математика методичкаdoc1. Контрольная работа 3 Минск бнту 2010 Министерство образования Республики Беларусь белорусский национальный технический
 Скачать 2.71 Mb.
|
|
1.5. Разложение функции в ряд Тейлора Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x=a, то для нее можно написать ряд по степеням (x-a): Этот ряд называется рядомТейлора функции f(x) в точке x=a. Теорема 6. Если функция f(x) и все ее производные ограничены на интервале (a-R, a+R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M>0 такая, что выполняется неравенство , то функция f(x) представляется сходящимся к ней рядом Тейлора: . (13) Равенство (13) верно и в случае, когда остаточный член ряда Тейлора стремится к нулю при n. Остаточный член Rn(x) можно вычислить по формуле: . (14) Если , то ряд не сходится к данной функции. Если в ряде Тейлора положим a=0, получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядомМаклорена: . Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций: Пример1.Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Решение.Имеем . Вычисляем , т.е. . Далее последовательно получаем: Отметим, что . Записываем ряд Тейлора: Пример2.Разложить функцию в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций. Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением . (15) Преобразуем исходную функцию: . Подставим в формулу (15) , а вместо x выражение . Получим следующее разложение: Разложение имеет место при , т.е. при |x|<3. 1.6. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях 1. Приближенное вычисление значений функций. Пусть функция f(x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда. Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001. Решение. . Воспользуемся биномиальным рядом (15) при . Получаем: Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим . Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001. Решение. Воспользуемся разложением , где . При x=0,1 получаем: Определим, сколько надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как 0,1[0,0,5], то . Тогда ; . При x=0,1 имеем неравенство: . Полагая n=2, получим . Значит, достаточно взять три слагаемых: . Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до . Решение. Применим разложение . Этот ряд сходится при x(-1,1). Если , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму . Погрешность этого равенства выражается остатком ряда . Для его оценки все множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2n+3. Получим Решая неравенство , находим, что n=4: . Итак, 2. Приближенное вычисление определенных интегралов. Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то соответствующий определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью. Пример 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,00001. Решение. Разделив почленно ряд для sin x на x, получим . Этот ряд сходится при xR. Интегрируем его почленно. Получили знакочередующийся ряд. Третий член по модулю меньше заданной точности. Значит, достаточно взять два слагаемых: . 3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Многие дифференциальные уравнения не приводятся к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определенных интервалах. В таких случаях ряд, являющийся решением дифференциального уравнения, можно найти или способом неопределенных коэффициентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора. Пример 5. Найти в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1, . Решение. Первый способ. Применим метод неопределенных коэффициентов. Записываем искомое решение в виде ряда . Находим производные: Подставляя y и y в данное уравнение, получаем: . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях последнего уравнения, получим систему: Используя начальные условия, из выражений для y и y находим: . Решая систему, получаем . Таким образом, искомое решение представляется следующим рядом: . Этот ряд сходится при всех значениях x. Второй способ. Применим для исходного уравнения метод последовательных дифференцирований. Решение ищем в виде . В соответствии с начальными условиями . Подставляя в уравнение , получим ; . Для получения значений остальных производных будем последовательно дифференцировать исходное уравнение: Отсюда получим . Тогда при имеем: . . Подставляя найденные значения в степенной ряд для , получим . 1.7. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2 1. Пусть функция f(x) определена и интегрируема на отрезке [-,]. РядомФурье функции f(x) называется ряд , (16) где (17) Числа называются коэффициентами Фурье функции f(x). Теорема 7. Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке [-,], т.е. f(x) и ее производная f(x) – непрерывны на отрезке [-,] или имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) сходится в каждой точке отрезка [-,]. При этом сумма S(x), x[-,], ряда Фурье (16) равна Здесь . Сумма S(x) ряда Фурье (16) определена для x(-,+) и является 2 – периодической функцией. Пример 1. Разложить функцию f(x)=ex в ряд Фурье в интервале (-,). Построить график суммы ряда. Решение. Вычислим коэффициенты Фурье функции по формулам (17), учитывая, что Имеем: Поскольку функция ex и ее производная непрерывны на отрезке [-,], то по теореме 7 ряд Фурье этой функции сходится к самой функции ex на интервале (-,): а в точках x= сумма ряда равна . График суммы ряда изображен на рис. 1 (пунктиром – график самой функции ex вне отрезка [-,]). Если f(x) – четная функция на отрезке [-,], то ее коэффициенты Фурье находятся по формулам , (18) а ряд Фурье имеет вид: . Если f(x) – нечетная функция на отрезке [-,], то , (19) а ряд Фурье имеет вид: . Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке [-,]. Построить график суммы ряда. Решение. Поскольку функция четная, то находим по формулам (18), применяя интегрирование по частям: Согласно теореме 7, ряд Фурье данной функции на отрезке [-,] сходится к самой функции x2: (в точках x= сумма ряда совпадает со значением функции , так как . На рис. 1.2 изображен график суммы данного ряда (пунктиром - график самой функции x2 вне отрезка [-,]. 