными

линиями. Сделать чертеж.

8.2.65. .

Решение.

Построим фигуру.



Пределы интегрирования заданы это и . Линии, ограничивающие сверху данную фигуру и снизу . Найдем площадь фигуры по формуле



Ответ: .

Задание 5.

9.2.21-9.2.30. Найти стационарные точки функции F(x, y) и исследовать их на локальный экстремум.

9.2.25.

Решение.

Найдем частные производные данной функции:

;

.

Для нахождения точек экстремума, применим необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции:



Получаем:



Точка – точка экстремума.

Находим выражения:



Определяем характер точки экстремума:

В точке :

Тогда

Так как и то в точке экстремум минимум.

Тогда

.

Ответ: .