Конспект параллельность плоскостей. Конспект Параллельность в пространстве. Конспект урока "Параллельные прямые в пространстве"
![]()
|
Конспект урока "Параллельные прямые в пространстве" Вопросы занятия: · рассмотрим понятие параллельных прямых в пространстве; · дадим определение параллельных прямых в пространстве; · докажем теорему единственности прямой, параллельной данной. Материал урока. Ранее в планиметрии мы с вами уже рассматривали взаимное расположение двух прямых на плоскости. Напомню, что возможны три случая: Первый случай. Прямые параллельны, т.е. две прямые не имеют общих точек. ![]() Второй случай. Прямые пересекаются, т.е. две прямые имеют одну общую точку. ![]() И третий случай. Прямые совпадают, т.е. имеют более чем одну общую точку. ![]() Теперь перейдем к стереометрии. Напомню, что стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Как вы уже знаете, параллелепипед – это пространственное тело. ![]() Прямые, на которых лежат его ребра, например, A1B1, D1C1 и DC – параллельны. Прямые, через которые проходят диагонали его грани, например, D1C1 и DC – пересекаются. А вот прямые, на которых лежат диагональ параллелепипеда A1C и ребро B1C1 называются скрещивающимися. Сделаем вывод: две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пересекающиеся и параллельные прямые задают некоторую плоскость. Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести плоскость. Давайте подробно остановимся на случае с параллельными прямыми в пространстве. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении очень важна. Так как в стереометрии мы с вами рассматриваем трехмерное пространство и, если две прямые лежат в разных плоскостях, то нельзя говорить про их параллельность. Параллельными прямые могут быть только если лежат в одной плоскости. Если прямые а и b параллельны, то это обозначают следующим образом ![]() Посмотрим внимательно на рисунок. ![]() Здесь прямые а и b параллельны. А вот прямые а и c, b и d– не параллельны. Приведем несколько примеров параллельных прямых в пространстве. Знакомые каждому железнодорожные рельсы. ![]() На ровной местности их можно рассматривать, как параллельные прямые. А посмотрите внимательно на свою тетрадь. Обратите внимание, противоположные края тетрадного листа также лежат на параллельных прямых. ![]() Прямые, по которым плоскость стены комнаты пересекает плоскости потолка и пола. Они также являются параллельными. ![]() Запишем определения. Два отрезка (луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. ![]() Отрезок (луч) называется параллельным данной прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной. ![]() Справедлива теорема о параллельности прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Докажем эту теорему. ![]() Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Тогда через нашу прямую а и точку М проходит единственная плоскость. Давайте обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а. Т.е. должна лежать в плоскости α. Из курса планиметрии вы помните, что через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Следовательно, в плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b. Докажем единственность прямой b. Предположим, что существует еще одна прямая, например, b1, которая проходит через точку М и параллельна прямой а. Тогда эта прямая b1 должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а. Т.е. в плоскости α. А из курса планиметрии вы знаете, что в плоскости α через точку М проходит единственная прямая, параллельная прямой а. Значит, прямая b1 совпадает с прямой b. Таким образом, прямая b – это единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана. Замечание. Если прямые в пространстве параллельны, то на чертеже они обязательно изображаются параллельными прямыми. А вот если прямые на чертеже изображены параллельными прямыми, то в пространстве эти прямые не обязательно параллельны. Задание. Дан куб ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Напомню, что куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты. Рассмотрим прямые AB и DC. Они лежат в одной плоскости ABC и не пересекаются. Следовательно, прямые AB и DC параллельны. Аналогично и прямые BB1 и CC1. Они лежат в одной плоскости BB1C1 и не пересекаются. Следовательно, параллельны. Теперь рассмотрим прямые AB и BB1. Хоть они и лежат в одной плоскости ABB1, но пересекаются в точке B. Значит, прямые AB и BB1 не параллельны. Осталось рассмотреть прямые AB и CC1. Они не пересекаются, но и не лежат в одной плоскости. Значит, они не параллельны. Ответ: а) ![]() ![]() ![]() ![]() Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных прямых в пространстве. Узнали, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. А также доказали теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. |