Попов НС. Контрольная работа №2. Контрольная работа 2 по математике Вариант3 студент гр з512П81 Попов Николай Сергеевич нсо, снт Заря д. 164
![]()
|
Министерство образования РФ. Томский Государственный Университет Систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Контрольная работа № 2 по математикеВариант№3 Выполнил: студент гр з-512П8-1 Попов Николай СергеевичНСО, снт Заря д. 164 630554 Проверил: кандидат физико - механических наук, доцент кафедры математики Васильева Оксана Владимировна Томск 2023 г Задание№1. Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованную данной прямой и осями координат. Решение: Запишем уравнение прямой x+2y+5=0 в виде ![]() ![]() Прямая, перпендикулярная ей имеет угловой коэффициент ![]() Ищем уравнение новой прямой: ![]() ![]() Площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() Задание№2. Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 2)и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв.ед. Решение: ![]() ![]() ![]() Уравнение прямой в отрезках : ![]() С учетом данных, подставив в (1) значение S, а в (2) значения координат точки M, получим систему уравнений, относительно aи b. ![]() ![]() По условию задачи, прямая распологается в первом координатном углу, следовательно, принимаем ![]() Уравнение прямой: ![]() Ответ: ![]() Задание№3. Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС. Решение: Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника: ![]() Составляем уравнение прямой АВ: ![]() Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС: ![]() Ответ: ![]() Задание№4 Найти расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой ![]() Решение: Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется по формуле: ![]() ![]() Ответ: d=5 Задание№5 Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6), перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью ![]() Решение: Находим вершины треугольника с осью OX: y=0; z=0; 12x-24=0 => x=2 C (2; 0; 0) с осью OY: x=0; z=0; 6y-24=0 => y=4 D (0; 4; 0) с осью OZ: x=0; y=0; z-24=0 =>z=24 E (0; 0; 24) Находим уравнения медиан этого треугольника , чтобы найти координаты точки В. Точка F – середина стороны, противоположная вершине С. ![]() ![]() ![]() Точка F(0; 2; 12) – середина отрезка DE. Ищем середину отрезка CD – точку G. ![]() ![]() ![]() Точка G(1; 2; 0). Координаты середины CE – точка K. ![]() ![]() ![]() Точка K(1; 0; 12). Уравнение медиан: CF: ![]() DK: ![]() EG: ![]() Точка пересечения медиан: ![]() ![]() ![]() Можно взять любую пару уравнений медиан, таким образом точка пересечения медиан ![]() Координаты вектора ![]() Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ: ![]() ![]() Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат: ![]() Ответ: ![]() Задание№6 Две прямые параллельны плоскости ![]() Решение: Косинус угла между прямыми: ![]() Условие параллельности прямой и плоскости: ![]() Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и (x0, 0, 0): ![]() ![]() ![]() ![]() Чтобы найти ![]() ![]() ![]() Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и (0, y0, 0): ![]() ![]() Чтобы найти ![]() ![]() ![]() Найденные значения направляющих коэффицентов подставляем в (1): ![]() Ответ: ![]() Задание№7 Найти координаты центра С(x0, y0) окружности радиусом 5, касающейся прямой ![]() Решение: ![]() Точка С ![]() ![]() Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде: ![]() Тогда уравнение перпендикуляра: ![]() Расстояние от точки ![]() ![]() ![]() Получим систему уравнений относительно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Задание№8 Дана кривая ![]() Доказать, что эта кривая – гипербола. Найти координаты ее центра симметрии. Найти действительную и мнимую полуоси. Записать уравнение фокальной оси. Построить данную гиперболу. Решение: 1. ![]() Положим ![]() ![]() Данная кривая – гипербола. 2. Координаты центра: ![]() Центр гиперболы: С(1; 7) 3. Действительная полуось a =2; мнимая полуось b=3. 4. Фокальные оси ![]() 5. Построение гиперболы: а). Отмечаем центр гиперболы. б). Отмечаем полуоси. в). На основе полуосей строим прямоугольник. г). Асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника. ![]() ![]() Задание№9 Дана кривая ![]() Доказать, что данная кривая – парабола. Найти координаты ее вершины. Найти значение ее параметра p. Записать уравнение ее оси симметрии. Построить данную параболу. Решение: 1. ![]() Введем замену ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Координаты вершины параболы: ![]() Точка А(-1; 2) – вершина параболы. 3. Параметр параболы: р = 1 4. Ось симметрии: ![]() 5. Построение: а). отмечаем вершину; б). ветви параболы направлены вверх. ![]() Задание№10 Дана кривая ![]() Доказать, что эта кривая – эллипс. Найти координаты центра его симметрии. 3. Найти его большую и малую полуоси. 4. Записать общее уравнение фокальной оси. 5. Построить данную кривую. Решение: Квадратичная форма ![]() Приводим ее к главным осям; ее матрица ![]() Записываем характеристическое уравнение этой матрицы: ![]() ![]() Корни ![]() ![]() Так как ![]() ![]() эллипсом. Для ![]() ![]() ![]() ![]() Записываем матрицу Q перехода от базиса ![]() ![]() ![]() ![]() Выражаем новые координаты ![]() ![]() ![]() ![]() Записываем исходное уравнение в новой системе координат: ![]() Выделяем полные квадраты: ![]() ![]() Перейдем к новой системе координат ![]() ![]() ![]() Получим: ![]() ![]() ![]() ![]() Решаем систему: ![]() ![]() ![]() Нвое начало ![]() Новые оси направлены по прямым ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |