математика методичкаdoc1. Контрольная работа 3 Минск бнту 2010 Министерство образования Республики Беларусь белорусский национальный технический
 Скачать 2.71 Mb.
|
|
2.8. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры. Пусть функции непрерывны в области DOxy и на ее границе Г; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формулаГрина: ; (2.22) здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки. Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г, то имеет место формулаСтокса: (2.23) слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т, которая остается слева при обходе кривой Г. Если связная область WOxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т, а функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т, то имеет место формулаОстроградского-Гаусса: (2.24) слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т; справа – тройной интеграл по области W. Пример 1. Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г: , начиная от оси Ox, по часовой стрелке (рис. 2.18). Решение. Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x+y. Имеем: , где SD – площадь круга D: , равная . В итоге: – искомая работа силы. Пример2.Вычислить интеграл , если Г есть окружность в плоскости z=2, обходимая против часовой стрелки. Решение.По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т: T: Итак, учитывая, что , имеем: Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу DOxy, на который проектировался круг Т; D: . Перейдем к полярным координатам: x=rcos, y=rsin, [0;2], r[0;1]. В итоге: . Пример3.Найти поток П векторного поля через полную поверхность Т пирамиды W: (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности. Решение.Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W-пирамиде: Пример4.Найти поток П векторного поля через полную поверхность T пирамиды W: ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности. Рис. 2.20 Решение.Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды). , так как проекция граней на плоскость Oxy имеет нулевую площадь (рис. 2.21), Рис. 2.21 3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 3.1. Оригинал и его изображения Функция действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством . Если – оригинал, интеграл в правой части последнего равенства сходится при . Тот факт, что является изображением оригинала , будем обозначать так: или . Таблица 3.1 Изображение основных элементарных функций при 1 Окончание табл. 3.1 при 3.2. Основные теоремы операционного исчисления 1. Теорема линейного изображения. Для любых оригиналов и и любых чисел a, b . Пусть всюду в дальнейшем . 2. Теоремаподобия (изменениямасштаба). Для любого постоянного . 3.Теоремасмещения. Для любого числа . 4. Теоремаодифференцированииоригинала. Если функции являются оригиналами, то 5.Теоремаодифференцированииизображения. . 6.Теоремаобинтегрированииоригинала. . 7.Теоремаобинтегрированииизображения. (если интеграл сходится). 8. Теоремазапаздывания. . 9.Теоремаобизображениисверткидвухфункций. , где – свертка функций и , . Пример 1. Найти изображения функции . Решение. Известно, что . Тогда . По теореме линейности имеем . В каждом из полученных слагаемых применим теорему смещения и получаем .Это и есть искомое изображение. Пример 2. Найти свертку функций t и и ее изображение. Решение. . Вычисляя интеграл, имеем . По теореме об изображении свертки . Пример 3. Найти . Решение. Найдем . По теореме о дифференцировании изображения . Наконец, по теореме смещения . 3.3. Отыскание оригинала по изображению При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения. Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал по известному изображению, являющемуся дробно-рациональной функцией , где и – многочлены от p соответственно степени m и n, причем . Если разложение на простейшие множители имеет вид , то, как известно, может быть разложена на сумму элементарных дробей вида . Итак, (3.1) Все коэффициенты могут быть найдены по формуле (3.2) Вместо этой формулы для определения коэффициентов можно использовать элементарные приемы, применяемые в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей. Если все корни многочлена простые, разложение упрощается: ; , где . (3.3) После отыскания тем или иным способом разложения на простейшие дроби оригинал находится так: а) в случае кратных корней знаменателя ; (3.4) б) в случае простых корней знаменателя . (3.5) Пример 1. Найти оригинал , если известно, что . Решение. У изображения в данном случае все корни знаменателя – действительные и простые. Поэтому лучше всего воспользоваться формулой (3.5). Имеем . Корни Отсюда по формуле (3.5) находим : . Пример 2. Найти оригинал по его изображению . Решение. Разложение на простейшие дроби имеет вид (3.6) Находим коэффициенты по формуле (3.2) Аналогично получим . Следовательно, . Отсюда по таблице изображений и теоремам смещения и линейности изображения имеем Заметим, что коэффициенты разложения (3.6) можно найти и таким способом, который применялся в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей. 3.4. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами , правая часть которого является оригиналом. Тогда и решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (то есть решение задачи Коши для данного ЛДУ), тоже будет оригиналом. Обозначим изображение искомого решения через , то есть . Используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности, находим изображение левой части исходного ЛДУ и приравниваем его к . В итоге вместо ЛДУ с начальными условиями получается так называемое изображающее уравнение, которое является линейным алгебраическим уравнением относительно новой неизвестной функции . Решая изображающее уравнение, находим . Определяя затем по оригинал , мы тем самым найдем искомое решение задачи Коши. Аналогично решаются и системы ЛДУ. Пример 1. Решить ЛДУ , если . Решение. Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала имеем . Тогда изображающее уравнение таково: . Отсюда . Восстановим теперь оригинал . Разложим вначале дробь на простейшие дроби: . Ищем A, B, C: . Полагая , получаем , то есть ; полагая , получаем , откуда . Следовательно, . Решение поставленной задачи Коши найдено. Пример 2. Решить систему ЛДУ , если . Решение. Обозначим и найдем изображения левой и правой частей каждого из уравнений системы. Из последней линейной алгебраической системы уравнений находим неизвестную (например, по формулам Крамера) . Разложим на простейшие рациональные дроби: . Для определения чисел A, B, C получаем равенство . Подставляя в обе части равенства вместо p поочередно числа –1; 3 и 0, имеем . Отсюда Пользуясь таблицей изображений и свойством линейности изображения, найдем оригинал . Итак, , одна из искомых функций найдена. Функцию можно найти аналогично , предварительно определив ее изображение . Но в данном случае можно найти проще, выражая из первого уравнения исходной системы ЛДУ Задача решена. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 1-20. Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать на сходимость ряды. 1. а) б) 2. а) б) 3. а) б) 4. а) б) 5. а) б) 6. а) б) 7. а) б) 8. в) б) 9. а) б) 10. а) б) 11. а) б) 12. а) б) 13. а) б) 14. а) б) 15. а) б) 16. а) б) 17. а) б) 18. а) б) 19. а) б) 20. а) б) 21-40. Найти область сходимости степенного ряда. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41-50. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определенный интеграл с точностью до =0,001. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51-60. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61-80. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями:
81-90. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями: 91-100. Вычислить массу тела V, ограниченного заданными поверхностями ( – плотность в точке М(x, y, z)). 101-110. Найти массу, где – плотность:
111-120. Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути 111. , А(0;1;0); В 112. В 113. отрезок прямой, В 114. В 115. отрезок прямой, В 116. В 117. отрезок прямой, В 118. В 119. В 120. В 121-140. Решить уравнение или систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями операционным методом. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. Рекомендуемая литература
|