3. Если функция f(x) задана на отрезке [0,] и удовлетворяет на нем условиям теоремы 7, то ее можно разложить в ряды Фурье различным образом, например, как по косинусам, так и по синусам. В первом случае продолжают f(x) с интервала (0,) на интервал (-,0) четным образом: f(x)=f(-x), x(-,0) (рис. 1.3), а коэффициенты Фурье вычисляют по формулам (18); во втором – продолжают f(x) с интервала (0,) на (-,0) нечетным образом: f(x)=-f(x), x(-,0) (рис. 1.4), а коэффициенты находят по формулам (19). Пример3. Разложить функцию на интервале (0,) в ряд Фурье по синусам. Решение. Продолжим функцию x2 с интервала (0,) на интервал (-,0) нечетным образом и вычисляем коэффициенты по формулам (19): Тогда (Сравните разложение этой же функции x2 в ряд по косинусам, полученное в примере 2). 4. Если функция f(x) задана на отрезке [a,a+2], то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: 1.8. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2l Пусть функция f(x) определена и интегрируема на отрезке [-l,l]. РядомФурье функции f(x) называется ряд , где Если f(x) – кусочно-гладкая функция на отрезке [-l,l], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке отрезка [-l,l]. При этом сумма S(x), x [-l,l], ряда Фурье равна Пример 1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию Решение. Продолжим f(x) на интервале (-2,0) нечетным образом. Тогда ; при l=2 получаем: Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид: . 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ 2.1. Определенный интеграл по фигуре. Основные понятия и свойства Пусть функция f(x,y,z) задана в точках тела W, на поверхности тела Т или кривой Г в декартовой системе координат Oxyz. Разобьем указанные фигуры на n частей Wi, Ti, Гi соответственно и на каждой из частей выберем по одной точке (xi, yi, zi). Меры полученных частей разбиения обозначим через Vi (обьем части), Si (площадь части) и Li (длина части) соответственно. Через обозначим наибольшее из расстояний между любыми двумя точками, взятыми на i-ой части разбиения, . Число , показывает, насколько мелко разбиты фигуры, и называется диаметромразбиения. Составим теперь интегральные суммы: ; ; . Если существуют конечные пределы этих интегральных сумм при 0, причем эти пределы не зависят от способа разбиения фигур и от выбора точек на частях разбиения, то они называются определеннымиинтеграламифункции f(x,y,z) по названным фигурам: - тройной интеграл; - поверхностный интеграл I рода; - криволинейный интеграл I рода. Физический смысл интеграла по фигуре. Если f(x,y,z) - плотность распределения вещества по фигуре, то интеграл по этой фигуре выражает ее массу в соответствующих единицах измерения. Замечание. Аналогично названным вводятся интегралы: - двойной интеграл по области DOxy; - криволинейный интеграл I рода по кривой ГOxy. Свойстваинтеграловпофигуре (на примере тройного интеграла ). 1. Свойство линейности. -числа. 2. Если область W есть объединение двух областей W1 и W2, не имеющих общих внутренних точек, то 3. Если в области W: , то 4. Теорема о среднем. Если f(x,y,z) непрерывна в замкнутой связной области W, то найдется точка (x*,y*,z*)W такая, что , где V - объем тела W. 5. Если f(x,y,z)1, то . Предполагается, что все указанные интегралы существуют. 2.2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах а) Двойнойинтеграл.Пусть область D плоскости Oxyz ограничена линиями y=(x), y=(x), x=a, x=b, где a<b, (x)(x) и функции , непрерывны на отрезке [a; b] (рис.2.1). Двойной интеграл от непрерывной функции f(x,y) вычисляется путем сведения к двукратному интегралу по формуле (2.1) В выражении (2.1) сначала вычисляется при постоянном x. Полученный результат интегрируется по x. Аналогично, если область D ограничена линиями x=(y), x=(y), y=c, y=d, где c<d, (y)(y) и функции и непрерывны на отрезке [c; d] (рис.2.2), то (2.2) Замечание.В более общем случае область интегрирования разбивают на части, каждая из которых имеет один из рассмотренных видов. Пример 1. Вычислить , где область ограничена линиями . Решение. Указанные линии пересекаются в точках О(0,0) и А(1,-1) (рис. 2.3). Применяя формулу (2.1) при , , a=0, b=1, получим: Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле . Решение. Область интегрирования, ограниченную линиями , , x=2 (рис. 2.4), разобьем с помощью прямой y=1 на три области. Получим сумму интегралов: Здесь для определения пределов изменения переменной x уравнения , разрешены относительно x: . Из свойств интеграла по фигуре следует, что площадь S плоской области D в декартовых прямоугольных координатах равна . (2.3) Пример3.Вычислить площадь области, ограниченной линиями . Решение. Имеем (рис. 2.5) . Геометрический смысл двойного интеграла: объем V цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), (f>0), снизу плоскостью z=0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область D, вычисляется по формуле . (2.4) Площадь S гладкой поверхности z=z(x,y), проектирующейся в область D плоскости Oxy, выражается формулой . (2.5) б) Тройнойинтеграл. Пусть пространственная область V в декартовой системе координат Oxyz ограничена снизу и сверху поверхностями z=F(x,y), z=(x,y) (F(x,y)(x,y)), с боков прямой цилиндрической поверхностью и проектируется на плоскость Oxy в область D, ограниченную линиями y=(x), y=(x), x=a, x=b, (a<b, (x)(x)), а функции F, , , - непрерывны (рис.2.6). Тройной интеграл от непрерывной функции f(x,y,z) вычисляется по формулам: Замечание.Порядок интегрирования в последней формуле может быть изменен. Пример4.Вычислить тройной интеграл , где область V ограничена поверхностями x+y+z=1, x=0, y=0, z=0. |