Контрольная работа. Контрольная работа 1 Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

• Название: Контрольная работа 1 Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
• Анкор: Контрольная работа
• Дата: 02.05.2023
• Размер: 457.86 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа.docx
• Тип: Контрольная работа; #1102732

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

1.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

(−5; 0; 2); (8; 1; 3); (1; −1; −2). Сделать чертеж.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах

(X₁;Y_1;Z₁), (X₂;Y₂;Z₂), (X₃;Y₃;Z₃) равен:



здесь X,Y,Z координаты вектора.



Где (-23) нашли как определить матрицы.

= -5 (1 (-2) – (-1) 3) – 8 (0 (-2) – (-1) 2) + 1 (0 3-1 2) = -23



2.5. Даны вершины А(3; –2), В(4;–1), С(1; 3) трапеции ABCD(AD || BC).Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

1.Найдем уравнение прямой AD. Даны координаты вершины A(3; -2) и сказано, что прямая AD || BC.  Уравнение прямой AD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении

у - y₀=k(x−x₀) (1)

Угловые коэффициент прямых  k_AD=k_BC, как угловые коэффициенты двух параллельных прямых.

Найдем_уравнение_прямой_BC.'>Найдем уравнение прямой BC. Известны координаты двух точек этой прямой В(4; -1), С(1; 3), поэтому уравнения прямой BC будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки = (2)

Подставляем координаты вершин:

BC: = = y = - x

Из уравнения прямой получаем угловой коэффициент

K_BC= = k_AD=

Найдем уравнение прямой AD, подставим координаты вершину A(-3; -2) и угловой коэффициент k_AD= -  в уравнение (1) 

AD: y + 2 = - (x−3) = > y = −6 - x

2. Найдем уравнение прямой BD. Даны координаты вершины В(4;-1) и сказано, что прямая BD ⊥ AC.  Уравнение прямой BD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении

y − y₀=k(x−x₀) (1)

AC: = = y = + x;

k_AC = = k_BD =

BD: y + 1 = - (x−4) = >y = - x ;

 3. Найдем точку пересечения двух прямых AD и BD.



Ответ: координаты вершины D (-15.375; 14.5)

3.5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. Сделать проверку.









x = 2

y = 2

2+2-z=3

z=1

(x,y,z) = (2, 2, 1)





Решение: (x,y,z) = (2,2,1).
Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

4.5. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a) ;

;

+ 2 );

;

;

;

;

;

;





Решение: - -10 , -10.6

б)










2

Решение: 2 3,4641
В)









Решение: -1
Г) ( )^x²-1

Решение:

5.5. Задана функция у=f(х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.


6.5. Методами дифференциального исчисления:

а) исследовать функцию y = f (x) и по результатам исследования построить ее график;

y =

y´= ( )

y´=

y´=

Решение: y´=
б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [1; 4].

f ⁱ₀(x*) = 0 f^I₀(x*) = 0

fⁱⁱ₀(x*) 0 f^II₀(x*) 0

y´= - 8·x

-8·x=0

x₁=0

f(0)=-14

f(1)=-18

f(4)=-78

ответ: f_min=-78; f_max=-18

7.5. .Найти производные данных функций.

а) y= + arccos ( )

y= +

y= +

y= +

Решение: y =
б) y = (x-1)exp(x²)

Решение: y = xe(x²)-e(x²)
в) x = t - ln sint, y = t + ln cost









Решение:
8.5. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.







Решение:



б) dx













Решение:


в) ^xdx

u = x+2

dv = e^xdx

du = dx

v = e^x

(x+2)e^x - ^x dx

(x+2)e^x - e^x

xe^x + e^x

Решение: xe^x+e^x+c, C R

г) dx





















arctan (t) – t + arctan (t)

arctan (tan( )) – tan ( ) + arctan (tan ( ))

x – tan ( )

Решение: x – tan ( ) + C, C R

9.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

x² + 2 y = 0

y = -

y = - x²

a = - ; h = 0; k = 0

x = 0

y =

x y

-2 -2

-1 -

0 0

1. 
   -
   
2. 
   - 2
   

2x – y – 3 = 0

y = 2x – 3

(0, -3)

x y

1. 
   - 3
   
2. 
   - 1