Ларионов Д.Мат1. контрольная работа 1. Контрольная работа 1 По дисциплине математика Ларионов Дмитрий Дмитриевич
![]()
|
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВА КАФЕДРА (Высшая математика) Контрольная работа № 1 По дисциплине: математика Выполнил: Ларионов Дмитрий Дмитриевич Студент 1 курса группы 38ЭТАзд-211 Института заочного образования Проверил: Белгород, 2022 г 1.Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) Найдем решение системы по методу Крамера. Согласно этому методу, значение i-ой переменной в исходной системе есть Здесь det(A) - найденный определитель матрицы коэффициентов перед неизвестными. ![]() Di-есть определитель матрицы, полученной из А заменой i-го столбца на столбец B свободных членов. ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() 2) по методу обратной матрицы Если А – матрица системы, В – столбец свободных членов, то система линейных алгебраических уравнений принимает матричный вид ![]() Тогда решение системы: ![]() В нашем случае ![]() ![]() Учтем, что ![]() Здесь detA – определитель матрицы А, Aij – алгебраическое дополнение элемента aij исходной матрицы ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Метод Гаусса Умножим 1-уе уравнение на (-12) и прибавим ко 2-му. Умножим 1-е уравнение на (-1) и прибавим к 3-му. Умножим первое уравнение на -7 и прибавим к четвертому. Получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() Умножим 2-е уравнение на (-4/68) и прибавим к 3-му. Умножим 2-е уравнение на (-45/68) и прибавим к 4-му. Получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() Умножим 3-е уравнение на (17/217*175/34) и прибавим к 4-му. ![]() ![]() ![]() ![]() Из последнего уравнения: ![]() из третьего уравнения: ![]() из второго уравнения: ![]() ![]() из первого уравнения: ![]() ![]() в итоге: ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Заданы четыре точки в пространстве: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) длины векторов ![]() Координаты этих векторов: ![]() ![]() 2) координаты векторов ![]() ![]() ![]() ![]() 3) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() - (-1)·{5·(-2)-(2)·(-2)}+ + (3)·{5·(-8)-(2)·(-4)}=-78 ![]() Площадь грани АВC: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку объем пирамиды также можно найти как ![]() Где S – площадь основания, h – высота, в нашем случае площадь грани АВС равна ![]() ![]() ![]() 4) обозначим медиану АE. Тогда точка E – середина отрезка ВС. поскольку точка Е – середина отрезка ВС, то ее координаты ![]() ![]() ![]() Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1,z1), (x2,y2, z2), есть ![]() Тогда, уравнение прямой AЕ (медианы) есть: ![]() 3. Заданы четыре точки на плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1), (x2,y2), есть ![]() Тогда, уравнение прямой AB: ![]() уравнение прямой AC: ![]() уравнение прямой CD: ![]() уравнение прямой BD: ![]() 2) точки пересечения прямых ![]() Уравнение прямой АВ есть ![]() ![]() Тогда ![]() Уравнение прямой АC есть ![]() ![]() Тогда ![]() 3) уравнение эллипса, проходящего через точки ![]() ![]() Уравнение эллипса: ![]() Подставим сюда координаты наших двух точек ![]() ![]() Видим, что в уравнении эллипса 4 параметра. Точки же в нашем случае две, т.е. имеется два уравнения с 4 неизвестными. Это говорит о том, что через две точки можно провести бесконечное множество различных эллипсов. По условию, достаточно найти любой из этих эллипсов. Вычтем из второго уравнения первое. Получим ![]() Первое уравнение корней не имеет, второе уравнение дает ![]() Уравнения примут вид ![]() ![]() оба уравнения одинаковы Тогда два параметра из трех являются произвольными! Положим b = 1 и a =1 Получим ![]() Тогда искомое уравнение эллипса ![]() Это простейший случай искомого эллипса – окружность, диаметром которой является отрезок между заданными точками. 4) уравнение гиперболы, симметричной относительно оси ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение гиперболы: ![]() Учитывая значения полуосей, получаем ![]() ![]() 4. Определить вид кривой второго порядка 4 ![]() N=6 и M=2. 4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() это уравнение эллипса с полуосями ![]() ![]() ![]() ![]() 5. В базисе ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() N=6 и M=2. Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты вектора ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() ![]() Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму. Умножим первое уравнение на (-5/3) и прибавим к третьему. Получаем ![]() ![]() ![]() Умножим второе уравнение на (-2/30) и прибавим к третьему. Получаем ![]() ![]() ![]() из третьего ![]() тогда из второго ![]() Из первого: ![]() тогда в новом базисе ![]() |