Задача. Контрольная работа 2

Название	Контрольная работа 2
Анкор	Задача
Дата	28.10.2021
Размер	151.78 Kb.
Формат файла
Имя файла	555.docx
Тип	Контрольная работа #258497

ВАРИАНТ 10

Контрольная работа № 2

По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 10%-ное обследование строительных организаций региона по объему выполненных работ (млн. руб.). Результаты представлены в таблице:

Объем работ (млн. руб.)	Менее 56	56–60	60–64	64–68	68–72	Более 72	Итого
Число организаций	9	11	19	30	18	13	100

Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организации региона;

б) вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более, чем на 0,05 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ, (см. п. а)), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Решение:

Так как дан интервальный ряд, то найдем интервальные полусредние – полусумма границ интервалов.

Определим выборочную среднюю:

.

Определим выборочную дисперсию:

.

а) Для нахождения границ интервала, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организации региона, определим среднюю квадратичную ошибку выборки

Предельная ошибка бесповторной выборки находится как

,

где t- аргумент функции Лапласа, соответствующий доверительной вероятности

, т.е. определяет точность полученных результатов. Для заданной доверительной вероятности по таблице функции Лапласа находим, что значение ее аргумента будет равно t=3.

Следовательно, оценка генеральной средней (доверительный интервал) будет удовлетворять следующему двойному неравенству:

б) На основании вариационного ряда, определим количество всех строительных организаций, объем работ которых не менее 60 млн. руб.:

Средняя квадратическая ошибка собственно-случайной бесповторной выборки при оценке генеральной доли, находится по формуле:

Вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более, чем на 0,05 (по абсолютной величине). определим по формуле:

в) Для определения объема бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ, (см. п. а)), можно гарантировать с вероятностью 0,9876, найдем значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t)= 0,9876. По таблице найдем t=2,5.

Объем повторной выборки

.

Тогда искомый объем бесповторной выборки:

.
2. По данным задачи 1, используя ²-критерий Пирсона, на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина ξ – объем выполненных работ – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Для проверки гипотезу о том, что случайная ξ – объем выполненных работ – распределена по нормальному закону, используя ²-критерий Пирсона, необходимо найти критическое и наблюдаемое значение статистики.

Для нахождения наблюдаемого значения статистики определим вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону в каждый из интервалов [x_i; x_i₊₁] данного вариационного ряда по формуле:

При этом предположим, что математическое ожидание нормального распределения совпадает с выборочной средней

, а дисперсия - с выборочной дисперсией

.

Результаты вычислений занесем в таблицу:

n_i

x_i

x_i₊₁

-2,26

-1,57

-0,87

-0,18

0,51

1,21

-1,57

-0,87

-0,18

0,51

1,21

1,90

-0,97618

-0,88358

-0,61570

-0,14285

0,38995

0,77372

-0,88358

-0,61570

-0,14285

0,38995

0,77372

0,94257

p_i

0,05

0,13

0,24

0,27

0,19

0,08

4,63

13,39

23,64

26,64

19,19

8,44

19,10

5,73

21,55

11,29

1,41

20,77

4,12

0,43

0,91

0,42

0,07

2,46

По найденным значениям вероятности определяем теоретические частоты по формуле:

По найденным значениям частот и частотами, заданными в таблице определим наблюдаемое значение статистики ²:

Критическое значение статистики определим по таблице в зависимости от уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы k=m-3=6-3=3:

Поскольку полученное значение

, то отвергаем гипотезу о нормальном распределении значения признака в вариационном ряде.

Построим гистограмму опытного распределения и соответствующую ей нормальную кривую. Для этого найдем частоты

и плотность нормального распределения

54	58	62	66	70	74
0,09	0,11	0,19	0,3	0,18	0,13
0,01	0,03	0,06	0,07	0,05	0,02

3. Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наемных рабочих ξ (чел.) и их среднемесячной заработной плате на 1 человека η (тыс. руб.) представлено в таблице:

η ξ	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	Свыше 60	Итого
102						10	10
103					6	15	21
104			10	11	8		29
105			8	3			11
106		5	6				11
107	5	9	4				18
Итого	5	14	28	14	14	25	100

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние

и построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными ξ и η существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости =0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными ξ и η;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднемесячную заработную плату одного рабочего в хозяйстве, в котором работают 10 наемных рабочих.
Решение:

Найдем серединные значения на интервалах x_i и y_i, для них найдем групповые средние по формулам

Результаты вычислений запишем в таблицу

x_i/ y_j	15	25	35	45	55	65	ni
102						10	10	65
103					6	15	21	62,14
104			10	11	8		29	44,31
105			8	3			11	37,73
106		5	6				11	30,45
107	5	9	4				18	24,44
n_j	5	14	28	14	14	25	100
	107	106,64	105,14	104,21	103,57	102,6

;

2. а) Найдем значения средних, входящих в уравнение регрессии:

Найдем коэффициенты уравнения регрессии:

Уравнение прямой регрессии y на x

Уравнение прямой регрессии x на y

Построим графики уравнения прямых регрессий и эмпирические линии регрессии с помощью таблиц

x	y эмп	y теор
102	65	65,73
103	62,14	57,02
104	44,31	48,31
105	37,73	39,60
106	30,45	30,88
107	24,44	22,17

y	хэмп	х теор
15	107	107,16
25	106,64	106,24
35	105,14	105,32
45	104,21	104,40
55	103,57	103,47
65	102,6	102,55

б) Для оценки тесноты и направление связи определим значение выборочного коэффициента корреляции r. Поскольку коэффициенты регрессии отрицательны, то

Поскольку коэффициент корреляции отрицательный, то наблюдается обратная связь. Так как коэффициент корреляции по абсолютной величине удовлетворяет соотношению

, то связь между ξ и η считается высокой.

Для оценки достоверности коэффициента корреляции найдем значение критерия Стьюдента:

Найденное значение t – критерия значительно больше табличного

, поэтому принимается гипотеза о достоверности коэффициента корреляции на уровне =0,05 и о наличии тесной корреляционной связи между числом наемных рабочих ξ (чел.) и их среднемесячной заработной плате на 1 человека η (тыс. руб.).
в) Поскольку среднемесячная заработная плата одного рабочего в хозяйстве характеризуется величиной η, то он может быть найден из уравнения прямой регрессии η на ξ при ξ =10.

Среднемесячная заработная плата одного рабочего в хозяйстве, в котором работают 10 наемных рабочих, составляет 867,31 тыс. руб